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高中数学人教A版（2019）必修第一册
第一章 集合与常用逻辑用语单元测试（提高版）
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1．（5分）（2023高三上·牡丹江开学考）的否定是（　　）
A． B．
C． D．
2．（5分）（2024高一上·上高月考）已知集合，则集合的真子集个数为（　　）
A．4 B．8 C．32 D．31
3．（5分）已知全集U，集合，那么下列等式错误的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（5分）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（2024高一上·海沧月考）命题“”为假命题，则实数的取值范围是（　　）
A．或 B．
C． D．
6．（5分）（2024高一下·保定期中）下面选项中的两个集合相等的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（5分）（2025高一下·湘潭月考）“”是“且”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）（2024高一上·成都期中）命题“若，则”的否命题是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.(共4题；共16分)
9．（4分）（2023高一上·宝安月考）下列命题中，真命题的是（　　）
A．若且则至少有一个大于
B．
C．的充要条件是
D．至少有一个实数，使得
10．（4分）（2024高一上·重庆市月考）下列选项中正确的是（　　）
A．质数奇数
B．集合与集合没有相同的子集
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集
D．若，则
11．（4分）已知集合，，定义运算，则下列描述正确的是（　　）
A．
B．记为集合，则
C．若，则符合要求的有个
D．中所有元素之和为
12．（4分）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论，正确结论为（　　）
A．
B．
C．
D．整数属于同一“类”的充要条件是“”
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.(共4题；共20分)
13．（5分）（2024高一上·芗城月考）已知集合，，且，则　 　．
14．（5分）（2024高一上·郫都期中）已知集合，，则　 　．
15．（5分）（2024高一上·上高月考）某社团有名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项，得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中　 　；
16．（5分）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是　 　.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．(共6题；共74分)
17．（10分）（2024高一上·长春月考）已知集合，集合．
（1）（5分）若时，求，；
（2）（5分）若，求实数的取值范围．
18．（10分）（2024高一上·上城期中）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
（1）（5分）求集合A；
（2）（5分）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19．（10分）（2024高一下·平江开学考）已知集合A＝{y|y＝-2x，x∈[2，3]}，B＝{x|x2+3x-a2-3a＞0}．
（1）（5分）当a＝4时，求A∩B；
（2）（5分）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围
20．（10分）
（1）（5分）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）（5分）若不等式在实数集R上恒成立，求m的范围.
21．（17分）命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为.
（1）（8分）“”是命题乙的什么条件？并证明；
（2）（9分）若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
22．（17分）（2024高一上·淳安月考）已知集合，，.
（1）（8分）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值；
（2）（9分）若，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】全称量词命题；命题的否定
2．【答案】D
【知识点】集合的表示方法；子集与真子集
3．【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
5．【答案】C
【知识点】存在量词命题；命题的真假判断与应用；一元二次不等式及其解法
6．【答案】C
【知识点】集合的表示方法；集合相等
7．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
8．【答案】A
【知识点】四种命题
9．【答案】A,B,D
【知识点】四种命题；充要条件；全称量词命题；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
10．【答案】C,D
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；空集
11．【答案】B,D
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法；子集与真子集；集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
12．【答案】A,C,D
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法；并集及其运算；充要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断
13．【答案】3或 2
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性；交集及其运算
14．【答案】1
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性
15．【答案】9
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
16．【答案】
【知识点】集合的含义；集合的表示方法
17．【答案】（1）解：因为，当时，，
又因为，所以．
因为或，
所以或；
（2）解：时，
当时，，解得，
当时，或，解得或，
综上，实数的取值范围是或.
【知识点】空集；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
18．【答案】（1）解：因为为真命题，所以方程有解，即，
所以，即；
（2）解：因为是的必要不充分条件，所以且，
i）当时，，解得；
ii）当时，，且等号不会同时取得，
解得，
综上，.
【知识点】空集；集合关系中的参数取值问题；充分条件；必要条件；一元二次不等式及其解法
19．【答案】（1）解：当a＝4时，B＝{x|x2+3x-a2-3a＞0}＝{x|x2+3x-28＞0}＝{x|x＞4或x＜-7}．
A＝{y|y＝-2x，x∈[2，3]}＝{y|-8≤y≤-4}，
则A∩B＝{x|-8≤x＜-7}．
（2）解：若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A B，
B＝{x|x2+3x-a2-3a＞0}＝{x|（x-a）（x+a+3）＞0}．
对应方程的两个根为x＝a或x＝-a-3，
①若a＝-a-3，即a＝，此时B＝{x|x≠}，满足A B，
②若a＜-a-3，即a＜，此时B＝{x|x＞-a-3或x＜a}}，
若满足A B，则a≥-4或-a-3≤-8，解得a≥-4或a≥5（舍去），
此时-4≤a＜．
③若a＞-a-3，即a＞，此时B＝{x|x＞a或x＜-a-3}}，
若满足A B，则-a-3≥-4或a≤-8（舍），解得＜a≤1．
综上-4≤a≤1．
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
20．【答案】（1）解：因为的解集为，
所以与是方程的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
不等式，
即，整理得，解得.
即不等式的解集为.
（2）解：由题意可得，，即，整理得，
解得.
【知识点】一元二次不等式；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
21．【答案】（1）解：命题甲为真命题，则集合为空集，
当时，，解得，
当时，方程为，无解，满足题意，
综上，；
命题乙为真命题，则关于的不等式的解集为，
，解得，
因为命题乙为真命题时，又，即，
所以，但，
所以是命题乙的充分不必要条件；
（2）解：因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题，所以分两种情况讨论：
①当甲命题为真，乙命题为假时，
有或，解得；
②当甲命题为假，乙命题为真时，
有或，解得或，
综上，实数的取值范围为：.
【知识点】空集；四种命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
22．【答案】（1）解：，
因为命题：“，都有”是真命题，所以，
因为，
所以当时，，则，即；
当时，，显然是的真子集.
综上，或.
（2）解：由可得，
当时，，即；
当时，，无解；
当时，，无解；
当时，，解得；
综上，的取值范围或.
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；子集与交集、并集运算的转换；全称量词命题
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