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(共61张PPT)
第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
第5课时　一元二次方程、不等式
[考试要求]　1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义．
2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
3．了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
考点一　不含参数的不等式的解法
1．三个“二次”间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _________________ R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 _________________ __ __
{x|xx2}
{x|x1

2．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} ______________ ______________
(x－a)·(x－b)<0 {x|a{x|x≠a}
{x|xa}

{x|b3．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f (x)·g(x)>0(<0)且g(x)≠0．
(2)≥0(≤0) f (x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
4．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为____________________________，
|x|0)的解集为____________．
提醒：解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－a，a)
[典例1]　(多选)下列选项中，正确的是(　　)
A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}
B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
√
√
√
ABD　[因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}，故A正确；
因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，
解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误；
由|x－1|<1，可得－1反思领悟　(1)可通过求解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数图象，求出不等式的解集．
(2)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组，如本例中，≤1
－1≤0 ≤0 不能在不讨论x－2与“0”的大小关系的情况下，不等式的两边直接乘“x－2”去分母．
巩固迁移1　(2024·福州鼓楼区一模)已知集合A＝，B＝{x|x2－3x＜0}，则A∪B＝(　　)
A．{x|x≤2，或x≥3}　　 B．{x|－2＜x＜3}　
C．{x|0＜x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥3}
√
B　[因为集合A＝＝{x|－2＜x≤2}，B＝{x|x2－3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，
则A∪B＝{x|－2＜x＜3}．故选B．]
考点二　含参数的一元二次不等式的解法
[典例2]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
[解]　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0．
①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，
解得x≤－1．
②当a>0时，原不等式可化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1．
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0．
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当<－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为．
反思领悟　解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)讨论二次项系数：本例中二次项系数为a，当a＝0时，转化为一次不等式x＋1≤0；当a<0时，要转化为二次项系数大于0的形式(x＋1)≤0(注意不等号的变化)；当a>0时直接求解．
(2)判断方程根的个数：不能分解因式时，需通过讨论判别式Δ与0的关系，确定根的个数，能分解因式无需判断，如本例．
(3)确定根的大小写解集：本例中，a>0时，>－1，不等式的解集在两根之外，a<0时，与－1的大小不定，需比较与－1的大小，确定不等式的解集．
巩固迁移2　若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－1<0的解集为
(　　)
A．
B．
C．
D．
√
C　[由题可知，原不等式可转化为[2x－(a＋1)]·[2x－(a－1)]<0，因为>，所以不等式的解为考点三　三个二次的关系
[典例3]　(多选)(人教B版必修第一册P81习题2－2BT7改编)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为
√
√
√
ABD　[∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；
已知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得
则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误；
不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确；
不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．故选ABD．]
反思领悟　本例中，由ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，
＋∞)可知a>0，且ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和3，即－＝－2＋3，＝－2×3，可求得b＝－a，c＝－6a，代入所求不等式中，可得不等式的解集，进而得解．
巩固迁移3　(2025·张家口市桥西区模拟)已知不等式ax2＋bx－6＜0的解集为{x|－3＜x＜2}，则不等式x2－bx－2a≥0的解集为(　　)
A．{x|x≤－2，或x≥3}　　 B．{x|－1≤x≤2}　
C．{x|－2≤x≤3} D．{x|x≤－1，或x≥2}
√
D　[因为不等式ax2＋bx－6＜0的解集为{x|－3＜x＜2}，
所以－3，2是方程ax2＋bx－6＝0的根，
即解得a＝1，b＝1，
所以不等式x2－bx－2a≥0即x2－x－2≥0，解得x≥2或x≤－1，
所以不等式x2－bx－2a≥0的解集为{x|x≥2，或x≤－1}．
故选D．]
解决不等式恒成立问题，常用判别式法、分离参数法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体条件求解．
考向1　形如f (x)≥0(f (x)≤0)在R上恒成立问题
[典例1]　(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
　
　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则解得2反思领悟　(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，要分a＝0和a≠0进行讨论．
应用体验1　若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A．(－3，0]　　 B．[－3，0)
C．[－3，0] D．(－3，0)
√
D　[一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则必有
解得－3考向2　形如f (x)≥0在区间[a，b]上恒成立问题
[典例2]　已知函数f (x)＝mx2－mx－1．若对于x∈[1，3]，f (x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为_________．
　
　[f (x)<5－m在x∈[1，3]上恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立．因为x2－x＋1＝＋>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立，所以m<在x∈[1，3]上恒成立．令y＝，因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是．]
反思领悟　本例中，不等式f (x)<5－m在[1，3]上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值．
应用体验2　已知函数f (x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0，2]有f (x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．　　 B．[－1，1]
C．(－∞，1] D．
√
C　[f (x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0，2]有f (x)≥0恒成立，即2a≤x＋在x∈(0，2]上恒成立．因为x＋≥2，当且仅当x＝1时取最小值2，所以2a≤2，即a≤1．故选C．]
随堂练习
√
1．(2024·开封期中)不等式(x－2)(1－2x)≥0的解集为(　　)
A． B．
C． D．
B　[不等式(x－2)(1－2x)≥0可化为(x－2)(2x－1)≤0，
所以≤x≤2，故原不等式的解集为．故选B．]
2．(2025·雷州市模拟)关于x的不等式－x2＋mx＋n>0的解集为{x|－1＜x＜2}，则m＋n的值为(　　)
A．－　　 B．－
C． D．
√
C　[因为不等式－x2＋mx＋n>0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以－1，2是方程－x2＋mx＋n＝0的两个实根，
所以
解得
所以m＋n＝．故选C．]
3．(2025·北京朝阳区模拟)若关于x的不等式mx2－mx－1＜0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．0＜m＜4　　 B．0≤m＜4
C．－4＜m＜0 D．－4＜m≤0
√
D　[当m＝0时，mx2－mx－1＝－1＜0恒成立，符合题意；
当m≠0时，因为mx2－mx－1＜0的解集为R，
所以解得－4＜m＜0，
综上，m的取值范围是－4＜m≤0．故选D．]
4．(2025·株洲荷塘区模拟)关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)＞0的解集是________________
_____．
(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[由题意关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，可得＝1，且a＞0，
(ax＋b)(x－2)＞0可变为(x－2)>0，即得(x－2)(x＋1)＞0，
∴x＜－1，或x＞2，∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]
(－∞，－1)∪(2，
＋∞)
【教用·备选题】
1．若关于x的不等式x2－(m＋3)x＋3m＜0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为(　　)
A．5＜m≤6　　 B．5≤m≤6
C．6＜m≤7 D．6≤m≤7
√
C　[关于x的不等式x2－(m＋3)x＋3m＜0，可化为(x－m)(x－3)＜0，
由选项知m>3，不等式的解集为{x|3因解集中恰有3个正整数，易知这3个正整数应为4，5，6，所以6＜m≤7．故选C．]
2．(2024·保定三模)若集合A＝{x|≤a}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，且A B，则a的取值范围为(　　)
A．[0，1]　　 B．[0，]
C．(－∞，1] D．(－∞，]
√
D　[根据题意，B＝{x|x2－2x－3≤0}＝[－1，3]，
当a＜0时，A＝ ，满足A B，
当a≥0时，A＝{x|0≤x≤a2}，若A B，则有a2≤3，解得0≤a≤，
综合可得，a≤，即a的取值范围为(－∞，]．
故选D．]
3．(2025·滨州模拟)已知不等式x2－ax＋4≥0对于任意的x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4]　　 B．[4，＋∞)
C．(－∞，5] D．[5，＋∞)
√
A　[若不等式x2－ax＋4≥0对于任意的x∈[1，3]恒成立，
则x2＋4≥ax对于任意的x∈[1，3]恒成立，
即x＋≥a对于任意的x∈[1，3]恒成立，
∵当x∈[1，3]时，x＋∈[4，5]，故a≤4，
∴实数a的取值范围是(－∞，4]．故选A．]
4．(2025·保定模拟)已知y＝－3x2＋a(6－a)x＋12．
(1)若不等式y＞b的解集为(0，3)，求实数a，b的值；
(2)若a＝3时，对于任意的实数x，都有y≤3x＋9m2－6m，求m的取值范围．
[解]　(1)y＝－3x2＋a(6－a)x＋12，
由不等式y＞b的解集为(0，3)，即方程－3x2＋a(6－a)x＋12－b＝0的两根为0和3，
由根与系数的关系知解得
经检验知，a＝3，b＝12时，不等式y＞b的解集为(0，3)，
所以a＝3，b＝12．
(2)当a＝3时，y＝－3x2＋9x＋12，由y≤3x＋9m2－6m恒成立，得
－3x2＋6x＋12≤9m2－6m，
即x2－2x－4＋3m2－2m≥0恒成立，
又二次不等式对应的函数为y＝x2－2x－4＋3m2－2m，只需Δ＝4－4(－4＋3m2－2m)≤0，
化简得3m2－2m－5≥0，解得m≤－1或m≥．
综上，m的取值范围是(－∞，－1]．
课后习题(五)　一元二次方程、不等式
1．(人教A版必修第一册P55习题2.3T3改编)已知集合M＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N＝(　　)
A．{x|－4≤x<3}
B．{x|x≤－4，或x≥7}
C．{x|－2D．{x|－4≤x<－2，或3√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[由题意得N＝{x|x<－2，或x>3}，则M∩N＝{x|－4≤x<－2，或3故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2．(人教B版必修第一册P75例3改编)不等式≥1的解集是(　　)
A．　　 B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[对于不等式≥1，移项得－1≥0，
即≤0，可化为解得≤x<2，故原不等式的解集为．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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12
3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．[4，＋∞)　　 B．[2，＋∞)
C．(－∞，4] D．(－∞，2]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
A　[法一：因为对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，所以对任意的x∈[－1，0]，m≥2x2－4x－2恒成立，设y＝2x2－4x－2＝2(x－1)2－4，x∈[－1，0]，则m≥ymax．易知y＝2(x－1)2－4在[－1，0]上单调递减，所以ymax＝2×(－1－1)2－4＝4，所以m≥4，所以m的取值范围是[4，＋∞)．故选A．
法二：设f (x)＝－2x2＋4x＋2＋m，易知f (x)图象的对称轴为直线x＝
1，结合题意可得，即解得m≥4．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(人教B版必修第一册P75练习BT5改编)求关于x的不等式x2－ax－2a2>0的解集，其中a是常数．
[解]　原不等式化为(x＋a)(x－2a)>0．
关于x的方程(x＋a)(x－2a)＝0的根分别为x1＝－a，x2＝2a．
当a>0时，－a<0，2a>0，则x<－a或x>2a．
当a＝0时，－a＝2a＝0，原不等式为x2>0，则x≠0．
当a<0时，－a>0，2a<0，则x>－a或x<2a．
综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|x<－a，或x>2a}，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}，当a<0时，原不等式的解集为{x|x<2a，或x>－a}．
题号
1
3
5
2
4
6
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9
10
11
12
5．(2025·新余模拟)设集合M＝{x|<2}，N＝{x|x2－2x－3≤0}．则M∩N＝(　　)
A．{x|－1≤x≤5}　　 B．{x|1≤x≤3}
C．{x|－1≤x≤3} D．{x|1≤x＜5}
√
B　[M＝{x|<2}＝{x|1≤x＜5}，N＝{x|x2－2x－3≤0}＝
{x|－1≤x≤3}，则M∩N＝{x|1≤x≤3}．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(多选)(2025·阳江模拟)下列不等式的解集为R的是(　　)
A．x2＋6x＋11＞0　　 B．x2－3x－3＜0
C．－x2＋x－2＜0 D．x2＋2x＋5≥0
√
ACD　[对于A，易知方程x2＋6x＋11＝0的判别式Δ＝62－4×11＜0，
即对应的整个二次函数图象都在x轴上方，所以解集为R，即A正确；
对于B，易知方程x2－3x－3＝0的判别式Δ＝32＋4×3＞0，
由对应的二次函数图象可知其解集不可能为R，即B错误；
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于C，易知方程－x2＋x－2＝0的判别式Δ＝12－4×2＜0，
即对应的整个二次函数图象都在x轴下方，所以解集为R，即C正确；
对于D，易知不等式x2＋2x＋5≥0可化为(x＋)2≥0，显然该不等式恒成立，即解集为R，即D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(2025·周口鹿邑县模拟)存在x∈[0，3]，使得不等式x2－4x－a≥0成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．a≤－3　　 B．a≤0
C．－3≤a≤0 D．0≤a≤3
√
B　[存在x∈[0，3]，使得不等式x2－4x－a≥0成立，等价于a≤(x2－4x)max．
令y＝x2－4x，x∈[0，3]，当x＝0时，ymax＝0，所以a≤0．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
8．(2025·渭南模拟)已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞－1}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　)
A． B．
C． D．{x|x＜－2，或x＞1}
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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12
C　[因为不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞－1}，
所以x＝－2，x＝－1是ax2＋bx＋2＝0的根，
所以解得a＝1，b＝3，
不等式2x2＋bx＋a＝2x2＋3x＋1＜0，解得－1故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
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7
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10
11
12
9．(2025·汕头模拟)已知关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0恰有三个整数解，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－2)∪[4，5)　　 B．(－3，－2]∪(4，5]　
C．(－3，－2]∪[4，5) D．[－3，－2)∪(4，5]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
D　[因为x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)＜0，
由题意得a≠1，当a＞1时，解得1＜x＜a，
若不等式x2－(a＋1)x＋a＜0恰有三个整数解，即为2，3，4，则4＜a≤5，
当a＜1时，解得a＜x＜1，
若不等式x2－(a＋1)x＋a＜0恰有三个整数解，即为－2，－1，0，则－3≤a＜－2．
综上，－3≤a＜－2或4＜a≤5．故选D．]
题号
1
3
5
2
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6
8
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9
10
11
12
10．(2025·上海浦东新区模拟)设a＞0，若关于x的不等式x2－ax＜0的解集是区间(0，1)的真子集，则实数a的取值范围是________．
(0，1)　[因为a＞0，所以解不等式x2－ax＜0，得0＜x＜a，
又因为不等式x2－ax＜0的解集是区间(0，1)的真子集，
所以a的取值范围是(0，1)．]
(0，1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11．(2025·贵州模拟)已知关于x的不等式mx2＋3mx－12＜0的解集为R，则实数m的取值范围是________________．
　[当m＝0时，不等式为－12＜0，解集为R；
当m≠0时，不等式mx2＋3mx－12＜0的解集为R，
应满足解得－＜m＜0．
综上，实数m的取值范围是．]
　
题号
1
3
5
2
4
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7
9
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12．(2025·沈阳浑南区模拟)已知函数f (x)＝ax2－(a＋1)x＋1，a∈R．
(1)若f (x)＜0的解集为{x|x＜－2，或x＞1}，求a的值；
(2)求关于x的不等式f (x)＞0的解集．
题号
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[解]　(1)由题意知，－2，1是ax2－(a＋1)x＋1＝0的根，
∴－2＋1＝，－2×1＝，解得a＝－．
(2)由f (x)＞0得(ax－1)(x－1)＞0，
①当a＜0时，解集为；
②当a＝0时，解集为{x|x＜1}；
③当0＜a＜1时，解集为；
题号
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④当a＝1时，解集为{x|x≠1}；
⑤当a＞1时，解集为．
综上所述，当a＜0时，解集为；当a＝0时，解集为{x|x＜1}；当0＜a＜1时，解集为x<1，或x>；当a＝1时，解集为{x|x≠1}；当a＞1时，解集为．
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