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丽江市永胜县第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试
数学试卷
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
2. 函数在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知正项数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
5.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6.设随机变量服从二项分布，若，则（ ）
A. 0.16 B. 0.32 C. 0.64 D. 0.84
7.已知是双曲线的左 右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（ ）
A. 0 B. C. D. 2
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是
A. 相关变量x，y具有正相关关系
B. 剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C. 剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D. 剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
10.已知，，且，则（ ）
A. 的最小值是1 B. 的最小值是
C. 的最小值是4 D. 的最小值是5
11.已知函数，则（ ）
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若在区间上与有且只有6个交点，则
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知双曲线的左右焦点分别为，且.点为双曲线与圆的交点，直线（为坐标原点）交双曲线于另一点，且，则_______，双曲线的离心率的最小值为_______.
13.已知函数，则不等式的解集为__________．
14.数列满足，则的整数部分是__________．
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 某动物园观光车载有5位旅客自动物园门口出发，游览途中游客有4个车站可以下车.如到达一个车站没有游客下车就不停车.设每位游客在各个车站下车是等可能的，并设各位游客是否下车相互独立.随机变量，.
（1）求随机变量的概率分布和数学期望；
（2）已知：若随机变量服从两点分布，且，则.记停车的次数为，求的数学期望.
16.某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人.
（1）填写下面的列联表，判断是否有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
（2）规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为，求的分布列和期望.
附：
17.二次函数最小值为，且关于对称，又.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围；
（3）求函数在区间上的最小值.
18. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．
（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离．
19.已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．
（ⅰ）求数列的通项公式及；
（ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1.【答案】A
【解析】因为，，，
所以得：，故A项正确.
故选：A.
2.【答案】A
【解析】.将代入导函数，得.
已知切线过点，斜率为.由点斜式可得切线方程为.
整理得，即.答案是 A.
3.【答案】B
【解析】设，
则
故选：B.
4.【答案】B
【解析】法一： 依题知，，则数列是以为公比的等比数列，
因此，所以.
故选：B.
法二：由，得 ，所以
故选：B.
5.【答案】D
【解析】由依题意知，圆C：，
圆心，半径，
设，则，故点的轨迹为如下所示的正方形，
其中记，则，
则，即的最大值为.
故选：D.
6.【答案】C
【解析】，
解得，
所以，则
故选：C.
7.【答案】B
【解析】双曲线的焦点，其中.
由点到直线的距离公式为.
得到渐近线的距离.
由圆的弦长计算公式（其中为圆的半径，为圆心到直线的距离）.又因为已知，.
故.两边平方，得.
整理得，即.即.
两边同时除以，得到.又因为双曲线离心率.
故解得.
故选：B．
8.【答案】C
【解析】如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，
则，，，
∵是的中点，∴，
∵是线段的中点，∴，
∴，，，
∴，
∴.
故选：C.
二、多选题
9.【答案】BC
【解析】由回归直线方程的斜率为, 知变量具有负相关关系，错误;
剔除一个偏离直线较大的异常点后, 拟合程度变大, 故样本相关系数的绝对值变大,正确;
依题意，原样本中，，剔除一个偏离直线较大的异常点后，新样本中，，因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；
由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，因此相关变量x，y具有负相关关系，又，则剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误；
故选：BC.
10.【答案】BC
【解析】对于A：由已知，得，则，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以错误；
对于B：，当且仅当，时取等号，所以的最小值是，所以正确；
对于C： ，当且仅当时取等号，所以的最小值是4，所以正确；
对于D：，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以错误．
故选：BC．
11.【答案】BD
【解析】对于选项 A：，令（），解得.当时，，选项 A 错误.
对于选项 B：图象向右平移个单位长度，得，是奇函数，选项 B 正确.
对于选项 C： 令（），解得（）.当时，，不在此区间，选项 C 错误.
对于选项D： 由，得，则（）.要使在上与有且只有 6 个交点，则，解得.又，，所以，选项 D 正确.
综上，答案是 BD.
三、填空题
12.【答案】 3；
【解析】由题意知M在双曲线右支上，，
设，设点，则，
即，
则，
即，
又，
所以，所以，所以.
点在双曲线C右支上，所以，所以.
由对称性可得为的中点，
在中，，
即，
又在中，，
所以，
由于，故，
故，
所以双曲线的离心率的最小值为.
13.【答案】
【解析】依题知函数的定义域为，且，
则是偶函数，
，且，是奇函数，因为当且仅当
所以，
即，所以是为增函数，因为
所以当时，，即在上为增函数，
则不等式，所以，
两边平方得，化简得，
解得
故答案为：.
14.【答案】2
【解析】因为，
所以，
数列单调递增，
所以，所以，
所以
，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，所以，所以，
因此的整数部分是．
四、解答题
15.【答案】解：（1）由已知可得任一游客在第3站不下车的概率为，
因此5位游客都不在第3站下车的概率为，
则在第3站有人下车的概率为，
所以的概率分布列为
所以；
（2）由已知可得任一游客在第站不下车的概率为，
因此5位游客都不在第站下车的概率为，
则在第站有人下车的概率为，
所以，，所以，.
因，
所以.
16.【答案】（1）解：成绩小于60分的人数为：，
由题意，得列联表如下表：
，
故有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
（2）由（1）知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120
用分层抽样随机抽取的10名学生中不及格有4人，及格有6人
由题意，的所有可能取值为，且服从超几何分布，
则，
即：，
的分布列为.
17.【答案】解：（1）由题可设，又，得，
所以，；
（2）由题有，即对任意的恒成立，
设，则只要即可.
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，解得；
（3）图象的对称轴为直线，
当时，在上单调递减，则；
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时；
当时，即当时，在上单调递增，
此时.
综上，.
18.【答案】（1）证明：取点 E 为为中点，连结和 ，
由是的中点，故，
∵平面，平面，
∴平面，
同理平面，
∵，
∴平面平面
∵平面，
故平面；
（2）解：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
（3）解：由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为.
19.【答案】解：（1）方法一：
当时，，
则，
为等比数列，等比数列的公比为3，
当时，
解得：．
方法二：
设公比为为等比数列，
，解得或3，
，，，
.
（2）（ⅰ），
，
设，
，
两式相减得
，
.
方法二：
，
设，
，
两式相减得
，
.
（ⅱ）假设存在满足题意的3项，
成等比数列，，
即，
成等差数列，，
整理可得：，
又，
即，解得：，则，与题设矛盾。
假设错误，即不存在满足题意的3项．

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