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课后习题(五十八)　抛物线
1．C　2．D　
3．AB　[对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－8ty－16＝0，Δ＝64t2＋64>0，
∴y1＋y2＝8t，又线段AB的中点为M(m，2)，
∴＝4t＝2，解得t＝，A正确；对于B，∵M(m，2)在直线l：x＝y＋2上，∴m＝1＋2＝3，B正确；对于C，∵直线l：x＝y＋2过点(2，0)，且点(2，0)为抛物线y2＝8x的焦点，∴|AB|＝x1＋x2＋4＝(y1＋y2)＋8＝10，C错误；对于D，以AB为直径的圆的圆心为M，半径为5，设P(－2，2)，连接MP，则|MP|＝＝5，∴点P(－2，2)在以AB为直径的圆上，D错误．故选AB．]
4．B　[设点P的坐标为(x，y)，则x2＝－4y，且|PA|＝＝
＝＝，
又∵y≤0，∴当y＝－1时，|PA|min＝＝2．故选B．]
5．C　[因为x2＝2py(p＞0)的准线方程为y＝－，又准线方程为y＝－1，
所以＝1，解得p＝2．
故选C．]
6．D　[依题意，2＝a×12，解得a＝2，
所以C：x2＝的准线为y＝－，
所以|PF|＝2＋＝．
故选D．]
7．D　[∵抛物线C：y2＝2px，∴抛物线的焦点F，
∵直线y＝x－1过焦点F，
∴0＝－1，解得p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立化简整理可得，x2－6x＋1＝0，
由根与系数的关系可得，x1＋x2＝6，由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．
故选D．]
8．ABD　[当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为y2＝2px，
因为抛物线C过点A(1，－4)，所以16＝2p，解得p＝8，
则抛物线C的方程为y2＝16x，故选项A正确；
当抛物线开口向下时，
设抛物线的方程为x2＝－2py，
因为抛物线C过点A(1，－4)，所以1＝8p，解得p＝，
则抛物线C的方程为x2＝－y，故选项B正确；
①当抛物线C的方程为y2＝16x时，
设过点A的直线方程为y＋4＝k(x－1)(k≠0)，
联立消去y并整理得k2x2－(2k2＋8k＋16)x＋k2＋8k＋16＝0，
此时Δ＝64(k＋2)2，易知当k＝－2时，Δ＝0，
此时直线方程为y＝－2x－2，
易知直线y＝－4与抛物线只有一个公共点，
则过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条；
②当抛物线C的方程为x2＝－y时，
设过点A的直线方程为y＋4＝k(x－1)，
联立消去y并整理得4x2＋kx－k－4＝0，
此时Δ＝(k＋8)2，易知当k＝－8时，Δ＝0，
此时直线方程为y＝－8x＋4，
易知直线x＝1与抛物线只有一个公共点，
则过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条，故选项C错误，选项D正确．
故选ABD．]
9．2　[建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A(2，－2)代入x2＝my，
得m＝－2，∴x2＝－2y，代入B(x0，－3)得x0＝，故水面宽为2米．]
10．　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由F (1，0)可得直线AB的方程为y＝2x－2，
联立得x2－3x＋1＝0，
解得x1＝，x2＝，且有x1x2＝1．
由抛物线的定义，＝＝＝x1＝．]
11．解：　(1)由抛物线的定义可得点(m，3)到C的准线的距离为4，
所以抛物线C的准线方程为y＝－1，此时＝1，
解得p＝2，则C的方程为x2＝4y．
(2)设直线l的方程为y＝2x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理得x2－8x－4b＝0，
因为直线l与C交于A，B两点，所以Δ＝64＋16b＞0，
解得b＞－4，由根与系数的关系得x1＋x2＝8，
所以|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝2(x1＋x2)＋2b＋2＝18＋2b＝24，
解得b＝3，此时满足b＞－4．
故l的方程为y＝2x＋3．
1/1课后习题(五十八)　抛物线
1．(人教A版选择性必修第一册P138练习T3改编)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
[A]　2 [B]　3
[C]　6 [D]　9
2．(人教A版选择性必修第一册P145复习参考题3T6改编)已知等边三角形的一个顶点为抛物线C：y2＝4x的焦点F，其余两个顶点都在抛物线C上，则该等边三角形的边长为(　　)
[A]　4＋2 [B]　8＋4
[C]　4±2 [D]　8±4
3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P136练习T3改编)已知直线l：x＝ty＋2与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，若线段AB的中点是M(m，2)，则(　　)
[A]　t＝
[B]　m＝3
[C]　|AB|＝8
[D]　点(－2，2)在以AB为直径的圆内
4．(人教B版选择性必修第一册P164例2改编)已知点P在抛物线x2＝－4y上，且A(0，－3)，则|PA|的最小值为(　　)
[A]　2 [B]　2
[C]　3 [D]　2
5．(2025·大连模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线方程为y＝－1，则p的值为(　　)
[A]　 [B]　1
[C]　2 [D]　4
6．(2024·盐城三模)设F为抛物线C：y＝ax2的焦点，若点P(1，2)在C上，则|PF|＝(　　)
[A]　3 [B]　
[C]　 [D]　
7．(2024·榆林四模)直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|＝(　　)
[A]　2 [B]　4
[C]　6 [D]　8
8．(多选)(2024·唐山期末)已知抛物线C过点A(1，－4)，则(　　)
[A]　抛物线C的标准方程可能为y2＝16x
[B]　抛物线C的标准方程可能为x2＝－y
[C]　过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条
[D]　过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条
9．(2025·乌兰浩特市模拟)如图是某抛物线形拱桥，当水面在l处时，拱顶距水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽为________米．
10．(2024·通化市梅河口市三模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为2的直线与抛物线C交于A，B两点(点A在x轴的上方)，则＝__________．
11．(2025·贵港模拟)已知F为抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，且C上一点(m，3)到点F的距离为4．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝24，求l的方程．
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