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(共73张PPT)
第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
第4课时　基本不等式
[考试要求]　1．了解基本不等式的推导过程．
2．会用基本不等式解决简单的最值问题．
3．掌握基本不等式在实际生活中的应用．
考点一　基本不等式的内容及求最值
1．基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
a＝b
2．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥______(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值______．
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值．
2ab
2
S2
提醒：使用基本不等式及其变形求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
考向1　直接法求最值
[典例1]　已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为(　　)
A．2＋4　　 B．2
C．2－4 D．4
√
C　[函数y＝＝－3x－＋2＝－＋2．
∵x>0，∴3x＋≥2＝4，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立．
故y＝－＋2≤－4＋2，则y的最大值为2－4．故选C．]
反思领悟　对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式成立的前提条件为a>0，b>0；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可．
巩固迁移1　(2024·柳州月考)已知x＞0，y＞0，xy＝4，则x＋2y的最小值为(　　)
A．4　　 B．4
C．6 D．8
√
B　[∵x＞0，y＞0，xy＝4，∴x＋2y≥2＝4，当且仅当x＝2y＝2时，等号成立，
则x＝2，y＝时，x＋2y的最小值是4．
故选B．]
考向2　配凑法求最值
[典例2]　(2025·安顺模拟)已知0＜x＜2，则3x(2－x)的最大值是(　　)
A．－3　　 B．3
C．1 D．6
√
B　[因为0＜x＜2，所以0<2－x<2，
所以3x(2－x)≤3×＝3，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号．故选B．]
反思领悟　配凑法的关键是配凑出和为常数(积有最值)(如本例)，积为常数(和有最值)的形式，再利用基本不等式求解．
巩固迁移2　(人教A版必修第一册P48习题2.2T1改编)已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　)
A． B．
C．4 D．6
√
D　[∵x>2，∴x－2>0，
∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号．
∴y＝x＋(x>2)的最小值为6．故选D．]
考向3　常数代换法求最值
[典例3]　已知正数a，b满足＝1，则8a＋b的最小值为(　　)
A．54　　 B．56
C．72 D．81
√
C　[8a＋b＝(8a＋b)＝＋40≥2＋40＝72，
当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号．
故选C．]
【教用·备选题】
母题探究　(变条件)已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________．
72　[∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，
∴＝1，
∴8a＋b＝(8a＋b)＝＋40≥2＋40＝72，
当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号．]
72　
反思领悟　本例解题的关键是利用8a＋b与1的积为自身的性质，通过构造为定值，然后利用基本不等式求最值．
巩固迁移3　已知a，b为正实数，且满足a＋2b＝1，则的最小值为(　　)
A．4　　 B．4＋2
C．8 D．6
√
C　[因为a＋2b＝1，a＞0，b＞0，所以＝(a＋2b)＝2＋＋2≥4＋2＝8，
当且仅当a＝2b，即b＝，a＝时取等号．故选C．]
考向4　消元法求最值
[典例4]　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为____．
6　[由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1时取等号．所以x＋3y的最小值为6．]
6
反思领悟　本例中有两个变量，可利用x＋3y＋xy＝9消去x(或y)凑出“积为常数”，然后利用基本不等式求最值．
巩固迁移4　若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　)
A．9　　 B．6
C．3 D．12
√
A　[由ab＝a＋b＋3，得a(b－1)＝b＋3>0，
∴a＝且b－1>0，∴ab＝×b＝＝
＝b－1＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当b－1＝，即b＝3时等号成立．故选A．]
考点二　基本不等式的实际应用
[典例5]　春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量y(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时)与汽车的平均速度v(单位：千米/小时)、平均车长l(单位：米)之间满足函数关系y＝(0(1)求该车型的平均车长l；
(2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值？
[解]　(1)由题意，当v＝100时，y＝1，
∴1＝，∴l＝5．∴该车型的平均车长为5米．
(2)由(1)知，函数的表达式为y＝(0∵v>0，∴y＝＝＝，当且仅当v＝，即v＝80时取等号．
故当汽车的平均速度为80千米/小时时，车流量y达到最大值．
反思领悟　利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
巩固迁移5　某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元．
8　[每台机器运转x年的年平均利润为＝万元，
由于x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝，即x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元．]
8
若a>0，b>0，则．其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．要根据题目需要选择合适的形式．
[典例]　(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)
A．有最大值　 B．有最小值3
C．a2＋b2有最小值 D．有最大值
√
√
√
ACD　[对于A，由基本不等式可得＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”，A正确；对于B，由＝＝，得，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，B错误；对于C，由＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，C正确；对于D，由＝，得，当且仅当a＝b＝时等号成立，D正确．故选ACD．]
反思领悟　利用不等式链可以使得某些判断数(式)的大小问题、最值问题的求解更加简便．
应用体验　当　[由，得a＋b≤2，则y＝≤2＝2，
当且仅当＝，即x＝时等号成立．]
　
随堂练习
√
1．已知a＞0，b＞0，＝1，则的最小值为(　　)
A．　　 B．2
C． D．6
C　[因为a＞0，b＞0，＝1，则ab＝2a＋b，则(a－1)(b－2)＝2，
所以≥2＝，当且仅当＝时取等号．
故选C．]
2．(2025·上海普陀区校级模拟)已知实数x，y满足x＋2y＝5，则2x＋4y的最小值为________．
8　[因为x＋2y＝5，则2x＋4y≥2＝2＝2＝2＝8，
当且仅当x＝2y且x＋2y＝5，即x＝，y＝时取等号，此时2x＋4y的最小值为8．]
8　
3．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示)．要求试验区四周各空0.5 m，各试验区之间也空0.5 m．则每块试验区的面积的最大值为________m2．
6　
6　[设矩形空地的长为x m，则宽为 m，设试验区的总面积为S m2，所以S＝(x－0.5×4)·＝34－x－≤34－2＝18，当且仅当x＝，即x＝8时等号成立，即每块试验区的面积的最大值为＝6 m2．]
【教用·备选题】
1．(多选)(2024·黄冈浠水县四模)已知a＞0，b＞0且＝2，则下列说法正确的是(　　)
A．ab有最小值4　
B．a＋b有最小值
C．2ab＋a有最小值2
D．的最小值为4
√
√
√
ABD　[A选项：由2＝≥2，得ab≥4，当且仅当＝，即a＝1，b＝4时取等号，故A选项正确；
B选项：因为a＞0，b＞0，＝2，可得＝1，
则a＋b＝(a＋b)＝＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝3时取等号，故B选项正确；
C选项：由＝2，得2ab－4a－b＝0，所以2ab＋a＝5a＋b＝(5a＋b)＝＝，当且仅当＝，即a＝，b＝2＋时取等号，故C选项错误；
D选项：由A选项的分析知ab≥4且a＝1，b＝4时取等号，
所以＝＝4，当且仅当4a＝b，即a＝1，b＝4时取等号，故D选项正确．故选ABD．]
2．(多选)(2025·昆明五华区模拟)已知正数a，b满足a＋2b＋3＝2ab，则(　　)
A．ab的最小值为3
B．a＋2b的最小值为6
C．的最小值为
D．a＋b的最小值为＋2
√
√
√
BCD　[因为2ab＝a＋2b＋3≥2＋3，令t＝，则t2≥2t＋3，解得t＝≥3，即ab≥，
则a＋2b≥2≥6，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，故A错误，B正确；
由已知可得，＝2，由ab≥可得0<，2－≥2－＝，
所以，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，故C正确；
由a＋2b＋3＝2ab，可得b＝，
则a＋b＝a＋＝a＋＝＋a－1＋1＝＋a－1≥＋2，
当且仅当a－1＝，即a＝＋1时等号成立，故D正确．
故选BCD．]
3．(多选)(2025·西安雁塔区模拟)下列说法正确的是(　　)
A．若x<，则2x＋的最大值是－1
B．若x，y，z都是正数，且x＋y＋z＝2，则的最小值是3
C．若x＞0，y＞0，x＋2xy＋2y＝8，则x＋2y的最小值是3
D．若实数x，y满足x2＋2xy＋2y2＝8，则x＋2y的最大值是4
√
√
√
ABD　[对于A，因为x<，所以1－2x＞0，
则2x＋＝－＋1≤－2＋1
＝－1，
当且仅当1－2x＝，即x＝0时取等号，
所以2x＋的最大值是－1，故A正确；
对于B，由x，y，z都是正数，且x＋y＋z＝2，得(x＋1)＋(y＋z)＝3，
则＝[(x＋1)＋(y＋z)]
＝≥＝3，
当且仅当＝，即x＝1，y＋z＝1时取等号，
所以的最小值是3，故B正确；
对于C，若x＞0，y＞0，x＋2xy＋2y＝8，
则x＋2xy＋2y≤x＋2y＋＝＋x＋2y，
所以＋x＋2y≥8，解得x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)，
所以x＋2y≥4，当且仅当x＝2y＝2时取等号，
所以x＋2y的最小值是4，故C错误；
对于D，令x＋2y＝k，则x＝k－2y，
又x2＋2xy＋2y2＝8，则(k－2y)2＋2y(k－2y)＋2y2＝8，
化简得2y2－2ky＋k2－8＝0，
所以Δ＝4k2－8(k2－8)≥0，解得－4≤k≤4，
所以x＋2y的最大值是4，故D正确．
故选ABD．]
4．(2025·四川南充高级中学校考模拟)已知实数x，y满足x＋y－xy＝0且xy>0，若不等式4x＋9y－t≥0恒成立，则实数t的最大值为(　　)
A．9　　 B．12
C．16 D．25
√
D　[∵x＋y－xy＝0，∴＝1，
∴4x＋9y＝(4x＋9y)＝13＋≥13＋2＝25，
当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立．
∵不等式4x＋9y－t≥0恒成立，∴只需(4x＋9y)min≥t，
因此t≤25，故实数t的最大值为25．
故选D．]
5．(2025·株洲天元区模拟)已知m＞0，n＞0且mn＝m＋n＋15，求解下列问题．
(1)求mn的最值；
(2)求m＋n的最值；
(3)求2m＋3n的最小值．
[解]　(1)因为m＞0，n＞0，mn＝m＋n＋15≥2＋15，当且仅当m＝n＝5时取等号，
所以mn≥25，即mn的最小值为25，无最大值．
(2)由m＋n＋15＝mn≤，当且仅当m＝n＝5时取等号，
解得m＋n≥10(舍负)，所以m＋n的最小值为10，无最大值．
(3)由mn＝m＋n＋15可得，(m－1)(n－1)＝16，
所以2m＋3n＝2(m－1)＋3(n－1)＋5≥2＋5＝8＋5，
当且仅当2m－2＝3n－3且(m－1)(n－1)＝16，即n＝1＋，m＝1＋2时取等号，
所以2m＋3n的最小值为5＋8．
6．(2024·广西南宁开学考试)某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产x千件，需另投入成本C(x)万元．当年产量低于30千件时，C(x)＝x2＋10x；当年产量不低于30千件时，C(x)＝50x＋－1 300．每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完．
(1)写出年利润L(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大？最大年利润是多少？
[解]　(1)当0当x≥30时，L＝30x－－100＝－20x－＋
1 200．
所以L＝
(2)当0当x≥30时，L＝－20x－＋1 200＝－20×＋1 200≤－20×(2＋15)＋1 200＝300，当且仅当x＝30时，等号成立．
因为300>275，所以当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元．
课后习题(四)　基本不等式
1．(人教B版必修第一册P82习题2－2CT5改编)设m，n∈(0，＋∞)，且m＋2n＝1，则的最小值为(　　)
A．10　　 B．9
C．8 D．7
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[因为m，n∈(0，＋∞)，且m＋2n＝1，所以＝(m＋2n)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，所以的最小值为9．故选B．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2．(多选)(人教A版必修第一册P45例2改编)设正实数x，y满足x＋2y＝3，则下列说法正确的是(　　)
A．的最小值为4
B．xy的最大值为
C．的最小值为2
D．x2＋4y2的最小值为
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ABD　[对于A，＝＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故A正确；对于B，xy＝·x·2y≤＝＝，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故B正确；对于C，()2＝x＋2y＋2≤3＋2＝3＋3＝6，则，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故C错误；对于D，x2＋4y2＝(x＋2y)2－4xy≥9－4×＝，当且仅当x＝，y＝时取等号，故D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(人教A版必修第一册P49习题2.2T7改编)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．对于顾客购得的黄金，下列说法正确的是(　　)
A．小于10 g　　 B．等于10 g
C．大于10 g D．无法判断
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[设天平的左臂长为a cm，右臂长为b cm，放在左盘中的黄金为x g，放在右盘中的黄金为y g，
则由天平的平衡条件可得解得x＝，y＝．
所以x＋y≥2＝10．当且仅当x＝y，即a＝b时，取等号，
而天平的两臂不等长，即a≠b，则上述不等式等号无法取得，
因此x＋y>2＝10，即顾客购得的黄金大于10 g．故C正确．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(人教B版必修第一册P80练习BT1改编)已知0　[y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤·＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立．]
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2024·汕头二模)若实数a，b满足0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)
A．　　 B．a2＋b2
C．2ab D．a
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[法一：取a＝0.4，b＝0.6，则a2＋b2＝0.16＋0.36＝0.52，
2ab＝2×0.4×0.6＝0.48，故选B．
法二：∵实数a，b满足0＜a＜b，且a＋b＝1，
∴0∵a2＋b2>＝，故排除C．
∴四个数中最大的是a2＋b2，故B正确．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2025·成都模拟)已知正数a，b满足a＋b＋a2＋b2＝24，则a＋b的最大值为(　　)
A．6　　 B．4
C．3 D．2
√
A　[因为正数a，b满足a＋b＋a2＋b2＝24，
所以a2＋b2＝24－(a＋b)≥2×，当且仅当a＝b时取等号，
解得0＜a＋b≤6，则a＋b的最大值为6．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(2025·泉州安溪县模拟)已知正实数x，y满足2x＋y＝xy，则2xy－2x－y的最小值为(　　)
A．2　　 B．4
C．8 D．9
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为正实数x，y满足2x＋y＝xy，所以＝1，
则2xy－2x－y＝2x＋y＝(2x＋y)＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当y＝2x且＝1，即x＝2，y＝4时取等号．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(2024·哈尔滨市道里区一模)已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1，a2，则(　　)
A．a1＝a2　　 B．a1＜a2　
C．a1＞a2 D．a1，a2的大小无法确定
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由题意可知，m＞0，n＞0，m≠n，
则a1＝＝<＝，
a2＝＝>，故a2＞a1．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
9．(多选)(2024·重庆月考)已知a＞0，b＞0，a＋2b＝2，则下列结论正确的有(　　)
A．ab的最大值为
B．a2＋b2的最小值为
C．的最小值为9
D．的最小值为
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ABD　[因为a＞0，b＞0，a＋2b＝2，
对于A，由基本不等式可得，2＝a＋2b≥2，即ab≤，当且仅当a＝2b＝1时取等号，A正确；
对于B，由a＋2b＝2，得a＝2－2b＞0，则0＜b＜1，
把a＝2－2b代入可得，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝5＋，当且仅当b＝时取等号，B正确；
对于C，＝(a＋2b)＝＝，当且仅当a＝b＝时取等号，C错误；
对于D，2＝a＋2b＝(5a＋10b)＝[(2a＋b)＋3(a＋3b)]，
则＝·[(2a＋b)＋3(a＋3b)]·
＝＝，
当且仅当＝且a＋2b＝2，即a＝2b＝1时取等号，D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2025·云南昆明模拟)已知正数x，y满足x＋y＝4，则的最小值为________．
0　[由正数x，y满足x＋y＝4，可得y＝4－x，
所以＝＝－1≥2－1＝0，当且仅当x＝y＝2时取等号，
所以的最小值为0．]
0　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(2024·浙江学业考试)已知正实数x，y满足3x2＋9xy＋x＋3y＝6，则4x＋3y的最小值为________．
2－1　[因为正实数x，y满足3x2＋9xy＋x＋3y＝6，
可得3x(x＋3y)＋(x＋3y)＝6，即(3x＋1)(x＋3y)＝6，
所以3x＋1＝，所以4x＋3y＝(x＋3y)＋(3x＋1)－1
＝＋x＋3y－1≥2－1＝2－1，
当且仅当＝x＋3y时取等号．故4x＋3y的最小值为2－1．]
2－1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
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12．(2025·唐山路南区模拟)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝2．
(1)证明：a2＋b2≥2；
(2)求的最小值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)证明：因为a＞0，b＞0，且a＋b＝2，
所以a2＋b2≥2×＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，
所以a2＋b2≥2．
(2)＝(a＋b＋1)＝＝3，当且仅当b＋1＝2a，即a＝1，b＝1时取等号，
所以的最小值为3．
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