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揭阳华侨高级中学高三数学学科第三次阶段考试
（2024-2025学年第二学期）
一、选择题（给出的选项中只有一项是符合题目要求的,每小题5分,共8小题,满分40分.）
1． 已知集合=,=,,则等于（ ）
A. （1,2） B. C. D.
2．已知角的终边经过点,则（ ）
A． B． C． D．
3．已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点F的距离为12,到y轴的距离为9,
则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
4.已知为等比数列,为数列的前项和,,则的值为 （ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
5．已知向量,且的夹角为锐角,则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6. 从1,2,3,4,5,6,7这7个数任选3个不同数排成一个数列,则得到的数列为等差数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数的两个零点分别为和,则（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在曲线上,⊙过原点,且与轴的另一个交点为,若线段,⊙和曲线上分别存在点、点和点,使得四边形（点,,,顺时针排列）是正方形,则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）．
A．曲线上不存在”完美点”
B．曲线上只存在一个“完美点”,其横坐标大于
C．曲线上只存在一个“完美点”,其横坐标大于且小于
D．曲线上存在两个“完美点”,其横坐标均大于
二、多项选择题（每小题全对得6分,部分答对得部分分,有错误选项得0分,共3小题,满分18分）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．已知离散型随机变量,则
B．一组数据148,149,154,155,155,156,157,158,159,161的第75百分位数为158
C．若,则事件与相互独立
D．根据分类变量与的观测数据,计算得到,依据的独立性检验可得：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
变量与独立,这个结论错误的概率不超过0.05
附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值
10．已知正方体的边长为2,且为棱的中点,点在正方形的边界及其内部运动,且满足与底面所成的角为,给出下列四个结论：()
①存在点使得；
②点的轨迹长度为；
③三棱锥的体积的最小值为；
④线段长度最小值为．
其中所有正确结论的序号是( )
A.① B.② C.③ D.④
11．已知函数在处取得极值,
且在上单调,则下列结论中正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．不可能有两个零点
C．若在上有最小值,则的取值范围是
D．当时,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是
三、填空题（每小题 5分,共3小题,满分15分.）
12．若复数是纯虚数,则实数 ．
13.设,若,则 .
14．已知是定义在上的增函数,函数的图象关于点对称,若实数,满足等式,则的最大值为 ．
四、解答题（要求写出必要的过程）
15．（本题满分13分）
在锐角中,角的对边分别为,已知
(1)求角； (2)若,求面积的取值范围.
...................13分
16．（本题满分15分）某公司升级了智能客服系统,在测试时,当输入的问题表达清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为,当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立）,设表示智能客服的回答被
采纳的次数.求的分布列、期望及方差.
17．（本题满分15分）如图,正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直,已知,,点在线段上.
(1)求证：平面平面；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时,求.
18．（本题满分17分）在中,点,,的周长为6.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若椭圆上点处的切线方程是,
①过直线上一点引的两条切线,切点分别是、,求证：直线恒过定点；
②是否存在实数,使得,若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
19．（本题满分17分）给定正数与无穷数列,若存在,当时,都有,则称数列具有性质．
(1)求证：数列具有性质；
(2)若无穷数列具有性质,求证：存在正数,使得；
(3)若对任意正数,数列都具有性质,则称为“—数列”．
若正项数列是“—数列”,试判断数列是否也是“—数列”,
并证明你的结论．（注：）
揭阳华侨高级中学高三数学学科第三次阶段考试
（2024-2025学年第二学期）
一、选择题（给出的选项中只有一项是符合题目要求的,每小题5分,共8小题,满分40分.）
1． 已知集合=,=,,则等于（D ）
A. （1,2） B. C. D.
2．已知角的终边经过点,则（A ）
A． B． C． D．
3．已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点F的距离为12,到y轴的距离为9,
则p=（C）
A．2 B．3 C．6 D．9
4.已知为等比数列,为数列的前项和,,则的值为 （C）
A．3 B．18 C．54 D．152
【详解】由题意可得：当时,,即, ①
当时,,即, ②
联立①②可得,则．
5．已知向量,且的夹角为锐角,则的取值范围为（ A）
A． B．
C． D．
【详解】由的夹角为锐角,即,即,解得；
当共线时,,解得,此时满足,此时两向量夹角为,于是的夹角为锐角时,.
6. 从1,2,3,4,5,6,7这7个数任选3个不同数排成一个数列,则得到的数列为等差数列的概率为（A）
A． B． C． D．
【详解】从给定的7个数中任取3个的试验有个基本事件,能构成等差数列的事件含有：公差为的个,公差为的个,公差为有个,共18个基本事件,所以得到的数列为等差数列的概率为.
7．若函数的两个零点分别为和,则（A）
A． B． C． D．
【详解】函数,其中,由,得,而,因此,即,则即,故.
8．已知点在曲线上,⊙过原点,且与轴的另一个交点为,若线段,⊙和曲线上分别存在点、点和点,使得四边形（点,,,顺时针排列）是正方形,则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（B）．
A．曲线上不存在”完美点”
B．曲线上只存在一个“完美点”,其横坐标大于
C．曲线上只存在一个“完美点”,其横坐标大于且小于
D．曲线上存在两个“完美点”,其横坐标均大于
【详解】如图,如果点为“完美点”则有,以为圆心,为半径作圆（如图中虚线圆）交轴于,（可重合）,交抛物线于点,当且仅当时,在圆上总存在点,使得为的角平分线,即,利用余弦定理可求得此时,即四边形是正方形,即点为“完美点”,如图,结合图象可知,点一定是上方的交点,否则在抛物线上不存在使得,也一定是上方的点,否则,,,,不是顺时针,再考虑当点横坐标越来越大时,的变化情况：
设,当时,,此时圆与轴相离,此时点不是“完美点”,故只需要考虑,当增加时,越来越小,且趋近于,而当时,；故曲线上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于．故选．
二、多项选择题（每小题全对得6分,部分答对得部分分,有错误选项得0分,共3小题,满分18分）
9．下列说法中正确的是（BC）
A．已知离散型随机变量,则
B．一组数据148,149,154,155,155,156,157,158,159,161的第75百分位数为158
C．若,则事件与相互独立
D．根据分类变量与的观测数据,计算得到,依据的独立性检验可得：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
变量与独立,这个结论错误的概率不超过0.05
附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值
【详解】对于A：据二项分布的方差公式可得,∴,∴A错误；
对于B：,根据百分位数的定义,这组数据的第75百分位数为第8个数158,∴B正确；
对于C：∵,∴,∴,
根据事件独立性的定义可知,事件与相互独立,∴C正确；
对于D：根据的值以及常用的概率值与相应临界值可知,依据的独立性检验,
可得变量与相互独立,即认为变量与不相互独立,犯错误的概率大于0.05小于0.1,∴D错误．
10．已知正方体的边长为2,且为棱的中点,点在正方形的边界及其内部运动,且满足与底面所成的角为,给出下列四个结论：(ABC)
①存在点使得；
②点的轨迹长度为；
③三棱锥的体积的最小值为；
④线段长度最小值为．
其中所有正确结论的序号是( )
A.① B.② C.③ D.④
【详解】对于①,当在中点上时,如图,连接,,
因为正方体,所以面,,
所以,由中位线定理得,
而,面,所以面,所以,故①正确,
对于②,所以与底面所成的角为,故,而面,所以,因为为棱的中点,所以,所以点的轨迹半径为1的个圆,故长度为,故②正确,
对于③,如图,连接, 由正方体性质得,面,所以,由勾股定理得,所以四边形是平行四边形,而,所以四边形是矩形,
所以,设中点为,
如图,作, 而面,面,所以,
因为,面,所以面,而正好在的轨迹上,
所以当运动到时,到面距离最短,此时可以得到是的中位线,由勾股定理得,所以,所以体积的最小值为,故③正确,
对于④,若最小,则最小,连接,,如图,当共线时取得最小值, 由勾股定理得,此时,得,故④错误.
11．已知函数在处取得极值,
且在上单调,则下列结论中正确的是（ ACD ）
A．的取值范围是
B．不可能有两个零点
C．若在上有最小值,则的取值范围是
D．当时,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是
【详解】选项A：由题得,
若,则,单调递增,不存在极值,
又因为在处取得极值,所以必有．
当时,可知在处取得极小值,且在上单调递增,符合题意；
当时,可知在处取得极大值,但在上先减后增,不合题意．
综上,的取值范围是,故A正确．
选项B：由选项A可知的极大值为,极小值为,因为,所以极大值,当极小值,即时,有两个零点,故B错误．
选项C：要使在上有最小值,应满足,即,解得,故C正确；
选项D：当时,,令,显然是奇函数,且,因此不等式,
可化为,即,由于是奇函数,（结论：任意三次函数的图象均为中心对称图形,
且对称中心为点,其中是的二阶导数的零点）
所以,
又,且在上单调递增,
（函数在上单调递增,将的图象向上平移个单位长度得到的图象,所以与的单调性相同）,
因此,即,
于是,由于,
因此,则,故实数的取值范围是,故D正确．
三、填空题（每小题 5分,共3小题,满分15分.）
12．若复数是纯虚数,则实数 ．【答案】2
13.设,若,则 .
14．已知是定义在上的增函数,函数的图象关于点对称,若实数,满足等式,则的最大值为 ．
【详解】由函数的图象关于点对称,向左平移个单位,
知函数的图象关于点对称,故函数为奇函数,
可转化为
由是定义在上的增函数,
两边平方得,且,
即点是以为圆心,半径为1的下半圆,如图示：
令,即
作直线,上下平移,当直线与圆相切于点A时,取得最小值即,解得或（舍去）
则的最小值为,的最大值为
四、解答题（要求写出必要的过程）
15．（本题满分13分）
在锐角中,角的对边分别为,已知
(1)求角； (2)若,求面积的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理得：, ...................1分
即,
, ...................3分
, ...................4分
,又； ...................6分
（2）由正弦定理得：,
,
,...................8分
在锐角中：,解得：, ...................10分
,,,
则 ...................13分
16．（本题满分15分）某公司升级了智能客服系统,在测试时,当输入的问题表达清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为,当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立）,设表示智能客服的回答被
采纳的次数.求的分布列、期望及方差.
【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”,“输入的问题表达不清晰”,
依题意,,,.................4分
因此,
所以智能客服的回答被采纳的概率为 ...................7分
（2）依题意,的所有可能取值为0,1,2,3,,..................8分
,
,............12分
所以的分布列为：.
0 1 2 3
...........13分
数学期望； .............15分
17．（本题满分15分）如图,正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直,已知,,点在线段上.
(1)求证：平面平面；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时,求.
【详解】（1）证明：由正方形有, ............1分
又平面平面,平面平面,
所以平面, ............3分
又平面,所以, ............4分
过点作,则,,,
所以,
所以,即, ...........5分
又,所以平面, ............6分
又平面,所以平面平面；............7分
（2）由（1）知两两互相垂直,分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系如图：
则有,............8分
设,则,设,
则有,解得,
得, ............9分
所以,
设平面的法向量为,则有,.....10分
令,得, ...........11分
设直线与平面所成角为,所以.....13分
解得或, ..................14分
所以或. ..................15分
18．（本题满分17分）在中,点,,的周长为6.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若椭圆上点处的切线方程是,
①过直线上一点引的两条切线,切点分别是、,求证：直线恒过定点；
②是否存在实数,使得,若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
【详解】（1）因为点,,所以, ..................1分
又的周长为,所以, ..................3分
所以点在以,为焦点的椭圆上（除长轴上两顶点外）, ..................4分
其中,,所以, ..................5分
所以点的轨迹的方程为（）. ..................6分
（2）①设切点坐标为,直线上的点的坐标, ..............7分
则切线方程分别为,又两切线均过点,即,
从而点、的坐标都适合方程,
而两点之间确定唯一的一条直线,故直线的方程是, . ................10分
显然对任意实数,点都适合这个方程,故直线恒过定点. ..................11分
②将直线的方程,代入椭圆方程,
得,即, ..................12分
显然,,, ..................13分
不妨设,同理 . ..................14分
所以
.................16分
故存在实数,使得. .................17分
19．（本题满分17分）给定正数与无穷数列,若存在,当时,都有,则称数列具有性质．
(1)求证：数列具有性质；
(2)若无穷数列具有性质,求证：存在正数,使得；
(3)若对任意正数,数列都具有性质,则称为“—数列”．
若正项数列是“—数列”,试判断数列是否也是“—数列”,
并证明你的结论．（注：）
【详解】（1）取,则当时,
................3分
所以数列具有性质． .................4分
（2）,当时,都有, .................5分
当时,, .................6分
所以, ..................8分
取,则． ..................10分
（3）先证明：1）,恒有,这由切线放缩易证． ..........11分
2）,当时,恒有,即．
若不然,,使得．
取,则,矛盾（类似（2）中证明） ..................13分
下证也是“—数列”:,当时,
.................15分
而由于是“—数列”,取,则,当时,有,
所以,
所以也是“—数列”． .................17分
试卷第14页,共15页

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