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山东省菏泽市定陶区2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个实数中，离原点最远的数是（ ）
A． B．2 C．0 D．
2．2025年某省的生产总值用科学记数法表示为元，则原来这个数可以是（ ）
A．元 B．亿元 C．元 D．万亿元
3．未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也：甍、层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，正五边形内接于，点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氯化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．若不等式组的解集只含有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列命题的逆命题中是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．两直线平行，内错角相等
C．对顶角相等 D．如果，那么
10．如图，在矩形纸片中，，点M是边上的一点，点N是边上的中点，佳佳按如下方式作图：
①连接，；②取，的中点P，Q；③连接，．
若四边形是矩形，可以推断的长度不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．使代数式有意义的x的取值范围是 ．
12．关于x的一元一次方程有两个实数根．若分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，则k的值为 ．
13．如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是 ．

14．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的变幻点．已知点的变幻点为，点的变幻点为，点的变幻点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
15．在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是 ．
三、解答题
16．（1）计算：
（2）先化简，再代入求值：，其中
17．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题：
(1)本次抽取的学生共有_________人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整；
(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_________分，中位数是_________分，平均数是_________分；
(3)请估计全校2000名学生中书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人？
18．如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．如图，这是小雅同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，导气管紧贴水槽，延长，交的延长线于点，且，（点在同一条直线上）．经测量，得，，．请求出铁架杆与水槽之间的水平距离．（结果精确到，参考数据：，，）
20．如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线且过的中点．
(1)求点C的坐标；
(2)用尺规作出直线l（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．
21．如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求．
22．矩形中，，．点在边、上运动，连接，将射线绕点逆时针旋转，交直线CD于点．
(1)如图1，当点恰好与点重合时，则__________度；
(2)过点作于点，连接．
①如图2，当F落在线段上时．求的度数；
如图3，当落在线段的延长线上且时，求．
23．若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．
(1)判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；
(2)已知：整数m，n，t满足条件，并且一次函数反比例函数存在“共享函数”，求m的值．
(3)若一次函数和反比例函数在自变量x的值满足的的情况下，其“共享函数”的最小值为3，直接写出其“共享函数”的解析式．
《山东省菏泽市定陶区2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题》参考答案
1．D
解：，，
∵，
∴离原点最远的数是，
故选：D．
2．D
解：万亿元，
故选：D．
3．A
解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
4．A
根据题意得，其主视图为：
．
故选：A．
5．C
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，计算正确，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：C．
6．C
解：如图，连接，
∵正五边形内接于，
∴，
∴的度数为，
∵点为的中点，
∴的度数为，
∴，
由圆周角定理得：，
故选：C．
7．D
解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液分别用表示，列表如下：
（，） （，） （，）
（，） （，） （，）
（，） （，） （，）
（，） （，） （，）
由表可知共有12种可能的结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种，
则抽到的2个都是酸性溶液的概率为．
故选D．
8．B
解：，
由①得，；
由②得，，
∴，
∵解集只含有一个整数解，
∴，
解得：，
故选：B．
9．B
解：A、逆命题是如果，那么，逆命题是假命题，故选项不符合题意；
B、逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，故选项符合题意；
C、逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，故选项不符合题意；
D、逆命题是如果，那么，逆命题是假命题，故选项不符合题意；
故选：B．
10．D
解：如图，连接，，
的中点分别是P，Q，N，，
，
∴四边形是平行四边形．
当四边形是矩形时，则．
∴点M到的距离不超过4，即，
故选：D
11．且
解：∵代数式有意义，
∴，
∴且；
故答案为：且．
12．
解：∵关于x的一元一次方程有两个实数根，
∴，
∵分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴关于x的一元一次方程为，
，
∴k的值为，
故答案为：．
13．
解：把代入，可得，解得，
反比例函数解析式，
如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，

，
，
，
，
将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，
,
在中，，
，
即点C的横坐标为，
把代入，可得，
，
故答案为：．
14．
解：根据题意，
，
，
，
，
，
，
∴变幻点每次一个循环，
∵，
∴点的坐标为，
故答案为：．
15．或
解：令点B旋转后的对应点为
当点B在x轴上时，
令点B坐标为，
则
由旋转可知，
，，
所以点M坐标可表示为
将点M坐标代入得，
，
解得，
所以点B的坐标为，
当点B在y轴上时，过点M作x轴的垂线，垂足为N，
令点B坐标为，
由旋转可知，
，
所以，
所以
在和中，
，
所以，
所以，
因为点A坐标为，点B坐标为，
所以，，
所以，
则点M坐标为，
将点M坐标代入得，
，
解得，
所以点B的坐标为
综上所述：点B的坐标为或，
故答案为：或．
16．（1）；（2），
解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
17．(1)，，图见解析；
(2)；
(3)书写能力等级达到优秀的学生大约有人．
（1）解：本次抽取的学生共有：（人），
扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是：，
故答案为：，，
等级人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：∵及格的人数最多，
∴众数是，
将学生成绩从小到大顺序排列，排在第和第个数分别为，
∴中位数是，
平均数是，
故答案为：；
（3）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有：
（人）．
18．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵中，，，
∴，
由作图知，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍）．
19．
解：如图，过点分别作于点，于点，
，，
．
，
四边形是矩形，
，，
在中，，，
∴，
∴，
，，，
，
，，
．
20．(1)；
(2)作图见解析；
(3)．
（1）解：如图，过点作轴于点，则，
由题意可得，，，
当时，，
∴，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵直线且过的中点，，
∴直线为的垂直平分线，
作的垂直平分线，则直线即为所求，如图：
（3）解：如图：
∵直线且过的中点，
∴点为中点，
∵，，
∴，，
∴，
∵双曲线经过点D，
∴．
21．(1)证明见解析；
(2)．
（1）证明：连接，如图：
∵与边相切于点D，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：设与的另一交点为，连接交于点，连接，如图：
∵，
∴，
在和，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得：（负值已舍去），
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
在中，．
22．(1)
(2)①；②
（1）∵在矩形中，，，
∴，，
∴在中，，
∴，
当点恰好与点重合时，则，
故答案为：；
（2）①连接，如图，
在（1）中已求出，则有，
根据旋转可知：，
∵，
∴在中，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接，过点G作交延长线于点P，的延长线于点Q，
根据①的方法同理可证明，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
设，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23．(1)存在，“共享点”为或
(2)
(3)或
（1）解：与存在“共享函数”，理由如下：
联立与并整理得：
，
解得：或，
故点的坐标为：或；
（2）解：一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，依据“共享函数”的定义得：
，
解得：，
，
∴
，
是整数，
；
（3）解：由和反比例函数得：“共享函数”的解析式为，
函数的对称轴为：；
①当时，即，
，函数取得最小值，即，
解得或（舍去）；
②当，即，
函数在处取得最小值，即，无解；
③当时，
函数在处，取得最小值，即，
解得：（舍去，
综上，或4，
故“共享函数”的解析式为或．

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