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2024年下学期湘潭市高三期末质量检测数学
一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合A={xI-3≤x≤2}，B={x|x=2n+1,n∈Z},则A∩B=
A.{-3,-1,1,3}
B.{-3,-1,1}
C.{-1,1}
D.{1}
2.已知复数8=号共经则以=
A.√②
B.3
C.√5
D.1
3.已知非零向量a,b满足(a-b)·(a-3b)=0,且a=3b,则a与b的关系是
A.垂直
B.共线
C.夹角为写
D.夹角为君
c+4a,x≥0
4.己知函数f(x)=
是R上的增函数，则实数α的取值范围是
-x2+ax+a2,x<0
A.[0,4]
B.(0,4)
C.(0,4]
D.[0,4)
5.已知抛物线x2=2p(p>0)上一点A(m,1)到其焦点的距离为p,O为坐标原点，则|OA
的值为
A.2
B.√5
C.4
D.5
6.正三棱台ABC-ABC的上，下底边长分别为6,18，该正三棱台内部有一个内切球（与
上，下底面和三个侧面都相切)，则正三棱台的高为
A.3
B.4
C.5
D.6
7.已知数列a,}满足a1=受+，则下列说法正确的是
a
A.{a}所有项恒大于等于√2
B.若a=1,则{an}是单调递增数列
C.若{an}是常数列，则a1=√2
D.若a=2,则{a1+受}是单调递增数列
8.在平面直角坐标系xOy中，A(1,0),P(-1,p),Q(1,q),其中p>0,q>0,∠AOQ=∠POQ,
则当△OPQ面积最小时，卫=
q
A.5+1
2
B.3+1
C.5-1
D.3-1
2
2
二，多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。
9.设样本空间2={1,2,3,4}含有等可能的样本点，且A={1,2},B={1,3},C={1,4},则下
列结论正确的是
A.P(AB)=P(A)P(B)
B.P(AIC)=P(CIA)
C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
D.P(BC)=P(B)P(C)
1
10.斜率为2的直线1与双曲线器-茶=1a>0,6>0)的两条新近线交于A。
B(2,2)两点，与双曲线交于C,D两点，P是线段AB的中点，则下列说法正确的是
A.2、
a2-62
=0是双曲线两条渐近线所构成的"X"形图象的方程
B.P也是线段CD的中点
C,若1过双曲线的焦点，则直线OP的斜率是一
2a2
D.若l过双曲线的焦点，点P的坐标为(2,1)，则a=b
11.已知f(x)的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
(1)f(xy)=f(x)+f（y);(2)f（x+y)≥min{f(x),f(y)}:
(3)当f)≠fg)时，fc+)=min{f(z).fu),其中min a.,b}=a≥b下列说法正确的
la,a是
A.若f(x)>T,f(y)>T,则f(x-)>T
B.f(x)=0恰有两个整数解
C.若x+y+之=0，xyz≠0，则f(x),f(y),f(z)中至少有两个相等
D.若f(2)=1,则f240)=3
三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知sin(a+受)=号，则cos2u=
13.用红，橙，黄，绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面
颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另
一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有种
14.在平面直角坐标系xOy中，射线l1y=x(x≥0)，l2:=0(x≥0)，半圆C:y=√1-（x-4)2.
现从点A(1,0)向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线1,2时会
发生镜面反射。设光线在发生反射前所在直线的斜率为k,若光线始终与半圆C没有交
点，则k的取值范围是
四，解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b.c,c=1,asinA-simC=sin(A+C),
a-b
a≠b.
(1)求△ABC的外接圆半径：
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围.
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