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浙江省镇海中学2024-2025学年高三下学期仿真模拟数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷 客观题
阅卷人 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
得分
1．设复数且，则实数t等于（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知平面内的三点，，，平面的一个法向量为，且与不重合，则（　　）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．以上都不对
5．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（　　）
A． B． C． D．
6．在矩形中，，，M是中点，且，则的值为（　　）
A．32 B．24 C．16 D．8
7．已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若，且双曲线的离心率为，则（　　）
A． B． C． D．
阅卷人 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
得分
9．已知正四面体的棱长为分别为正四面体棱的中点，为面内任意一点，则下列结论正确的是（　　）
A．平面截正四面体的外接球所得截面的面积为
B．若存在，使得，则线段长度的最小值为
C．过点作平面平面，若平面平面，平面平面，则所成角的正弦值为
D．平面与平面夹角的余弦值为
10．已知的部分图象如图所示，则（　　）
A．的最小正周期为
B．的图象可由的图象向右平移个单位得到
C．在内有3个极值点
D．在区间上的最大值为
11．已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（　　）
A．的值可以取 B．的值可以取
C．的值关于单调递减 D．
阅卷人 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
得分
12．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为　 　．
13．已知实数，满足，则的最大值是　 　．
14．已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则　 　．
阅卷人 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
得分
15．2023年12月30日8时13分，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术试验卫星送入预定轨道由中国航天科技集团有限公司研制的运载火箭48次宇航任务全部取得圆满成功．也代表着中国航天2023年完美收官某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本，根据调查结果得到如下列联表：
学生群体 关注度 合计
关注 不关注
大学生
高中生
合计
（1）完成上述列联表；依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关联，求样本容量n的最小值；
（2）用频率估计概率，从本市大学生和高中生中随机选取3人，用X表示不关注的人数，求X的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
，其中．
16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若，且的周长为，求的面积．
17．在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆C：，离心率，且点在椭圆上.
（1）求该椭圆的方程；
（2）直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且，求的面积.
19．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线的斜率为1，求曲线在点处的切线方程；
（2）定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数．
①，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由；
②，若为函数的“控制函数”，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】96
13．【答案】
14．【答案】520
15．【答案】（1）解：列联表如下：
学生群体 关注度 合计
关注 不关注
大学生
高中生
合计
，
因为依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，
所以，
由题可知，n是10的倍数，所以n的最小值为；
（2）解：由（1）可知，所以不关注的人数为，
用频率估计概率，所以不关注的概率为，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为，所以.
16．【答案】（1）；
（2）.
17．【答案】（1）证明：因为底面为正方形，
所以，
又因为侧面底面，
侧面底面，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：因为，，连接，
则为正三角形，
取中点，则，
由平面及平面，得，
又因为，所以底面，
过点作交于，
如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
所以
令，则，可得平面的法向量，
所以，
故直线和平面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：由题意得 解得，
则椭圆C：；
（2）解：设直线的倾斜角为，由，，
得，，，
即：，：，
联立，解得或（舍），故，
联立，解得或（舍），故，又，
，，
故.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为曲线在点处的切线的斜率为1，所以，
解得或，则切点坐标为，或，
故曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为；
（2）解：①，是“控制函数”，理由如下，由得，
可得，，
因为时，恒成立，即恒成立，
所以函数为函数的“控制函数”；
②，若为函数的“控制函数”，
则，恒成立，
即，恒成立，
令，，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在有极小值，，，所以.

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