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第五章　第23练　万有引力定律及应用
[分值：100分]
1~7题每小题7分，8题14分，共63分
1.(2025·江苏扬州市检测)下列关于万有引力定律和开普勒定律的说法中正确的是(　　)
A.无论m1和m2是否相等，它们之间的万有引力大小都相等
B.在m1和m2之间放入第三个物体m3，则m1和m2间的万有引力将增大
C.由开普勒第三定律得＝k，k为中心天体的质量
D.火星与太阳中心连线和地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等
2.(2024·广西卷·1)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　　)
A.a处最大 B.b处最大
C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小
3.(2022·全国乙卷·14)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们(　　)
A.所受地球引力的大小近似为零
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
4.(2025·江苏南通市调研)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，并顺利进入月球附近的椭圆形捕获轨道，沿顺时针方向运行。如图所示，捕获轨道的近月点为A，远月点为C，短轴的一个端点为B，设鹊桥二号由A第一次运动到B和由B第一次运动到C的时间分别为t1、t2，对应的两个阶段鹊桥二号与月球连线扫过的面积分别为S1、S2，在A、B两点的速度大小为vA、vB，加速度大小为aA、aB。则(　　)
A.t1>t2 B.S1C.vA5.(2021·山东卷·5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A.9∶1 B.9∶2 C.36∶1 D.72∶1
6.(2024·海南卷·6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A. B.
C. D.(1＋k)3
7.(2024·山东卷·5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A. B. C. D.
8.(14分)(2025·江苏南通市开学考)2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭成功发射。如图所示，飞船由火箭送入近地点为P、远地点为Q的椭圆轨道上，飞船在运行多圈后变轨进入预定圆轨道。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转，引力常量为G。
(1)(7分)求地球的平均密度ρ；
(2)(7分)若飞船在椭圆轨道上的运行周期为T1，在圆轨道上的运行周期为T2，Q距地面的高度为h，求近地点P距地面的高度hP。
9~11题每小题9分，共27分
9.如图所示，A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O为地心，在两卫星运行过程中，AB连线和OA连线的夹角最大为θ，则A、B两卫星(　　)
A.做圆周运动的周期之比为2
B.做圆周运动的周期之比为
C.与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为
D.与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为
10.将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出(　　)
A.g0小于g
B.地球的质量为
C.地球自转的角速度为ω＝
D.地球的平均密度为
11.已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均匀的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x表示某位置到该星球球心的距离，用g表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g与x的关系图像可能正确的是(　　)
(10分)
12.(2024·黑吉辽·7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为(　　)
A.2n B. C. D.
参考解析
1.A　[根据牛顿第三定律可知，无论m1和m2是否相等，它们之间的万有引力大小都相等，故A正确；根据万有引力表达式F＝，在m1和m2之间放入第三个物体m3，则m1和m2间的万有引力不变，故B错误；由开普勒第三定律得＝k，k为与中心天体质量有关的值，但不是中心天体的质量，故C错误；根据开普勒第二定律可知，同一行星与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等，火星与地球不是同一行星，则火星与太阳中心连线和地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。]
2.A　[根据万有引力公式F＝G，可知题图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，故选A。]
3.C　[航天员在空间站中所受的地球引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，A、B错误；根据F＝G可知，他们在地球表面上所受引力的大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。]
4.B　[由开普勒第二定律可知，鹊桥二号中继星从A到C的过程中，速度逐渐减小，鹊桥二号由A第一次运动到B的弧长等于由B第一次运动到C的弧长，故t1aB，D错误。]
5.B　[悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝G，可得＝G∶G×2＝，故选B。]
6.D　[设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
G＝m·(k＋1)R
月球的体积V＝πR3
月球的平均密度ρ＝
联立可得ρ＝(1＋k)3，故选D。]
7.D　[由＝mr得：
根据开普勒第三定律＝k，则k＝可见，开普勒第三定律中的k值与中心天体质量有关，地球质量M地＝，同理，对“鹊桥二号”中继星，可得月球质量M月＝，
因“鹊桥二号”与地球同步卫星周期相同，所以，故选D。]
8.(1)　(2)2(R＋h)－(h＋2R)
解析　(1)由地球表面物体所受万有引力等于其重力知＝mg
地球平均密度ρ＝
解得ρ＝
(2)根据开普勒第三定律，得
解得hP＝2(R＋h)－(h＋2R)。
9.C　[夹角最大时，OB与AB垂直，根据几何关系有rB＝rAsin θ，由开普勒第三定律可得，则，A、B错误；t时间内，卫星与地心连线扫过的面积S＝·πr2，则·，C正确，D错误。]
10.C　[设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有G－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力，即G＝mg0，所以g0>g，故A错误；在两极有mg0＝G，解得M＝，故B错误；由G－mg＝mω2R，mg0＝G，解得ω＝，故C正确；地球的平均密度ρ＝，故D错误。]
11.A　[设星球的半径为R，地球的密度为ρ，当x≤R，距地球球心x处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为G＝mg，可得g＝，当x>R，距地球球心x处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为G＝mg，
可得g＝，故选A。]
12.C　[设地球表面的重力加速度为g，该球状天体表面的重力加速度为g'，弹簧的劲度系数为k，小球质量为m，根据简谐运动的平衡位置合力为零有k·2A＝mg，k·A＝mg'，可得＝2，设该球状天体的半径为R，在地球和天体表面，分别有
G＝mg，
G＝mg'，
联立可得，故选C。]

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