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高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章
2.2基本不等式
一、单选题
1．（2020高二上·怀仁月考）已知 ，且 ，则 的最小值是（　　）
A．2 B．6 C．3 D．9
2．（2021高一下·运城期末）向量 ， ，其中 ， 且 ，则 的最小值为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．
3．（2019高二上·阳江月考）设 ，且 ，则 的最小值为（　　）
A．1 B．4 C．2 D．
4．（2022高一上·张掖期中）若正数x，y满足，则的最小值是（　　）
A．6 B． C． D．
5．（2022高一上·兖州期中）已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．8 D．9
6．（2023高一下·重庆市期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高二上·徐州期末）已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．16
二、多选题
8．（2022高一上·深圳月考）已知，，且，则（　　）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是3 D．的最小值是
9．（2022高一上·湖北期中）若正数a，b满足，则的值可能为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
三、填空题
10．（2021高一上·白城期中）已知 ，且 ，则 的最大值是　 　
11．（2021高一上·昌吉期中）若，则的最小值为　 　，此时　 　．
12．（2021·浦东模拟）对于任意的正实数 ， ，则 的取值范围为　 　.
13．（2022高一上·黄冈期末）若函数在区间[1，2]上的最小值为3，则的最小值为　 　．
14．（2020高二上·浙江期中）若实数 和 满足 ，则 的取值范围为　 　．
15．（2019·通州模拟）若 ，且 ，则 的最小值为　 　．
16．（2021高二下·苏州月考）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是　 　．
四、解答题
17．（2020高一上·池州期中）
（1）若 是正常数， ，求证： (当且仅当 时等号成立)．
（2）求函数 的最小值，并求此时 的值．
18．（2018高一上·滁州期中）某商品上市30天内每件的销售价格 元与时间 天函数关系是 该商品的日销售量 件与时间 天函数关系是 .
（1）求该商品上市第20天的日销售金额；
（2）求这个商品的日销售金额的最大值.
19．（2020·芜湖模拟）设 ，且 .
（1）证明： ；
（2）求 的最小值.
20．（2017·晋中模拟）已知a＞0，b＞0，c＞0函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c．
（1）当a=b=c=1时，求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若f（x）的最小值为5时，求a+b+c的值，并求 的最小值．
21．（2021高三上·宜春月考）已知 、 、 为正数，且满足 .证明：
（1） ；
（2） .
22．（2020高一上·南京期中）已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 ， 的最大值；
（2）令 ，求证：对任意给定的非零实数 ，存在惟一的实数 使得 成立的充要条件是 ．
23．（2022·开封模拟）已知正数a，b，c满足．
（1）求证：；
（2）求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】基本不等式
2．【答案】A
【知识点】基本不等式
3．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
4．【答案】B
【知识点】基本不等式
5．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
6．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
7．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
8．【答案】B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
9．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
10．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
11．【答案】3；2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
12．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
13．【答案】
【知识点】基本不等式
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
15．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
16．【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
17．【答案】（1）解：
，当且仅当 时，即 时等号成立.
（2）解： ，当且仅当 时，即 时等号成立.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
18．【答案】（1）解：该产品上市第20天的销售价格为30元，日销售量为25件 ， 所以该商品上市第20天的日销售金额是30×25=750元
（2）解：日销售金额为y元，则y=QP 当 ， 时， = ， 所以当x=15时，y取得的最大值为900元； 当 ， 时， = ， 所以当x=20时，y取得的最大值为750元， 综上第15天时，这个商品的日销售金额最大，最大值为900元
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
19．【答案】（1）证明：证明：因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
又∵ ，∴ ；
（2）解：由（1）知： ，
当且仅当 且 即 、 时，等号成立，
所以 有最小值 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
20．【答案】（1）解：当a=b=c=1时，不等式f（x）＞5即|x+1|+|x﹣1|+1＞5，化为：|x+1|+|x﹣1|＞4．
①x≥1时，化为：x+1+x﹣1＞4，解得x＞2．
②﹣1＜x＜1时，化为：x+1﹣（x﹣1）＞4，化为：0＞2，解得x∈ ．
③x≤﹣1时，化为：﹣（x+1）﹣（x﹣1）＞4，化为：x＜﹣2．
综上可得：不等式f（x）＞5的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
（2）解：不妨设a≥b＞0．
①x＞b时，f（x）=x+a+x﹣b+c=2x+a﹣b+c，
②﹣a≤x≤b时，f（x）=a+x﹣（x﹣b）+c=a+b+c，
③x＜﹣a时，f（x）=﹣（a+x）+b﹣x+c=﹣2x﹣a+b+c．
可知：﹣a≤x≤b时，f（x）取得最小值a+b+c=5．
∴ = （a+b+c） ≥ × = ，当且仅当a═b=c= 时取等号．
∴ 的最小值为
【知识点】基本不等式
21．【答案】（1）证明：∵ 、 、 为正数， ，
∴
，
∴ ；
（当且仅当 时取等）
（2）由 ； ；
，
将上述三个不等式相加得： ，
又 ， ， ，
同理，将上述三个不等式相加得： ，
而 ，∴ ，当且仅当 时，等号成立.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
22．【答案】（1）解：当 时，函数 ， ，
令 ，则 ，
此时 ，由 ，
即 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
综上，当 时， 最大值是 ．
（2）解：充分性：当 时， ，
当 时， 在 单调递增，且 ，
当 时， 在 单调递减，且 ，
若 ，则存在惟一的 ，使得 ，同理 时也成立，
必要性：当 时， ，
当 时， 在 上的值域为 ，显然不符合题意，因此 ，
当 时， 在 的取值集合 ，
， 的对称轴 ， 在 上递减， ，所以 的取值集合 ，
①若 ， 且在 上单调递增，要使 ，
则 ，且 ，有 ．
②若 ， 且在 上单调递减，要使 ，
则 ，且 ，有 ．
综上： ．
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式在最值问题中的应用
23．【答案】（1）证明：∵，
当且仅当a=b=c时，等号成立，
设，∴，
即，解得，
∵a，b，c为正数，∴，
∴.
（2）证明：∵
由（1）可得，∴
∴，
∵，当且仅当时，等号成立.
∴，当且仅当时，等号成立.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
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