资源简介

(共14张PPT)
重点
难点
1.掌握相似三角形的判定定理2.
2.理解相似三角形判定定理2的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题.
运用相似三角形的判定定理2解决简单的有关问题.
相似三角形的判定定理2的探索及证明过程.
三角形相似的判定方法：
(1)定义法：对应角相等、对应边成比例的的两个三角形叫做相似三角形.
(2)定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.
(3)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似.
类比“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”，如果两边对应成比例，且夹角相等，那么能不能判定这两个三角形相似呢？
思 考
对于△ABC和△A′B′C′，如果 ，∠B=∠B′， 这两个三角形一定相似吗？
A
B
C
A＇
B＇
C＇
想一想：已知，如图△ABC和△A′B′C′中， .
求证：△ABC∽△A′B′C′ .
A
B
C
A＇
B＇
C＇
D
E
证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E，则
∠ADE=∠B, ∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC ,
∵ ,
∴ .
∴ ,
∴ ,
∴△ADE≌△A′B′C′(SAS),
∵∠A=∠A′,
∴△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的判定定理2：
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
用数学符号表示：
∵ ,
∴△ABC∽△A′B′C′.
例2 已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′=60°，AB=4 cm，AC=8 cm，A′B′=11 cm，A′C′=22 cm.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
1.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O，且将这个四边形分成①,②,③,④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是( ) .
A．①与②相似 B．①与③相似
C．①与④相似 D．②与④相似
2.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD∶AC=1∶3,AE=BE,则有( )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
①
④
②
③
B
B
3.如图,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点，AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为　　　　时,△ADP和△ABC相似.
4或9
4.如图,D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,AE=1.5,AC=2,BC=3,且 ,求DE的长.
解：∵AE=1.5,AC=2,∴ .
∴ , ∴ .
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC,∴ .
∵BC=3,∴DE= BC= ×3= .
1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB＝BE＝EF＝FC.
求证：△AEF∽△CEA.
解：设AB=BE=EF=FC=a，∵∠B=90°，∴AE= a.
∵
∴ 且∠AEF=∠CEA.
∴△AEF∽△CEA.
2.已知，如图，点O是△ABC的垂心，联结AO交CB的延长线于点D ,联结CO交AB的延长线于点E,联结DE .
求证:△ODE∽△OCA.
证明:∵O是垂心,
∴AO⊥CD,即∠CDO=90 ,
同理∠AEO=90 ,
∴∠AEO=∠CDO,
∵∠O=∠O,
△AEO∽△CDO
∴ , ∴ .
△ODE∽△OCA.
三角形相似判别定理2
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
本节课还用到了类比的思想，类比三角形全等.25.4 一元二次方程的应用
课题 第2课时 相似三角形的判定定理2 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P76-79
教学目标 1.理解定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”. 2.会利用“两边对应成比例且夹角相等”判定两个三角形相似并解决简单问题.
教学重难点 重点：理解相似三角形的判定定理2 难点：探索相似三角形判定定理的证题方法与思路．
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 教师活动：提出问题. 我不小心把许多形状各异的三角形搞乱了，请同学们帮个忙，从这六个三角形中找出相似的三角形，并直观展示一下你是怎样判定两个三角形相似． 师生活动：教师提问,学生回答． 从感觉本能出发启发理性思考，为下面的活动奠定基础，培养直觉思维能力．
2.实践探究，学习新知 【探究】 类比“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”，如果两边对应成比例且夹角相等，那么能不能判定这两个三角形相似呢？ 如下图，在△ABC和△A1B1C1中，如果∠A＝∠A1，＝，那么△ABC和△A1B1C1相似吗？ 问题1： 如何在△ABC中构造出一个与△ABC相似的三角形？ 学生活动：作BC边的平行线(学生根据上一节的内容很容易想到) 教师活动：在AB边上任找一点D，过点D作DE∥BC，交AC于点E.根据上节课的知识，我们可以知道△ADE和△ABC相似． 教师活动：像这样的三角形有多少个？ 学生活动：无数个． 问题2： 点D在什么位置时，所构造的△ADE可能与△A1B1C1全等？ 学生活动：AD＝A1B1时． 教师活动：教师出示下图： 教师活动：假如△ADE与△A1B1C1全等，而△ADE又和△ABC相似，那么△ABC和△A1B1C1相似． 学生活动：学生根据教师的提示写出证明过程． 证明：如图，在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A1B1，过点D作DE∥BC，交AC于点E. ∵△ABC~△ADE， ∴=. ∵，AD=A1B1， ∴. ∴AE=A1C1. 又∵∠A=∠A1， ∴△ADE≌△A1B1C1. ∴△ABC~△A1B1C1. 【总结】 相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 几何表示： ∵∠A＝∠A1，＝， ∴△ABC∽△A1B1C1. 【例题】 例1 已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝60°，AB＝4 cm，AC＝8 cm，A′B′＝11 cm，A′C′＝22 cm. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：∵，， ∴ . 又∵ ∠A＝∠A′＝60°， ∴ △ABC∽△A′B′C′. 通过教师的引导，让学生一步步讨论、交流、解决问题，同时让学生模仿学习怎样分析问题． 通过教师的引导，让学生一步步讨论、交流、解决问题，同时让学生模仿学习怎样分析问题． 通过归纳总结，得出相似三角形的判定定理. 简单应用相似三角形的判定定理，巩固所学内容.
3.学以致用，应用新知 考点1 相似三角形的判定定理2 练习1 如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB=2，BD=1，DC=3，求证：△ABD~△CBA． 证明：∵BD=1，DC=3， ∴BC=BD+CD+1+3=4， ∵， ∴， ∵∠B为公共角， ∴△ABD~△CBA. 变式训练1 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且ADAC=AE·AB．求证：∽．
证明：∵AD·AC=AE·AB， ∴， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE~△ABC. 巩固用判定定理2证明三角形相似，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．
4.随堂训练，巩固新知 1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 (　　) A.①与②相似 B.①与③相似 C.①与④相似 D.②与④相似 答案：B 2.如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝2，AB＝，BC＝3.求证：△BCD∽△BAC. 解：∵ BD＝2，AB＝，BC＝3. ∴ ，， ∴. 而∠CBD＝∠ABC， ∴ △BCD∽△BAC. 3.如图，在△ABC中，D，E是AB，AC上的点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否相似，小张同学的判断理由是这样的. 解：∵ AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1， ∴ AE＝6-2.1＝3.9. 由于， ∴ △ADE与△ABC不相似. 你同意小张同学的判断吗？请你说说理由. 解：不同意.理由如下： ∵AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1， ∴ AE＝6-2.1＝3.9， ∴AE∶AB ＝3.9∶7.8＝1∶2， AD∶AC ＝3∶6＝1∶2， ∴ AE∶AB ＝AD∶AC. 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
5.课堂小结，自我完善 本节课所学知识： 相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 几何表示：∵∠A＝∠A1，＝ ∴△ABC∽△A1B1C1. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.
6.布置作业 课本P78练习，习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 25.4　相似三角形的判定 第2课时 相似三角形判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 符号语言表示： 在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′， 那么△ABC∽△A′B′C′. 提纲掣领，重点突出.
教后反思 学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法，从基本图形入手能添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形． 反思，更进一步提升.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共18张PPT)
第二十五章　图形的相似
25.4 　相似三角形的判定
第2课时　相似三角形的判定定理2
练基础
知识点　两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
1. 如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是 （　　）
D

D
3.（易错题）如图，某四边形展区ABDC分为甲、乙、丙、丁四个三角形展位. 若OA∶OB=OC∶OD=2∶3，则对于这四个三角形的关系，下列判断正确的是 （　　）
A. 甲与丙相似，乙与丁相似
B. 甲与丙相似，乙与丁不相似
C. 甲与丙不相似，乙与丁相似
D. 甲与丙不相似，乙与丁不相似
A
4. 如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，若△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为下列各点中的 （　　）
A. P1 B. P2 C. P3 D. P4
B
5. （新趋势 开放性问题）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是 .（只需写一个条件）


7.如图，D是△ABC的边AB上的一点，AD=1，BD=3，当AC=________时，△ABC∽△ACD.
2


9. （新趋势 综合与实践）如图，在△ABC中，∠A=75°，AB=8，AC=6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 （　　）
练提升
D
10. 如图，已知∠B=90°，AB=BC=CD=DE，那么下列结论正确的是 （　　）
A. ∠1+∠2+∠3=135°
B. △ABD∽△EBA
C. △ACD∽△ECA
D. △ACD∽△ADE
C
C

12. （新趋势 多模块综合）如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C的坐标为______________________时，使得由点B，O，C组成的三角形与△AOB相似（不包括全等）.
（-1，0）或（1，0）
13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，DB平分∠ADC，且AB2=BE·BD. 求证：△ABE∽△DCE.

15. （新趋势 动点探究题）如图，在矩形ABCD中，AB=3 cm，BC=6 cm. 某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1 cm/s的速度向B点运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2 cm/s的速度向A点运动，运动时间为t s. 当t为何值时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？

练素养

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