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第十三章 三角形
13.2 与三角形有关的线段
三角形的边是构成三角形的元素，本节我们研究三角形三边之间的关系，并认识与三角形有关的三种重要线段。
新课导入
学习目标
1.掌握三角形三边之间的关系.
2.会利用三边之间的关系判断能否组成三角形.
3.了解三角形的稳定性，会解释生活中与三角形稳定性有关的现象.
4.理解三角形的中线、角平分线和高的定义，并能在具体三角形中画出三角形的高、中线和角平分线.
13.2.1 三角形的边
探究
任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择 各条线路的长有什么关系 这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗
A
B
C
在从点B到点C的线路中，由点B先到点A再到点C的线路，比由点B直接到点C的线路长，即BA+AC＞BC，这利用了在小学我们学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论.下面对这个结论进行证明.
对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得
AB+AC＞BC ①
同理有
AC+BC＞AB ②
AB+BC＞AC ③
这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边.
进一步，由不等式②③，移项可得
BC＞AB－AC，
BC＞AC－AB.
这就是说，三角形两边的差小于第三边.
思考
上面的结论表明了三角形三边之间的关系，反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形
一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形.
典例精析
例 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1) 如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
所以，三角形三边的长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm
(2)因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
①如果4cm长的边为底边，设腰长为x cm，则
4+2x=18.
解得x=7.
②如果4cm长的边为腰，设底边长为y cm，则
2×4+y=18.
解得 y=10
因为4+4＜10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.
在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么
利用三角形的稳定性
探究
如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
形状不会改变.
可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形.
三角形的稳定性有着广泛的应用，下图表示其中一些例子，你能再举些例子吗
钢架桥
当堂练习
1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3, 4, 8； （2）5, 6, 11； （3）5, 6, 10
解：(1)不能.
因为3+4<8，所以长度为3,4,8的三条线段不能组成三角形.
(2)不能.
因为5+6=11，所以长度为5,6,11的三条线段不能组成三角形.
(3)能.
因为5+6>10，所以长度为5,6,10的三条线段能组成三角形.
当堂练习
2.一根4 dm长的木条和两根1 dm长的木条，能否组成一个等腰三角形？
两根4 dm长的木条和一根1 dm长的木条呢
不能.
能.
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段：三角形的中线、角平分线、高.
如图 (1)，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线.
一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点，如图(2). 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
如图(1)，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 三角形的三条角平分线相交于一点如图(2).
A
F
E
B
D
C
（1）
（2）
如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线简称三角形的高.
探究
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现
锐角三角形的三条高都在三角形的内部 (图(1))；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边(图(2))；钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上(图(3)).
A
F
E
B
D
C
（1）
（2）
（3）
当堂练习
1. 如图，过△ABC的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高.
当堂练习
2.填空：
(1)如下图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则BD =________，AE = ______，AB = 2 ___________，
(2)如下图(2)，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1 =____ ，∠3 = ________，∠ACB = 2 ______________.
DC
AC
AF(或BF)
∠2
∠ABC
∠4(或∠ACF)
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