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数 学
时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，B=，则
A． B． C． D．
2．i是虚数单位，则复数的虚部为
A．3 B．－3 C．3i D．－4i
3．已知，是单位向量，若，则
A． B． C． D．8
4．如图是某年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是
①第一季度GDP总量和增长率排名位次相同的省只有1个；
②与去年同期相比，第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；
③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；
④去年同期A省的GDP总量是第三位．
A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④
5．若，，则
A．1 B．－1 C．2 D．－2
6．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外），两点，若，则双曲线C的离心率为
A． B． C． D．
7．已知，且，则
A． B． C． D．
8．已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且. 若对任意，都有，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数在区间上的最大值为4，则下列说法正确的是
A．的最小正周期为 B．
C．点是图象的一个对称中心 D．在区间上单调递减
10．若数列满足： ，已知，则
A．14 B．15 C．17 D．18
11．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，已知BC＝8，CD＝，A A1＝，当底面ABCD水平放置时，水面位置满足BF∶FB1＝1∶3，容器内有水部分的几何体体积是V，下列命题正确的是
A．固定容器底面一边BC于地面上，将容器倾斜，有水的
部分始终呈棱柱形
B．固定容器底面一顶点B于地面上，将容器倾斜，有水的
部分可能是三棱锥
C．体积为V，高为的圆锥不能放在半径是的球体内
D．体积为V的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为
的圆锥内任意旋转
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．数列都是等差数列，且则数列的前2025项的和是______.
13．设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，已知直线交轴于点，且的面积为8，则该抛物线的方程为______．
14．将标号为1～10的10个小球装入两个不同的盒子，使得每个盒子都有球，有______种不同的装法；当两个盒子的球数相等时，从两个盒子中不放回地各取一球，记下两球球号之积，重复上述操作，直至取完，则所有积之和的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知分别为△ABC三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若b＝4，△ABC的面积为，为边上一点，满足,
① 求△ABC的周长；；
② 求BD的长．
16．（本题满分15分）
已知函数.
（1）当时，曲线在点(1,1)处的切线与曲线 相切，求实数m的值；
（2）函数恒成立，求实数的取值范围.
17．（本题满分15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形为菱形，,,.
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
18．（本题满分17分）
某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展。萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数()与孩子的喜爱程度()进行统计调查，得到如下数据表：
5 6 7 8 9
0.55 0.50 0.60 0.65 0.70
（1）请根据上表提供的数据，通过计算变量，的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强．（当时，与相关性很强）
（2）机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令．机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%．当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为80%；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为30%．如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？
（3）该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功．已知小李答对前两道题的概率
均为，答对后两道题的概率均为．假设每次答题相互独立，且互不影响．当时，求小李挑战成功的概率的最大值．
参考公式：相关系数．
19．（本题满分17分）
已知上下顶点分别为A，B的椭圆经过点，P为直线上
的动点，且P不在椭圆E上，与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D（C，D均不与椭圆E上下顶点重合）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）证明：直线过定点；
（3）设（2）问中定点为Q，过点C，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，
记，，的面积分别为,,，试问：是否存在常数t，使得,,总为等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．数 学
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A B C D B C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
【选择题解析】
1．集合，B=，
故选：
2．，复数的虚部为
故选：
3．由题意，若，
则，则，
则
故选：A
4．①第一季度GDP总量和增长率排名位次相同的省有2个，B省和C省的GDP总量和增长率分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；
由图计算去年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知去年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确.
故选：
5．由，
故
故选：C
6．由为直径知，，
. 故选：D
7．因为，故，
则，则，
又，
又
故原式．
故选：B
8．因为，，用代替得，
所以，结合，
所以，因为，，所以，
设，所以在单调递增，
所以 或或 ，
所以或或，所以.
故选：C
9．由，可得的最小正周期，故A错误；
由，得，则，
的最大值为，由，得，故B正确；
令，得，
则图象的对称中心为，
点是图象的一个对称中心，故C正确．
由，得，此区间为正弦函数的一个增区间，
则在上单调递增，故D错误；
故选：BC
10．若为奇数，则，即，不合题意，故为偶数，则，即．若为奇数，则，即，若为奇数，则，即，不合题意，则为偶数，则，即，此时；若为偶数，则，即，若为奇数，则，即，此时；若为偶数，则，即，
此时．故选ABD．
11．A选项，固定容器底面一边BC于地面上, 根据棱柱的定义，有二个面相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线互相平行，所以有水的部分是棱柱，故A正确；
B选项，有水部分几何体的体积为
当平面ACB1水平放置时，三棱锥B- ACB1的体积取到最大值，
此时，故B错误
C选项，设圆锥底面半径为r，，
由于，故C正确.
D选项，依题意，设正方体棱长为，，解得，
正方体的外接球半径为
圆锥底面半径，圆锥的高，母线长，
设圆锥内切球半径为r， ，解得，
正方体恰好可以在圆锥内任意转动，故D正确.
故选ACD.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．20250 13． 14．1022 110
【解析】
12．为等差数列，则为等差数列
的前2025项的和是
13．根据题意作出如图所示的图象：
其中，，为双曲线的准线，
且准线方程为，，.
设，则，.
在中，为的中点，则为的中点，即，.
∵的面积为8，∴8，即4.
∵，∴4，即8. ∴4
∴该抛物线的方程为.
14．不妨记两个盒子为甲、乙．第一步，将小球装入甲盒子，可以装的小球数量为，故装法有种；第二步，将剩下的小球装入乙盒子，装法只有1种，故共有1022种装法．
所有积之和的最小值为：1×10＋2×9＋3×8＋4×7＋5×6＝110
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：
（1）因为，根据正弦定理可得：
, ………………1分
又，
所以 ………………2分
所以 ……3分
， ………………4分
因为C为三角形内角，故，
所以 ………………5分
因为B是三角形内角，所以，所以. ......6分
（2）如图：
①因为，所以. ………………7分
由余弦定理：.
所以.
△ABC的周长是12 ………………9分
②△ABC为等边三角形.又，所以. ………………10分
在中，.
………………12分
所以. ………………13分
16．解：
（1）的定义域为， ………………1分
由可得， ………………2分
所以在x=1处的切线方程为y－1=2(x－1），
即2x－y－1=0 ………………3分
切线2x－y－1=0与曲线相切，
即
得， ………………6分
m=0（舍去）或m=8 ∴m=8 ………………7分
（2）法一：由可得，
当时，，
所以在上单调递增，不成立。 ………………9分
当时，令，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，
即 ………………12分
所以有，即 ………………13分
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以，得a >1，
故实数的取值范围是. ………………15分
法二：因为恒成立，又
恒成立， ………………9分
令， …………10分
令，
所以在单调递减 ………………12分
因为，所以当时，，，单调递增
当时，，，单调递减
所以当时，取得极大值，也是的最大值
………………14分
实数的取值范围是 ………………15分
17．解：
（1）设，连接PO, 因为四边形为菱形，
则为、的中点，且， ………………1分
因为，,，
则△是边长为的等边三角形，
则，，
因为，所以，即， ………………4分
因为，、平面，所以平面. ……5分
（2）因为平面，，
故平面⊥平面ABCD，
过点P作AC的垂线交AC于点E，
因为PA因为平面∩平面ABCD=AC，，
所以PE⊥平面ABCD， …………7分
菱形的面积，
又四棱锥的体积为1，即，可得，
因为PO=1，所以.
以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系， ………………9分
则、、，，
，，
设平面PCD的法向量为，则
………………11分
设平面PAB的法向量为，则
………………13分
设平面PAB与平面PCD的夹角为，
………………14分
所以，平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为 ………………15分
18．解：
（1）由表知，，，
………………1分
0.45， ………………2分
∵，0.025，
∴0.25， ………………3分
所以 ………………4分
∵，
∴可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强． ………………5分
（2）记事件：机器人正确执行命令；事件：机器人执行命令出错；
事件：使用者对结果满意，则表示使用者不满意. ………………6分
依题意：，，，
………………7分
所以 ……9分
所以.
即如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是0.72. ………………10分
（3）设小李挑战成功为事件C，则
， ………………12分
由，得． ………………13分
令，因为，，所以，
所以 ………………14分
设，则 ……15分
当时，取得最大值． ………………16分
所以，当或时，小李挑战成功的概率取得最大值． ……17分
19．解：
（1）将点代入椭圆方程，解得m的值为3， ………………2分
则椭圆E的方程为. ………………3分
（2）由题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为：，设，，
则直线为： ①
直线为： ②
由①②得：
∵P在直线上，∴， ………………4分
∵，∴，∴，
∴，
∴ ③ ………………6分
联立： 得方程：，
， ………………7分
由韦达定理：，，
将韦达定理代入③得：， ∴（舍），,
∴直线过定点. ………………9分
（3），，显然C，D在直线的两侧，不妨设.
则S△CMQ, S△MNQ, S△DNQ …11分
设存在常数t，使得，，为等比数列，即,
即：,
即：, …………13分
因为，在直线上，所以，
将，,
，
， ………………15分
代入，化简得：,
∵,
∴,∴，
∴存在时，，，总构成等比数列. ………………17分

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