资源简介

1.3 《全等三角形的判定》
一、单选题
1．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，把长度确定的两根木棍，的一端固定在A处，和第三根木棍摆出 ABC固定，将木棍绕点A转动，得到，这个实验说明（ ）
A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
B．有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
2.如图，已知 ABC的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与 ABC全等的三角形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
3．如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　）
A． B．
C． D．
5．年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（ ）

A． B． C． D．
6．在 ABC中，，将 ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）
A． B．C． D．
7．如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
8．下列命题中，真命题的是（ ）
A．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
B．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C．两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
D．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
9．如图，在 ABC中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
10．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E五点均在格点上，则的度数为 ．
11.如图，在 ABC中，，，平分，，若，则的长为 ．
12．如图所示，，，，，，则
13．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点．（1）若，则 ；(用含的代数式表示（2）当点运动 s时，．
14．如图， ABC中，，D为上一点，连接，E为 ABC外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则 ．
15．如图， ABC中，，，，平分，且，则与的面积和是 ．
三、解答题
16．如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，．(1)求证：；(2)若，，求的长．
17．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，．
(1)求证：．(2)求证：G是线段的中点．
18．如图，点B，C，D在同一条直线上，，且．(1)试说明．(2)若，C是的中点，求的长．
19．思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出 ABC．固定住长木棍，转动短木棍，得到．这个实验说明了什么？
图1中的 ABC与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但 ABC与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
小明通过对上述问题的再思考，提出：两边和其中一边的对角（这个角是钝角）分别相等的两个三角形全等．即在 ABC和中，若，，（，为钝角），则．对于小明的结论，阿强和阿芳分别提出了验证方案．
(1)阿强的验证方案：根据教科书中探究三角形全等判定方法的经验，利用尺规作图验证小明提出的结论．即先画一个 ABC，使为钝角，如图2，再画一个，使，，．把画好的剪下来，放到 ABC上，看它们是否重合．
请利用直尺和圆规画出符合条件的（不写画法，保留作图痕迹）；
(2)阿芳的验证方案：利用三角形全等的判定方法证明小明提出的结论．即：在和中，已知，，（，为钝角），如图3．
求证：．请写出证明过程．
20.（1）如图①，已知： ABC中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为： ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在 ABC中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若， ABC的面积是16，求与的面积之和．
21．已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系．
(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________．
(2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且
．请直接写出线段之间的数量关系．
22．【发现问题】（1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在 ABC中，，．是 ABC的中线，求的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】（2）如图2，是 ABC的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________．
①；②；③；④
【问题拓展】（3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：；（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________．
参考答案
一、单选题
1．D
【详解】解：由题意知，与 ABC中有两边和其中一边的对角分别相等，
与 ABC不全等，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．故选：D．
2.B
【详解】解：∵图乙中的三角形与 ABC有两角及其夹边相等，∴图乙中的三角形与 ABC全等．
图丙中：，∴图丙中的三角形与 ABC有两角及其夹边相等，
∴图丙中的三角形与 ABC全等．故选B．
3．C
【详解】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件是相等角的另外一条临边相等，即，故选：C．
4．D
【详解】解：A、∵，不能画出，故本选项不符合题意；
B、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
C、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意．故选：D．
5．A
【详解】解：在和中，，，；故选：A
6．D
【详解】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；
B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；
C．如图：∵，，∴，
∵，，∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意；
D．如图:同理可得：，而，
但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意．故选：D．
7．C
【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即．故选：C．
8．A
9．C
【详解】解：∵，为三角形的角平分线，
∴，，
∴，故①正确；∴，
∵平分，∴，
在 BDF和中，，∴，
∴，，同理可得，∴，，
∴，，故③④正确，符合题意；
∵点G不一定是的中点，∴不能得出，∴不能得出，故②错误，不合题意；
综上，正确的结论是①③④．故选：C．
二、填空题
10．
【详解】解：由图可知：，，
，，故答案为：．
11.
【详解】解：如图，延长交于点,
,,
,,即,
在和中，,
平分,,
在和中,,,,故答案为：．
12．
【详解】解：∵，∴，即，
在和中，，∴，
∴，∴．故答案为：
13． α 2或5
【详解】解：（1）∵，∴，
∵为边上的高，∴，∴，∴，
∵，∴；故答案为：
（2）①如图，当点E在射线上移动时，
∵过点E作的垂线交直线于点F，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动，∴E移动了：；
②当点在射线上移动时，作点作交直线于点，，∴，
∵,∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵点从点B出发，在直线上以的速度移动，∴移动了：（s）；
综上所述，当点E在射线CB上移动或时，；故答案为：2或5．
14．
【详解】解：∵，，，∴，
又∵，，∴ ADB≌ CEA（SAS），∴，∴，
故答案为：．
15．3
【详解】解：如下图，延长交于点，
∵，，，∴，
∵平分，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，，
∴，∴．故答案为：3．
三、解答题
16．（1）证明：∵，∴，
在 ABC与中，∴．
（2）解：∵，∴，∴，∴，
∵，∴．
17．（1）∵，∴，
∵，，∴，∴；
（2）∵，，，∴，
∴，即G是线段的中点．
18．（1）证明：，，
又，，，
在中，，
∵，∴，，
又，，，；
（2）解：由（1）得，，，
又点是的中点，，．
19．（1）解：如图，
则即为所作；
（2）证明：过作，垂足为，过作，垂足为，
∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
在 ABC和中，，∴．
20.解：（1）∵，
∴，且，∴，
在和中，，∴；
（2）成立，证明如下：∵，
∴，且，∴，
在和中，，∴，，
∴，，∴．
（3）同（2）可证，∴，
设 ABC的底边上的高为h，则的底边上的高为h，∴，，
∵，∴．∵，∴与的面积之和为8．
21．（1）解：补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是，
故答案为： ，，；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长 到点G，使 ，连接，
∵，∴，
在 与 中， ，∴，
∴，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ∴ ，
在 与 中， ，∴，∴，
∵，∴；
（3）解：或或，理由如下：
①，如图：在 上截取，使 ，连接 ，
∵ ∴
在 与 中，∴
∴，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ∴ ，
在 与 中， ，∴，∴，
∵，∴；
②，如图，在上截取，
同第一种情况，先证得，再证得，
∴ ；
③由（1）、（2）可知，；
④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系；
综上，线段之间的数量关系为或或．
22．（1）解：如图1中，延长至点，使．
在和中，，，，
，，，；
（2）解：如图2，延长至，使，连接，
是中线，，又，，，
，，，，，
为中线，，，，
又，，，，
，∴正确选项的序号是：②④；
（3）证明：如图3，延长至，使，连接，
是的中点，，又，，，
，，，，
与互补，，，
又，，，，；
（4），，，，，
，∵∠AOB=∠COD=90°，，
，，，，，．

展开更多......

收起↑