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课后习题(四十四)　空间直线、平面的平行
1．(人教A版必修第二册P143习题8.5T2改编)已知三条不重合的直线a，b，c，平面α．下列命题中，真命题的个数为(　　)
(1)若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线；(2)若a∥b，b∥c，则a∥c；(3)若a∥b，b α，则a∥α；(4)若a∥α，b∥α，则a∥[B]　
[A]　1 [B]　2
[C]　3 [D]　4
2．(苏教版必修第二册P186习题13.2(3)T5改编)如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为(　　)
[A]　1 [B]　2
[C]　 [D]　
3．(人教B版必修第四册P108练习B T2改编)如图，已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　)
[A]　2∶3 [B]　2∶5
[C]　4∶9 [D]　4∶25
4．(湘教版必修第二册P205复习题四T14改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点．
(1)证明：平面MNQ∥平面PCD；
(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
5．(2024·商丘期末)设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面α的距离相等”是“l∥α”的(　　)
[A]　充分不必要条件 [B]　必要不充分条件
[C]　充要条件 [D]　既不充分也不必要条件
6．(2025·驻马店模拟)已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，若a∥α，b α，则(　　)
[A]　a∥b [B]　a与b异面　
[C]　a与b相交 [D]　a与b没有公共点
7．(2025·太原迎泽区模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)
[A]　若a∥α，b∥a，则b∥α
[B]　若a∥α，b∥α，a β，b β，则β∥α
[C]　若α∥β，b∥α，则b∥β　
[D]　若α∥β，a α，则a∥β
8．(2024·长沙岳麓区期末)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝(　　)
[A]　 [B]　
[C]　 [D]　
9．(2024·周口川汇区月考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________，直线MD与平面BCC1B1的位置关系是_________．
10．(2024·哈尔滨香坊区期末)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1＝8，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8．点P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥平面PBD，则CF＝________．
11．(2025·潍坊模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．求证：
(1)PA∥平面BDE；
(2)F为PD的中点．
12．(2025·深圳模拟)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱AB，BC，B1C1的中点．
(1)证明：B1E∥平面ACG；
(2)在线段CC1上是否存在一点N，使得平面NEF∥平面A1BC1？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
1/1课后习题(四十四)　空间直线、平面的平行
1．A　2．C　
3．D　[因为平面α∥平面ABC，所以AB∥平面α，
又平面α∩平面PAB＝A′B′，AB 平面PAB，所以A′B′∥AB，同理可得AC∥A′C′，BC∥B′C′，
所以∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，
所以 △ABC∽△A′B′C′．
因为PA′∶AA′＝2∶3，所以PA′∶PA＝2∶5，
所以A′B′∶AB＝2∶5，
所以＝＝＝．
故选D．]
4．解：　(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，
∴NQ∥AB∥CD，MQ∥PC，
又NQ 平面PCD，CD 平面PCD，MQ 平面PCD，PC 平面PCD，
∴NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD，
又∵NQ∩MQ＝Q，且NQ，MQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PCD．
(2)在线段PD上存在点E，使得MN∥平面ACE，且＝．理由如下：
如图，取PD的中点E，连接NE，CE，AC，AE，
∵N，E分别是AP，PD的中点，
∴NE∥AD，NE＝AD，
易知BC∥AD，BC＝AD，又M为BC的中点，
∴MC∥AD，MC＝AD，
∴NE∥MC，NE＝MC，
∴四边形MCEN是平行四边形，
∴MN∥CE，
又∵MN 平面ACE，CE 平面ACE，
∴MN∥平面ACE，
故在线段PD上存在点E，使得MN∥平面ACE，
且＝．
5．B　6．D　7．D　
8．D　[连接AC与BE相交于点O，连接FO，如图所示，
∵PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FO，∴PA∥FO，则有＝．
∵∠AOE＝∠BOC，∠AEO＝∠CBO，
∴△AEO∽△CBO，＝．
∵在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，∴＝，
∴＝．故选D．]
9．相交　平行　[在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是相交，直线MD与平面BCC1B1的位置关系是平行．因为如果延长直线DM，则与直线AA1相交，而AA1在平面A1ACC1中，所以直线MD与平面A1ACC1的位置关系是相交的．
在平面BCC1B1中，连接C与C1B1的中点(图略)，与MD平行，根据线面平行的判定定理得到直线MD与平面BCC1B1的位置关系是平行的．]
10．2　[如图，连接AC，交BD于点O，连接PO．
∵EF∥平面PBD，EF 平面EFCA，平面EFCA∩平面PBD＝PO，
∴EF∥PO．在PA1上截取PQ＝AP＝2，连接QC，则QC∥PO，
∴EF∥QC，又EQ∥FC，
∴四边形EFCQ为平行四边形，
∴CF＝EQ．
又AE＋CF＝8，AE＋A1E＝8，∴A1E＝CF＝EQ，即点E为A1Q的中点，
而A1Q＝8－(AP＋PQ)＝4，∴CF＝A1Q＝2．]
11．证明：　(1)如图所示，
连接AC交BD于点G，连接GE，因为底面ABCD为平行四边形，
所以G为AC的中点，又E为PC的中点，所以GE∥PA，
又PA 平面BDE，GE 平面BDE，
所以PA∥平面BDE．
(2)因为底面ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，
又AB 平面ABEF，CD 平面ABEF，
所以CD∥平面ABEF，
又平面ABEF∩平面PDC＝EF，CD 平面PDC，
所以CD∥EF．
又因为E为PC的中点，所以F为PD的中点．
12．解：　(1)证明：取AC的中点M，连接EM，GM，
在△ABC中，由于E，M分别为AB，AC的中点，则EM∥BC且EM＝BC，
又G为B1C1的中点，B1C1∥BC，则有B1G∥BC且B1G＝BC，
故有B1G∥EM且B1G＝EM，
四边形EMGB1为平行四边形，B1E∥GM．
又GM 平面ACG，B1E 平面ACG，故B1E∥平面ACG．
(2)根据题意，当N为CC1的中点时，平面NEF∥平面A1BC1，
证明：连接NE，NF．
因为N，F分别是CC1和BC的中点，
所以NF∥BC1．
因为NF 平面A1BC1，BC1 平面A1BC1，
所以NF∥平面A1BC1．
因为EF∥AC，AC∥A1C1，所以EF∥A1C1．
又EF 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，故EF∥平面A1BC1，
又EF 平面NEF，NF 平面NEF，EF∩NF＝F，
所以平面NEF∥平面A1BC1．
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