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(共39张PPT)
第六章　数列
思维进阶7　传统文化中的数列建模与创新应用
纵观新高考五年的真题，特别是2024年新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷，我们不难发现新一轮高考改革突出了对数列创新应用的考查，所以日常备考要始终贯穿观察、分析、归纳、递推、概括、猜想、应用等能力的培养．
题型一　传统文化中的数列建模
传统文化在数列中一般作为背景考查，发挥育人功能．在解答过程中，要抓住其中特征灵活运用数列知识分析、解决问题．
[典例1]　图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　)
A．0.75 　　 B．0.8 　　C．0.85 　　D．0.9
√
[阅读与思考]　如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1．因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1(k3－0.2)，BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1(k3－0.2)，BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1．又＝0.5，所以DD1＝，所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，所以＝＝＝0.725，解得k3＝0.9．故选D．
反思领悟　本例以中国古代建筑中的举架结构为背景，综合应用等差数列、三角函数、解析几何等知识解答．
巩固迁移1　(2025·四川攀枝花模拟)“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且AB＝16，则这127个正方形中，最小的正方形的边长为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
√
C　[依题意，不同边长的正方形的个数构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以1＋2＋22＋…＋2n-1＝127，即＝127，解得n＝7，即有7种边长不同的正方形．又正方形的边长构成以16为首项，为公比的等比数列．因此，最小的正方形的边长为16×＝2．故选C．]
题型二　新情境、新定义中的数列问题
对于新信息情境下的数列问题，在读懂题意的前提下，依据题目提供的信息，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
[典例2]　(2024·烟台二模)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如φ(4)＝2．已知bn＝，n∈N*，Tn是数列{bn}的前n项和，若Tn＜M恒成立，则M的最小值为(　　)
A． B．1
C． D．2
√
[阅读与思考]　因为3为质数，在不超过3n的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为3n-1，
φ(3n)＝3n－3n-1＝2×3n-1(n∈N*)，
所以φ(3n+1)＝3n+1－3n＝2×3n(n∈N*)，
则bn＝＝＝，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝＋…＋，
Tn＝＋…＋，
两式相减，可得Tn＝＋…＋＝
＝＝，
所以Tn＝<，
因为bn＝>0，所以Tn在n∈N*上递增，
所以Tn所以M的最小值为．故选A．
反思领悟　本例关键是由欧拉函数定义求出bn＝，进而由错位相减法求出Tn，即可求出M的最小值．
巩固迁移2　(2024·上饶市广丰区期末)记[x]表示不超过x的最大整数，〈x〉＝x－[x]，如[2.4]＝2，〈2.4〉＝0.4．已知数列{an}的通项公式为an＝n－2，数列{bn}满足bn＝2[an]－3〈an〉，则b1＋b2＋b3＋…＋b20＝(　　)
A．23 B．22
C．24 D．25
√
D　[由〈an〉＝an－[an]，可知bn＝2[an]－3〈an〉＝5[an]－3an，
记数列{an}和{[an]}的前n项和分别为Sn和Tn，
由an＝n－2，得S20＝×20×＝30，
而[a3n]＝[n－2]＝n－2，[a3n＋1]＝＝n－2，[a3n＋2]＝＝n－2，n∈N*，
T20＝[a1]＋[a2]＋([a3]＋[a4]＋[a5])＋…＋([a18]＋[a19]＋[a20])
＝－2－2＋3×(－1＋0＋1＋2＋3＋4)＝－4＋3×9＝23，
则b1＋b2＋b3＋…＋b20＝5×23－3×30＝25．
故选D．]
【教用·备选题】
1．(2024·碑林区月考)如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　)
A．　　B．　　　C．　D．
√
C　[∵a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，∴a2＋a3＋a4＋…＋an＝3＋6＋9＋12＋…＋3(n－1)
＝(3＋3n－3)＝．故选C．]
2．(多选)若数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn，数列{bn}的前n项和为Sn．下列结论正确的是(　　)
A．a9＝34
B．a2 024是奇数
C．a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a2 025
D．＝
√
√
√
ABD　[数列{an}为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以a9＝34，A正确；
由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数后一个为偶数，
且2 024＝3×674＋2，所以a2 024是奇数，B正确；
由an－1＝an－an－2，得a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，
a2 024＝a2 025－a2 023，
累加得a2＋a4＋…＋a2 024＝a2 025－a1，C错误；
由an＝an－1＋an－2(n≥3)，
得＝＝＝＝＝＝…＝a2 023a2 024，
所以S2 023＝
＝a2 023a2 024，
所以＝，D正确．故选ABD．]
进阶训练(七)　传统文化中的数列建模与创新应用
1．(2024·北京人大附中月考)明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，Sn和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为
(　　)
A．35 B．32
C．29 D．26
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[根据题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为－3的等差数列，设长子的岁数为a1，则207＝9a1＋×(－3)，解得a1＝35．故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第3项起，每个数等于它前面两个数的和，即an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”．记a2 022＝t，则a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝(　　)
A．t2 B．t－1
C．t D．t＋1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[由an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，得a2 022＝a2 021＋a2 020＝a2 021＋a2 019＋a2 018＝…＝a2 021＋a2 019＋…＋a3＋a2＝a2 021＋a2 019＋…＋a3＋a1＝t．故选C．]
题号
1
3
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2
4
6
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7
9
3．(2024·平顶山联考)《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷 (guǐ)长损益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为(　　)
A．1尺 B．1.25尺
C．1.5尺 D．2尺
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[由题意可知，十二个节气的日影子长为等差数列，设为a1，a2，…，a12，公差为d，其前n项和为Sn，则
即
解得a1＝1.5．故选C．]
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
4．(2024·湖南永州联考)“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为36×＝24，能发出第三个基准音的乐器的长度为24×＝32，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列{an}用来研究数据的变化，已知a8＝192，则a5＝(　　)
A．324 B．297
C．256 D．168
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[由损益规律可知a8＝a5，
即a5＝192，
解得a5＝324．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5．(2024·武汉市蔡甸区期末)已知Sn是数列{bn}的前n项和，若(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，数列{bn}的首项b1＝＋…＋，bn＋1·bn＝2n(n∈N*)，则S2 025＝(　　)
A．－3－21 014 B．－2－3·21 012
C．2－3·21 012 D．3－21 014
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[当x＝0时，a0＝1，当x＝时，a0＋＋…＋＝0，
所以b1＝－a0＝－1，又因为b2·b1＝2，所以b2＝－2，
因为所以＝2，
S2 025＝b1＋b2＋b3＋…＋b2 025＝(b1＋b3＋…＋b2 025)＋(b2＋b4＋…＋b2 024)
＝＝3－21 014．故选D．]
题号
1
3
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8
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9
6．如图1是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x′n，y′n)，则　 ＝(　　)
参考数据：1.122＝8.14．
A．814 　　　 　 B．900
C．914 　　　　D．1 000
√
题号
1
3
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2
4
6
8
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9
C　[根据题意，第n根弦分别与雁柱曲线y＝1.1x和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x′n，y′n)，
则yn＝1.1n，y′n＝n＋1，则有yny′n＝(n＋1)1.1n，
设Tn＝　则Tn＝1＋2×1.1＋3×1.12＋4×1.13＋…＋21×1.120，①
1.1Tn＝1.1＋2×1.12＋3×1.13＋4×1.14＋…＋21×1.121，②
①－②可得－0.1Tn＝＋…＋1.120－21×1.121＝＝1＋10×(1.121－1.1)－21×1.121＝
－10－10×1.122＝－91.4，
所以Tn＝914，故 　＝914．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
3
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4
6
8
7
9
7．(2025·甘肃金昌模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题，“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是“现有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，估计此金杖总重量约为________斤．
15　[由题意知每一尺的重量构成等差数列，设首项为2，则第5项为4，所以总重量为×5＝15斤．]
15
题号
1
3
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2
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6
8
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9
8．(2025·江西南昌模拟)我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图将1，2，3，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15． 一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方． 记n阶幻方的每列的数字之和为Nn，如图三阶幻方N3＝15，那么N5＝________．
65　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
65　[由n阶幻方填入1，2，3，…，n2，共n列，这n2个数字之和为1＋2＋3＋…＋n2，由这n列之和都相等，则每一列和Nn＝＝＝．
故N5＝＝65．]
题号
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9．(2025·成都模拟)记Sn(x)＝x＋x2＋x3＋…＋xn－2(x∈R，n∈N*)．
(1)当x＝2时，Sn(2)为数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式；
(2)记S′2 024(x)是S2 024(x)的导函数，求S′2 024(2)．
[解]　(1)当n＝1时，a1＝S1(2)＝0，
当n≥2时，an＝Sn(2)－Sn－1(2)＝(2＋22＋…＋2n－2)－(2＋22＋…＋2n-1－2)＝2n，
又∵当n＝1时，a1＝0不满足上式，∴an＝
题号
1
3
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2
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(2)∵S2 024(x)＝x＋x2＋x3＋…＋x2 024－2，
∴S′2 024(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋2 024x2 023，
S′2 024(2)＝1＋2×2＋3×22＋…＋2 024×22 023，①
2S′2 024(2)＝2＋2×22＋3×23＋…＋2 024×22 024，②
①－②得，－S′2 024(2)＝1＋2＋22＋…＋22 023－2 024×22 024＝－2 024×22 024＝－2 023×22 024－1，
∴S′2 024(2)＝2 023×22 024＋1．
谢 谢 ！

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