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1.3 《全等三角形的判定》小节复习题
题型01 利用“SAS”证明三角形全等
1.如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使．(1)求证： BDF≌ ADC；(2)求证：．
2.如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，是线段的中点，在的同侧有两点E，D，使得．求证： ACD≌ BCE．
4.如图，射线在 ABC外，．
(1)在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：；
5.（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________．
（2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________．
（3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明．
题型02 利用“ASA”证明三角形全等
1.如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，，求证：．
2.如图，在 ABC和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是
4.如图，点D是 ABC的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：．
5.如图，点C在线段上，．与全等吗？请说明理由．
题型03 利用“AAS”证明三角形全等
1.如图，．求证：．
2.如图．已知是 ABC边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与 BDF全等的理由．
3.如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．求证：．
4.如图，，，．
(1)求证：；(2)若，，求的度数．
5.（1）如图1，在 ABC中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】（2）如图2，在 ABC中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以 ABC的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
题型04 利用“SSS”证明三角形全等
1.下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．求作：一个角，使它等于．
作法：如图2．①在的两边上分别任取点，；②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点；③连接，，即为所求作的角．
(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据．
证明：连接．在和中，（_____________），
（____________________）．
2.如图，在 ABC与中，若，则，这个结论的理由是（　　）
A． B． C． D．
3.数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形．
嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．”
淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．”
关于二人的说法，判断正确的是（ ）
A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确
C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误
4.如图，，，．求证：．

5.如图，C，D是上的两点，且，，．求证：．
题型05 利用“HL”证明三角形全等
1.如图，四边形中，，，，，与相交于点F．(1)求证：；(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
2.如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（ ）
A．5.5 B．2.5 C．3 D．2
3.如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆与某栋楼之间选定一点（点、、在同一水平线上，于点于点），他在点处用智能测量仪测得，，，求楼的高度．
4.如图，在和中，于点，于点，，．求证：．
5.已知：如图，是 ABC的高，是上一点，，，求证：(1)．(2)．
题型06 添加条件使三角形全等
1.如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知，，添加下列条件不能使的是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，已知，要得到，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，已知，，垂足分别为点E、F，则在下列各组条件中选择一组，其中不能判定的是 （ ）
A．， B．， C．， D．，
5.根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（ ）．
A．如图1，线段与相交于点O，，与
B．如图2，， ABC与
C．如图3，线段相交于点E，已知，与
D．如图4，已知， ABC与
6.如图，是内的一条射线，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F都不与O点重合，连接，添加下列条件，能判定的是（ ）
A．， B．，，
C．， D．，
题型07 全等三角形中的尺规作图
1.嘉嘉先画出了 ABC，再利用尺规作图画出了 ADE，使．图1~图3是其作图过程．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，先以长为半径画弧，与边交于点D，再以长为半径画弧，与射线交于点E连接．
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在 ABC中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 ABC 的角平分线，那么下列结论正确的是（ ）

A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错
3.如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．

4.如图，点是的边上任意一点．下面是“过点作”的尺规作图过程：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点，作直线，则即为所求．
上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5.
已知： ABC．求作：，使得． 作法：如下图． （1）作；（2）在射线上截取，在射线上截取； （3）连接线段，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料解决下列问题：(1)根据作图痕迹补全作法．
由作图可知，在和中，，所以_______；
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______（填序号）．
①②③④
题型08 全等三角形的实际应用
1.某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案．
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离．
乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离．
丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离．
(1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分．乙：　　　；丙：　　　．
(2)请你选择其中一种方案进行说明理由．
2.雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
3.小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一堆，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为 米．
4.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（ ）
A． B． C． D．
5.如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（ ）
A． B． C． D．
题型09 网格中点的三角形全等
1.如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在的正方形网格中， ．
3.如图，在的正方形网格唎，每个小正方形的顶点叫作格点，点均为格点，连接，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，是一个的正方形网格，则 ．
题型10 全等三角形的判定与性质综合
1.如图1，点在的平分线上．
(1)若，求证：．(2)如图2，若．①已知，求的度数．②点在上，若，求证：．
2.如图，在 ABC中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若．(1)求证：；(2)求证：．
3.数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在 ABC和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由．
(2)类比探究：如图2，在 ABC和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________．
(3)拓展延伸：如图3， ABC和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________．
4.利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题．
初步感知：如图1，在 ABC中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使．
（1）填空：________．（填“”“”或“”）；（2）求证：；
（3）试说明：．
拓展应用（4）如图2，在 ABC中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和．
5.阅读下列材料，完成相应的任务
全等四边形
根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等．
按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形”
任务：(1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由．(2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形．
题型11 全等三角形中的探究问题-角度关系
1.如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接．(1)求证：平分；(2)若，求四边形的面积；(3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
2.已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F．
(1)如图1，求证：； (2)若，则 ；
(3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示）
3.在 ABC中，，点在的延长线上．
(1)如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由；
(2)如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由．
4.如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上．(1)求证：；(2)探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由．
题型12 全等三角形中的探究问题-线段关系
1.已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系．
(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ．
(2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明．
2.已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接．
(1)发现问题：如图1，当点在边上时，①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____；
②求证：；(2)尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，
①中，，之间的数量关系式为_____．②并进行证明．
3.在等腰直角 ABC中，，点在射线上运动（不与点，重合），连接，以为直角边作等腰直角 ADE（点与点在直线的两侧），，连接．设．
(1)如图1，点在线段上运动．①求的度数（用含的代数式表示）；
②用等式表示线段之间的数量关系并证明；
(2)如图2，当点在线段的延长线上运动，直接用等式表示线段，，之间的数量关系．
4.在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
【问题解决】（1）如图（1），是 ABC的中线，且，延长至点，使，连接，可证得 ADC≌ EDB，其中判定全等的依据为：____．
【问题应用】（2）如图（2），是 ABC的中线，点在的延长线上，，，试探究线段与的数量关系．
【拓展延伸】（3）如图（3），是 ABC的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
题型13 添加辅助线构造全等
1.如图，在 ABC中，已知，平分，，(1)若的面积是，求 ABC的面积；(2)求证：．
2.如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
3.综合与实践：
【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考：
（1）由已知条件和作辅助线，能得到 ADC≌ EDB，理由是 ．
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ．
【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【解决问题】（3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度．
4.【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ．
【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数．
5.【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在 ABC中，，；在中，，，并提出了相应的问题．
【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为．
(1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程．
，，
∵，，，，
，，……（补充小芳的过程）
(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积．
参考答案
题型01 利用“SAS”证明三角形全等
1.（1）证明：∵是等腰直角三角形，，∴，，
又∵，∴；
（2）由（1）知：，∴，
∴，
∴，∴．
2.A
【详解】解：已知，由作图可知，，
∴，故选：A．
3.证明：，，，
∵是线段的中点，∴，，．
4.（1）解：作图如图，
（2）证明：在 ABC和中
5.解：（1），理由如下：设，则，
如图1，延长到点，使，连接，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴；故答案为：；
（2）三条线段间的数量关系为：，理由如下：
如图2，延长到点，使，连接，
∵，∴，
∵，∴，由（1）同理得：，∴，
∵，∴，∴；故答案为：；
（3），理由如下：如图3，在上截取，连接，
同理得：，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∵，∴．
题型02 利用“ASA”证明三角形全等
1.证明：，，．
在和中，，，．
2.D
【详解】解：，，
在 ABC和中，，；
则的依据是；故选：D
3.6
【详解】解∶过D作于E，则，∴，
∵，∴，∴，
又，，∴，∴，
∴，故答案为：6．
4.证明：∵，，∴，∵，∴，
∵，∴，∴．
5.解：，理由如下，∵，∴．
在和中，，∴．
题型03 利用“AAS”证明三角形全等
1.证明：，，
，，即，
∵，，
在 ABC与中，，．
2.解：与 BDF全等的理由如下：∵是 ABC边的中线，∴，
∵，∴，∴．
3.证明：在中，．
，．．，．
在和中，，，．
4.（1）证明：∵，∴，∴，
在 ABC和中，，∴．
（2）解：∵，∴，∵，∴，
∵，是 ABC的外角，．
5.（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，∴；
（2）解：，，的数量关系是：，证明如下：
∵是的外角，∴∠EAB=∠ADB+∠DBA，∴∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA，
∵，∴，在和中，，∴，
∴，，∴；
（3），大小关系是：，理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，∴∠AGB=∠M=90°，∴，
∵，∴∠BAG=∠DAM=90°，∴∠ABG=∠DAM，
在和中，，∴，
∴，同理可证明：，∴，∴，
∵，，∴．
题型04 利用“SSS”证明三角形全等
1.（1）解：如图所示，
；
（2）证明：连接，由作图可知，，
在和中，，
（全等三角形的对应角相等）．故答案为：，，全等三角形的对应角相等．
2.C
【详解】解：在 ABC与中，
∵，∴．故选：C
3.C
【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等，
则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等．
故两人的说法都正确，故选：C．
4.证明：∵，∴，即，
在 ABC和中，∵，，∴，∴．
5.证明：，，即，
在 ABC和中，，，
题型05 利用“HL”证明三角形全等
1.（1）证明：∵，
在和中，，∴，
（2）解：．理由如下：∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
2.A
【详解】解：，，
在和中，，，，，
，，，故选：A．
3.解：∵，，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，，∴，
答：楼的高度为．
4.证明：，，，
在和中，，；，
在中，，，即；．
5.（1）证明：是 ABC的高，，
在和中，，，；
（2）如图，延长与交于点，
，，，
又，，，
，．
题型06 添加条件使三角形全等
1.C
【详解】解：，
当添加时，可根据“”证明，故A选项符合题意；
当添加时，∵，，∴，
∴，，∴，即，
进而可用“” 证明，故B选项不符合题意；
当添加时，不能证明，故C选项符合题意；
当添加时，可根据“” 证明，故D选项不符合题意；故选：C．
2.B
【详解】解：A、，，，，故A不符合题意；
B、，，，和不一定全等，故B符合题意；
C、，，，，故C不符合题意；
D、，，即，
，，，故D不符合题意；故选：B．
3.B
【详解】解：∵，，
∴当时，可利用证明，故A选项不符合题意，
当时，无法证明三角形全等，故B选项符合题意，
当时，可利用证明，故C选项不符合题意，
当时，可利用证明，故D选项不符合题意，故选：B．
4.D
【详解】解：∵，，∴，
A：若，，则可利用“”判断，不符合题意；
B：若，，则，可利用“”判断，不符合题意；
C：若，，则可利用“”判断，不符合题意；
D：与不是对应边，故不能判定，符合题意；故选：D．
5.C
【详解】解：A．在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意；
B．在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意；
C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意；
D．在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意．故选：C．
6.B
【详解】解：A. ，不符合对应边、对应角相等，故不能证明，故不符合题意； B. ，，，运用HL可证，故符合题意；
C. ，不符合对应边、对应角相等，故不能证明，故不符合题意；
D. ，再加上隐含条件,运用SSA不能证得，故不符合题意． 故选B．
题型07 全等三角形中的尺规作图
1.B
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定．根据作图痕迹，利用即可证明．
【详解】解：由作图知，，，，
∴，故答案为：B．
2.A
【详解】解：如图，连接 甲：由作图可知，，

∵，∴，∴，∴是平分线，故甲的作法正确；
乙：由作图可知，，∵，∴，∴，
∴是平分线，故乙的作法正确．故选A．
3.
【详解】解：连接，，由作图可知，，，

在和中，，∴，
∴，∴，∴，
∵平分，∴，∴．故答案为：．
4.A
【详解】解：由作图痕迹，得，，∴，故选：A．
5.(1)，， ABC；(2)．
【详解】（1）证明：由作图可知，在和 ABC中，
，∴，故答案为：，， ABC；
（2）解：这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是，故答案为：．
题型08 全等三角形的实际应用
1.（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离；
丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离．故答案为：，；
（2）解：答案不唯一．
选甲：在 ABC和中，，∴，；
选乙：，，，
在 ABC和中，，∴，；
选丙：在和中，，∴，．
2.C
【详解】解：∵，点分别是的中点，∴，
∵，，∴，故选：C
3.1.8
【详解】解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是，
点距离地面的高度为，点距离地面的高度是，，
，，，
又由题意可知，，，，，
，点到的距离为，故答案为：1.8．
4.D
【详解】解：在 ABC和 ADE中，，，故选项A不符合题意；
∴，∴，即，
∵、，∴，故选项B不符合题意；
∴，∴，即，故选项C不符合题意；
无法证明，故选项D符合题意；故选：D
5.A
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，即，
∵，相邻两平行线间的距离相等，∴，
在与中，∴，∴（米），故选：A．
题型09 网格中点的三角形全等
1.A
【详解】如图 在和中，∴，∴，
∵，∵，故选：A．
2.
【详解】解：如图，由图可知：
∴，∴，∴；故答案为：．
3.D
【详解】解：如图所示，取格点E，由网格的特点可得，
∴，∴，∵，∴，故A错误；
由网格的特点可得，∴，，故C错误；
∴，，故B错误
∵，
∴，故D正确；故选：D．
4.
【详解】解：如图，
由图可得：，，，∴，
∴，∴，由图可得：，，，
∴，∴，∴，
∴，故答案为：．
题型10 全等三角形的判定与性质综合
1.解：（1）证明：，．平分，．
又，，．
（2）①如图，在上截取，连接．平分，，
∵，，．
，∴，，，．
．
②证明：如图，连接，在和中，，．
，，，．
2.（1）点是的中点，，
在和中，，．
（2），，，，
，．在和中，，，
，，．
3.（1），
理由如下：如图所示：∵ ABC和 ADE都是等腰三角形，∴，
又 ∵，∴，∴，∴，
∵，，∴；
（2）如图所示：证明：∵，，即，
又 ∵ ABC和 AEF都是等腰三角形，，，
，，，，
，故答案为：；；
（3）如图：∵ ABC和 AEF都是等腰三角形，，
，即：，，，
，，
，，，且，，故答案为：；
4.（1）解：∵在 ABC中，为中线，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，故答案为：；
（2）证明：由（1）可知：，，
，，，；
（3）证明：由（1）可知，由（2）可知，
，，；
（4）解：，，
，，
在和中，，∴ ABF≌ DAE（AAS），，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
，，，，
，与的面积之和为．
5.（1）证明：在 ABC和中，，∴，
∴，
在和中，，∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等，∴四边形四边形；
（2）解：在 ABC和中，，∴，∴，
∵，∴，即，
而由，，，不可以根据证明，
∴满足这五个条件不能得到四边形四边形．
题型11 全等三角形中的探究问题-角度关系
1.（1）证明：∵在和中，，
∴，∴，∴平分；
（2）∵ ACE≌ ACF，∴，∴180°-∠AEC=180°-∠AFC，即，
在和中，，∴，
∴，，∴，
∴四边形的面积；
（3）∵ ACE≌ ACF，∴，又∵，
∴，
∵，∴．
2.（1）证明：，，，
在和中，（）；
（2）解：，，，，
，故答案为：；
（3）解：，，
，，，
，故答案为：．
3.（1）解：全等，理由如下：
∵为的中线，，，，
在和中，，．
（2）解：．理由：在 上截取 ，连接，如图，
在和中，，∴ EFC≌ BCN（SAS），，
∵，，∴，
在和中，，∴ DEA≌ NBA（SAS），，
∵，∴．
4.（1）∵，∴，
∴，∴，
在与中，
又，
（2），理由如下：，，
又，
又，
又，
题型12 全等三角形中的探究问题-线段关系
1.（1）解：补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是，故答案为：，，；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长到点G，使，连接，
，，，
在与中，，，
，，，，
，，，
在与中，，，，
，；
（3）解：或或，理由如下：
，如图③，在上截取，使，连接，
，，，
在与中，，，
，，，，
，，，
在与中，，，，
，；
，如图④，在上截取，
同第一种情况，先证得 ABE≌ ADH（SAS），再证得，；
由（1）、（2）可知，；
如图，点在延长线上，点在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系；
综上，线段、、之间的数量关系为：或或．
2.（1）解：由题意可得：，
∴，即，
在和中，，∴，
∴，，∴，∴；
②证明：由①可得：，∴；
（2）解：①中，，之间的数量关系式为；
②证明如下：由题意可得：，
∴，即，
在和中，，∴，∴，∴．
3.（1）解：①∵，∴，
∴，∴；
②，证明：在延长线上截取，连接，
∵，∵，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴；
（2）解：
在延长线上截取，连接，∵，
∵，∴，
∴，
∵∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∴．
4.（1）解：延长至点，使．
在和中，，，故答案为：；
（2）证明：延长至，使，
是 ABC的中线，，且，，
，，，，，
，，即，且，，
．，，．
（3）解：，，证明如下：
如图，在的延长线上截取，连接，则，
是 ABC的中线，，，，，
，，，，，
，，，
又，，，，，．
题型13 添加辅助线构造全等
1.（1）解：延长交于点，
∵平分，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，，∴，∴；
（2）证明：过点作于，过点作的延长线于，则，
∵，平分，∴，
又∵，∴，∴，
∵，，∴，即，∴．
2.A
【详解】解：延长到点H，使，连接、，则，
∵，，，
∴，，
在和中，，∴，
∵，∴，∴，
在和中，∴，
∴，∴，
∵，∴，故选：A．
3.解：（1）∵是边上的中线，∴，
在和中，，∴，故选：A；
（2）∵，即，∴，
∵，∴，故答案为：；
（3）延长，交于点，∵平分，∴，
∵，∴
在和中，，∴.∴，.
在和中，，∴.∴，
∴，∵，∴．
4.解：（1），理由如下：
如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，，≌，，，
，，，
在和中，，≌，
故答案为：；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：如图2，延长到点G，使，连接，
，，，
在和中，，≌，，，
在和中，，≌，
；
（3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
，，，
在和中，，≌，，，
，，
在和中，，≌，，
，，
，即，
，，，
5.（1）解：，，
∵，，，，
，，
∵，∠AMB=∠CNB=90°，，
∴；，
∵，，∴；
（2）解：结论：．理由如下：，，
，，，
，，
∵，∴ ABE≌ BCP，，
，；
（3）解：延长，过点作于，如图所示：
，，，
∵∠AEB=∠CPB=90°，，∴，
，，，
延长，过点作于，如图所示：
，，，，
由平行线间的平行线段相等可得，．故答案为：21．

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