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5.3 课时3 一元一次方程的应用
——追及相遇问题
1.能分析行程问题中已知数与未知数之间的数量关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系式，列出一元一次方程解应用题.
2.会用“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用.
假如兔子每分钟跑30m，乌龟每分钟爬1m，它们同时同地同向出发，兔子跑了2min后觉得领先太多，就躺下睡觉了.乌龟出发多久后追上兔子？
小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000 m的学校上学.一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？
（1）问题中有哪些已知量和未知量？
解：（1）已知量:小明家到学校1000 m、小明的速度80m/min、
小明已出发5min、小明爸爸的速度180m/min；
未知量:小明爸爸追上小明用的时间、
小明爸爸追上小明时距离学校多远.
假设爸爸追上小明用了 x 分钟.
180x
80×5
80x
追上
爸爸追赶小明时走的路程：180x
小明5min走的路程：80×5
小明在爸爸追时走的路程：80x
（2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？
180x
80×5
80x
追上
爸爸
小明
解：（3）设爸爸追上小明用了x min.
根据题意，得 180x＝80x＋80×5.
因此，爸爸追上小明用了4 min，此时距离学校还有280m.
解，得 x＝4.
【分析】当爸爸追上小明时，两人所行路程相等.
1000－180×4＝280（m）
对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．
例1 小明和小华两人在400米的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260米，小华每分钟跑300米，两人起跑时站在跑道同一位置.
（1）如果小明起跑后1min小华才开始同向跑，那么小华用多长时间能追上小明？
解：（1）设小华用 x min追上小明.
根据题意，得260（x＋1）＝300x
解，得 x＝6.5.
所以小华用6.5min追上小明.
（2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？
【思路导航】画出线段示意图分析，从两人所走的路程找出等量关系，列方程求解.
解：（2）设小华起跑后 x min两人首次相遇.
根据题意，得 260（ x ＋1）＋300 x ＝400，
解，得 x ＝0.25.
所以小华起跑后0.25min两人首次相遇.
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示：
行程问题的基本公式：
（1）路程＝______×时间；速度＝______÷时间；
______ ＝路程÷速度.
（2）轮船航行时的相对速度.
顺水速度＝静水速度＋ ；
逆水速度＝ －水流速度.
（3）相遇问题： s甲＋ s乙＝ s总.
速度　
路程　
时间　
水流速度　
静水速度　
（4）追及问题： s甲－ s乙＝ s0（ s0为初始距离）.
（5）环形跑道上同时出发的两个人，跑得快的人第一次追上 跑得慢的人，要多跑 .
一圈　
1.操场一周是400米，小明每秒跑5米，小华骑自行车每秒行驶15米，两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能再次相遇吗？如果能相遇，什么时候第一次相遇？
小华
小明
他俩能相遇，第一次相遇时小华比小明多跑了一圈.
等量关系：小华路程－小明路程＝操场一周的长度.
解：设经过 x 秒两人第一次相遇.
依题意，得 15x－5x＝400，
解，得 x＝40.
所以，经过40秒两人第一次相遇.
等量关系：小华路程－小明路程＝操场一周的长度.
练1.操场一周是400米，小明每秒跑5米，小华骑自行车每秒行驶15米，两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能再次相遇吗？如果能相遇，什么时候第一次相遇？
练2.操场一周是400米，小明每秒跑5米，小华骑自行车每秒行驶15米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时首次相遇？
当他们首次相遇时，他们的总路程等于操场的一周的长度.
小华
小明
等量关系：小明路程＋小华路程＝操场一周的长度.
解：设经过 x 秒两人首次相遇.
依题意，得 15x＋5x＝400
解，得 x＝20
所以，经过20秒两人首次相遇.
等量关系：小明路程＋小华路程＝操场一周的长度.
练2.操场一周是400米，小明每秒跑5米，小华骑自行车每秒行驶15米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时首次相遇？
沿圆周运动同时同地（环形跑道问题）
甲、乙第一次相遇，一般有如下两种情形：
①同时同地、同向而行（追及问题）：
②同时同地、背向而行（相遇问题）：
S快－S慢＝环形周长
S快＋S慢＝环形周长
1.在一段双轨铁道上，两辆火车迎头驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为25米/秒，若A列车全长200米，B列车全长160米，两列车错车的时间为_______秒.
2.甲的速度是5千米/时，乙的速度是6千米/时，两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，若经过t小时相遇，则A、B的距离是______千米；若经过x小时还差10千米相遇，则A、B的距离是__________千米.
8
11t
（11x+10）
3. A，B两地相距80千米，甲、乙两人同时分别从A，B两地出发相向而行，甲的速度是9千米/时，乙的速度是6千米/时．经过多长时间两人相距5千米？
9x
6x
80
5
A
B
解：设经过x小时后两人相距5千米.
根据题意，得 9x＋5＋6x＝80.
解,得 x＝5.
所以，经过5小时后两人相距5千米.
情况一
【分析】等量关系：
甲路程＋乙路程＋5＝80.
解：设经过x小时后两人相距5千米，
根据题意得 9x－5＋6x＝80.
解,得 x＝.
所以，经过小时后两人相距5千米.
情况二
9x
6x
80
5
A
B
【分析】等量关系：甲路程－5＋乙路程＝80.
解决行程问题的基本步骤
问题的已知条件
画出线段图
找出等量关系
列方程并求解
回答
同向追及问题
同地不同时：甲路程=乙路程
同时不同地：甲路程+路程差=乙路程
相向相遇问题
甲路程+乙路程=总路程

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