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第二章　第9练　专题强化：动态平衡和临界、极值问题
[分值：100分]
1~7题每小题7分，共49分
1.(2024·山东卷·2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于(　　)
A. B. C. D.
2.(2025·江苏扬州市开学考)如图所示，小球在F作用下处于静止状态。现保持θ不变，缓慢转动F，下列说法正确的是(　　)
A.细线拉力始终不变
B.F可以竖直向下
C.F可以竖直向上
D.当F转到水平位置时最小
3.(2024·江苏苏州市模拟)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A物体的半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态。设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右缓慢移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是(　　)
A.都减小 B.都增大
C.F1增大，F2减小 D.F1减小，F2增大
4.如图所示，质量分布均匀的细棒中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑轻质定滑轮，且O2在O1正上方，铰链与滑轮大小均忽略不计，细绳跨过O2与O连接，水平外力F作用于细绳的一端。用FN表示铰链对细棒的作用力，现在水平外力F作用下，θ从缓慢减小到0的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.F逐渐变小，FN大小不变
B.F逐渐变小，FN逐渐变大
C.F先变小后变大，FN逐渐变小
D.F先变小后变大，FN逐渐变大
5.(2024·江苏扬州市模拟)如图，接在天花板上的橡皮筋连接在滑轮上，与竖直方向夹角为θ；悬挂物块的轻绳跨过滑轮施加水平力F，物块保持静止，使F在竖直面内沿逆时针方向缓慢转60°，不计滑轮质量及一切摩擦，橡皮筋始终在弹性限度内，此过程下列说法正确的是(　　)
A.θ变小，橡皮筋长度变短
B.θ变小，橡皮筋长度变长
C.θ变大，橡皮筋长度变短
D.θ变大，橡皮筋长度变长
6.(来自教材改编)两金属小球A、B用一轻质弹簧连接，球A用轻绳悬挂于O点，在水平拉力F的作用下，两小球处于如图所示的位置，此时轻绳与竖直方向的夹角为30°。现将力F逆时针缓慢转动30°，在此过程中，轻绳与竖直方向的夹角不变。下列说法正确的是(　　)
A.轻绳的拉力先减小后增大
B.A、B两小球间的距离增大
C.力F先减小后增大
D.弹簧与竖直方向的夹角增大
7.(2024·江苏南通市期中)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿水平方向从图示位置B缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中(　　)
A.绳子的拉力逐渐增大
B.该健身者所受合力逐渐减小
C.该健身者对地面的压力逐渐减小
D.该健身者对地面的摩擦力逐渐增大
8~10题每小题8分，11题13分，共37分
8.(2025·江苏南通市开学考)《墨经》中记载古代建造房屋过程中，通过斜面提升重物，如图所示，若斜面体上表面光滑，则在缓慢拉升重物的过程中(　　)
A.重物受到的支持力不变
B.重物受到的支持力减小
C.斜面体受到地面的支持力不变
D.斜面体受到地面的支持力先增大后减小
9.(2024·江苏省扬州中学月考)如图所示，光滑直杆OA、OB在O点由铰链固定，两杆间夹角θ(θ<90°)不变，在两杆上分别套上质量相等的小环P、Q，两小环由不可伸长的轻绳连接，初始时，杆OA竖直，现缓慢顺时针转动两杆至OB竖直，则在转动过程中(　　)
A.杆对环P的弹力先变大后变小
B.杆对环Q的弹力一直变大
C.杆对环P的弹力一直变大
D.杆对环Q的弹力先变小后变大
10.(2024·江苏苏州市检测)如图所示，倾角为θ＝30°、静置在水平地面上的斜面体顶端有一光滑的定滑轮，斜面上的物块A通过细线(A到定滑轮间细线平行于斜面)绕过定滑轮与物块B相连，此时物块A恰要沿斜面滑动，现在物块B上施加水平向右的力使物块B缓慢升高(图中未画出)，当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角φ＝60°时，物块A也恰要沿斜面滑动，已知物块B的质量为m，重力加速度为g，整个过程斜面体始终静止，则(　　)
A.外力F的最大值为2mg
B.物块A的质量为2m
C.物块A和斜面间的最大静摩擦力为mg
D.地面和斜面体间的摩擦力一直减小
11.(13分)如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平地面间的夹角均为θ，重力加速度为g，求：
(1)(5分)轻绳的合拉力大小；
(2)(8分)判断轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力是否也最小。
12.(14分)(2025·江苏苏州市检测)如图为一个水平传感器的简易模型，截面为内壁光滑竖直放置的正三角形，内部有一个略小于三角形内切圆的小球，三角形各边有压力传感器，通过测出小球对三边压力的大小，信息处理单元可显示摆放处的倾角。图中BC边恰好处于水平状态，现将其以C为轴在竖直平面内顺时针缓慢转动，直到AB边处于上方的水平位置，则在转动过程中球对BC边的压力先增大后减小是否正确？通过计算加以说明。
参考解析
1.B　[根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有mgsin 30°≤μmgcos 30°
可得μ≥tan 30°＝，故选B。]
2.C　[以小球为研究对象，小球受到重力G、力F和细线对小球的拉力FT，由于小球静止不动，则FT与F的合力与G等大反向，如图
根据图解法可知，当拉力F与细线垂直时最小，当F竖直向上时，细线拉力为0。故选C。]
3.A　[先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图所示的矢量三角形：
把A右移少许，θ角减小；在θ角减小的过程中，由矢量三角形可以看出F1、F2都减小。故选A。]
4.A　[细棒质量分布均匀，重心在O点，对细棒进行受力分析如图所示。
设细棒长为L，O1与O2间距为h，左侧绳长为x，根据相似三角形有，θ从缓慢减小到0的过程中，左侧绳长x减小，可知F逐渐变小，FN大小不变。故选A。]
5.C　[拉力逆时针转动过程中，滑轮两边绳间的夹角变大，两边绳上拉力大小恒等于物块重力，则合力减小，根据力的平衡可知，橡皮筋的弹力变小，长度变短，橡皮筋与竖直方向的夹角等于滑轮两边绳夹角的一半，因此θ变大。故选C。]
6.D　[对A、B整体受力分析，如图甲所示，绳与竖直方向夹角不变，则轻绳拉力FT方向不变，现将力F逆时针缓慢转动30°(此时力F与轻绳拉力FT垂直)，则此过程中，轻绳拉力FT减小，力F减小至最小，故A、C错误；
对B小球受力分析可知，在F转动过程中，弹簧与轻绳的夹角始终大于90°，对A小球受力分析，如图乙所示，其受轻绳拉力FT方向不变，而拉力FT变小，A小球处于动态平衡，则可知F弹在逐渐减小且与竖直方向夹角增大，即弹簧与竖直方向的夹角增大，根据胡克定律F弹＝kx可知，弹簧伸长量x减小，即A、B两小球间的距离减小，故B错误，D正确。]
7.D　[由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B错误；
对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有FTsin θ＋FN＝Mg，又有FT＝mg，可得FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，则有FTcos θ＝Ff，当从B缓慢移到A时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确。]
8.B　[对重物受力分析，如图所示
缓慢拉升重物的过程中，重物所受重力大小和方向不变，支持力的方向不变，而绳拉力的方向不断变化，根据图解法可知，重物所受支持力FN不断减小，绳拉力F不断增大，故A错误，B正确；设连接重物的绳与水平面的夹角为α，对重物和斜面体整体受力分析，在竖直方向有
(M＋m)g＝Fsin α＋FN地
重物缓慢沿斜面向上移动过程中，α不断增大，sin α增大，所以FN地不断减小，故C、D错误。]
9.C　[对两环和轻绳整体受力分析，作出力的矢量三角形如图所示，
缓慢顺时针转动两杆至杆OB竖直，初始时杆对环P的弹力最小，在转动过程中，当杆对环P的弹力逐渐增大到辅助圆的直径时，杆对环Q的弹力水平，杆对环P的弹力全过程一直变大，杆对环Q的弹力一直变小，故C正确。]
10.C　[当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角φ＝60°时，外力F具有最大值，以B为对象，根据受力平衡可得tan 60°＝
此时细线拉力为FT2＝＝2mg
可得外力F的最大值为F＝mg，故A错误；设A的质量为mA，由题意可知，对B施加外力F前，物块A恰要沿斜面下滑，则有
mAgsin 30°－Ffm＝FT1＝mg
当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角φ＝60°时，物块A恰要沿斜面上滑，则有mAgsin 30°＋Ffm＝FT2＝2mg
联立解得mA＝3m，Ffm＝mg
故B错误，C正确；以A、B和斜面体为整体，根据受力平衡可得Ff地＝F
由于水平外力F逐渐增大，则地面和斜面体间的摩擦力一直增大，故D错误。]
11.(1)　(2)不是
解析　(1)对石墩受力分析，由平衡条件可知FTcos θ＝Ff，FTsin θ＋FN＝mg
又有Ff＝μFN
联立解得FT＝
(2)拉力的大小为FT＝
其中tan φ＝
可知当θ＋φ＝90°时，拉力有最小值，即此时θ<90°。摩擦力大小为
Ff＝FTcos θ＝
可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小。
12.见解析
解析　对正三角形内部的小球受力分析，如图所示
由几何关系可知，随着角度θ从0°到60°增大过程中，角α与角θ之和保持不变，且α＋θ＝120°，所以角β也保持不变，β＝60°，由平衡条件和正弦定理得
角度θ从0°到60°增大过程中，sin (120°－θ)先增大后减小，所以球对BC边的压力是先增大后减小，即题中结论正确。

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