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25届高三数学高考模拟测试（一）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一选是符合题目的。
1．设集合．若，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知平面向量，且，则（ ）
A． B． C． D．1
4．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）
A． B． C． D．
5．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128 B．64 C．48 D．24
6．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为C左支上一点，与C的右支交于点Q，中点为M，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若对于，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数（分位数）为7
B．样本数据与样本数据满足，则两组样本数据的方差相同
C．若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立
D．若，且函数为偶函数，则
10．已知数列满足，设的前n项和为，下列结论正确的（ ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．当时，数列是单调递减数列
11．如图，在正四面体中，，D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC上的点，且，G为EF的中点，Q为四边形EBCF内（含边界）一动点，，则（ ）
A． B．五面体的体积为
C．点Q的轨迹长度为 D．AQ与平面PBC所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若，平面内一点P，满足，的最大值是_________．
13．已知，分别是双曲线的左、右焦点，M是平面内与，不重合的点，关于的对称点为N，线段的中点在双曲线C的左支上，，双曲线C的一条渐近线与圆（c为双曲线C的半焦距）相交所得弦长为2，则该双曲线的标准方程为_________．
14．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则__________，若实数，满足，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数在定义域上有两个极值点，．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，求a的值．
16．（15分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，∠，，连接是BD，E边BC上一点，过E作，交CD于点F，沿EF将向上翻折，得到如图2所示的六面体．
（1）求证：；
（2）设，若平面底面ABEFD，若平面PAB与平面PDF所成角的余弦值为，求的值；
（3）若平面底面ABEFD，求六面体的体积的最大值．
17．（15分）某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；
（2）群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包．小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率．
（3）在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包．第一个红包由群主发．根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为．设前n轮中群主发红包的次数为X，第n轮由群主发红包的概率为．求及X的期望．
18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，且直线的斜率之积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）点P是直线上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M，N．
①求证直线MN恒过定点，并求出此定点；
②求面积的最小值．
19．（17分）有穷数列中，令．
（1）已知数列，2，，3，写出所有的有序数对，且，使得；
（2）已知整数列，n为偶数，若，满足：当i为奇数时，；当i为偶数时，．求的最小值；
（3）已知数列满足，定义集合．若且为非空集合，求证：．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一选是符合题目的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A B D D D D C BC ABD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】2 2分； 3分
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【答案】（1） （2）
【解析】（1）由已知，
因为函数在定义域上有两个极值点，
所以，解得， 3分
所以实数a的取值范围为； 5分
（2）由（1）得，
即两个极值点为方程的两根，
则，
所以
7分
代入得
，其中，
则，得， 9分
设，
则，当时，，
即在上单调递增，又， 12分
所以． 13分
16．【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】（1）证明：不妨设EF与AC的交点为N，BD与AC的交点为M
由题知，，则有
又，则有．
由折叠可知，，所以可证， 2分
由，平面PAN，平面PAN，
则有平面PAN
又因为平面PAN，
所以． 4分
（2）解：依题意，有，平面平ABEFD面，
又平面PEF，
则有平面ABEFD，，又由题意知， 5分
如图所示：
以N为坐标原点，NA，NE，NP为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系
由题意知
由可知，
则
则有
7分
设平面ABP与平面DFP的法向量分别为
则有 8分
则 9分
所以
因为，解得． 10分
（3）设所求几何体的体积为V，设，
则，
12分
∴当时，，当时，
∴在是增函数，在上是减函数
∴当时，V有最大值，
即 15分
∴六面体的体积的最大值是
17．【答案】
（1）平均值9.05，众数2.5
（2）
（3）
【解析】（1）由频率分布直方图可得，红包金额的平均值为：
；
众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5； 3分
（2）由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为，且3次红包相互独立，由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为
； 8分
（3）由题意，，
由，又， 9分
是以为首项，为公比的等比数列，． 11分
设为第k轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，
故服从两点分布：，
．
由已知，则
15分
18．【答案】（1）
（2）①证明见解析，直线MN恒过定点，②．
【解析】（1）解：若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，
若椭圆E经过A，B两点，可得，可得， 2分
设，且，则，
因为，可得，
所以，所以椭圆E的方程为． 4分
（2）解：①由（1）知，椭圆E的焦点，设，
则切线PM的方程为，即，点P在直线PM上，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以， 7分
代入上式，可得
所以，同理，所以直线MN恒过定点． 9分
②由（1）知直线MN恒过定点，
令直线，代入椭圆方程，
联立方程组，可得，
则，且， 11分
（i）当时，点P到直线MN的距离为,
因为，所以，所以,
所以，所以，
又由弦长公式，可得
，
所以， 14分
令，所以，则，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
所以； 16分
（ii）当时，， 17分
综上可得，的最小值为．
19．【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）为时，，
为时，，
为时，，
为时，，
故，且使得的有序数对有； 4分
（2）由题意可得，
又为整数，故，
则，
同理可得，
即有， 6分
同理可得，当时，有，
即当时，有，
当时，， 8分
故
； 10分
（3）时，
当时，
令且，则有，
又，故，
即有，
13分
令且，则有，
则，
即有，
故，即 15分
当时，
，
即亦成立，即得证． 17分

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