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2026年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若全集U＝R，集合A＝{x|0≤x<3}，B＝{x|1A．[0，1) B．[0，1]
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
B　[法一：由B＝{x|1法二(排除法)：由题知1∈A，1 B，所以1∈A∩ UB，排除选项A，C，又－1 A，所以－1 A∩ UB，排除D，故选B．]
2．已知向量a，b满足a＝，b＝λa(λ∈R)，且a·b＝1，则λ＝(　　)
A． B．
C．2 D．4
A　[因为a·b＝λa2＝1，所以4λ＝1，得λ＝．故选A．]
3．已知函数f (x)＝2x－3ln x＋2 024，则f (x)的单调递减区间为(　　)
A． B．
C． D．
A　[根据题意，函数f (x)＝2x－3ln x＋2 024，其定义域为(0，＋∞)，
其导数f ′(x)＝2－，令f ′(x)<0，解得0所以f (x)的单调递减区间为．故选A．]
4．－2cos 10°＝(　　)
A． B．
C． D．2
A　[－2cos 10°＝
＝
＝．
故选A．]
5．某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广．通过调研得到当地村民愿意种植A，B，C的概率分别为，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的概率为(　　)
A． B．
C． D．
D　[4人中，至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种：
①有2人愿意种植A，愿意种植B，C的各有1人，
②有2人愿意种植A，有2人愿意种植B，
③有3人愿意种植A，有1人愿意种植B，
故所求概率P＝＋＋．
故选D．]
6．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)(　　)
A．5 cm B．6 cm
C．7 cm D．8.25 cm
C　[以碗体的最低点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
设碗体的抛物线方程为x2＝2py(p>0)，将点(5，6.25)代入，
得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h，
则两抛物线在第一象限的交点为(4，h－3)，代入到x2＝4y中，得42＝4(h－3)，解得h＝7．
故选C．]
7．如图是一个圆台的侧面展开图，已知BA＝12，BD＝6且∠ABC＝120°，则该圆台的体积为(　　)
A．112π B．π
C．π D．π
D　[设圆台上底面圆的半径为r，下底面圆的半径为R，母线长为l，高为h，则解得r＝2，R＝4，而圆台的母线长l＝AD＝AB－BD＝6，因此圆台的高h＝，所以圆台的体积V＝(πr2＋πR2＋πrR)h＝×(4π＋16π＋8π)×4π．故选D．]
8．已知函数f (x)的定义域为R，且yf (x)－xf (y)＝xy(x－y)，则下列结论一定成立的是(　　)
A．f (1)＝1
B．f (x)为偶函数
C．f (x)有最小值
D．f (x)在[0，1]上单调递增
C　[yf (x)－xf (y)＝xy(x－y)，当xy≠0时，两边同时除以xy得＝x－y，移项得－y，对于任意xy≠0恒成立．设－x＝t，则f (x)＝x2＋tx，x≠0，当x＝0时，f (0)＝0，满足yf (x)－xf (y)＝xy(x－y)，故f (x)＝x2＋tx．f (1)＝1＋t，由于t未知，故A不一定成立；当t＝0时，f (x)＝x2是偶函数，当t≠0时，f (x)不是偶函数，所以B不一定成立；因为f (x)为开口向上的二次函数，且图象关于直线x＝－对称，故f (x)在x＝－处取得最小值，但无法判断f (x)在[0，1]上的单调性，故C一定成立，D不一定成立．故选C．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某企业是一所大学的社会实践基地，实践结束后学校对学生进行考核评分，其得分的频率分布直方图如图所示，该学校规定，把成绩位于后25%的学生划定为不及格，把成绩位于前25%的学生划定为优秀，则下列结论正确的是(　　)
A．本次测试及格分数线的估计值为60分　
B．本次测试优秀分数线的估计值为75分　
C．本次测试分数中位数的估计值为70分　
D．本次测试分数的平均数小于中位数
CD　[对于A，由频率分布直方图可知，分数小于60分的频率为1－(0.2＋0.3＋0.2)＝0.3，分数小于50分的频率为1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.2)＝0.2，
所以分数的25%分位数在区间[50，60)内，故A错误；
对于B，由频率分布直方图可知，分数大于80分的频率为0.2，分数大于70分的频率为0.5，
所以优秀分数线的估计值在区间[70，80)内，设其为m，
则(80－m)×0.03＋0.2＝0.25，
解得m≈78.3，故B错误；
对于C，因为分数大于70分的频率为0.5，所以本次测试分数中位数的估计值为70分，故C正确；
对于D，因为频率分布直方图左拖尾，所以平均数小于中位数，故D正确．
故选CD．]
10．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若a＝1，且sin A－b sin B＝(c＋b)·sin C，则(　　)
A．sin A＝
B．△ABC面积的最大值为
C．R＝
D．BC边上的高的最大值为
AD　[∵a＝1，sin A－b sin B＝(c＋b)sin C，∴a sin A－b sin B＝(c＋b)sin C，由正弦定理可得，a2－b2＝(c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，又a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴cos A＝－，又A∈(0，π)，∴A＝，∴sin A＝，A正确；由正弦定理＝2R，得R＝，故C错误；∵a2＝1＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc＝3bc，∴bc≤，当且仅当b＝c＝时等号成立，
∴S△ABC＝bc sin A＝，故B错误；设BC边上的高为h，则S△ABC＝，∴h≤，故D正确．故选AD．]
11．将椭圆C1：＝1(a>b>0)上所有的点绕原点旋转角θ，得到椭圆C2的方程x2＋y2－xy＝6，则下列说法中正确的是(　　)
A．a＝2
B．椭圆C2的离心率为
C．(2，2)是椭圆C2的一个焦点
D．θ＝
ACD　[因为方程x2＋y2－xy＝6表示的曲线关于直线y＝x和y＝－x对称，所以θ＝，则直线y＝x和y＝－x是椭圆C2的对称轴，即椭圆C2的长轴和短轴分别在这两条直线上．
由得或
即曲线x2＋y2－xy＝6与直线y＝x的交点为，B，
则|AB|＝；
同理可得曲线x2＋y2－xy＝6与直线y＝－x的交点为C，D＝＝4，所以2a＝4，2b＝4，即a＝2，b＝2，所以c＝，所以e＝，所以椭圆C2的焦点在直线y＝x上，设焦点F (x，x)，则c＝|OF|＝＝2，所以x＝2或x＝－2，则椭圆C2的焦点为(2，2)或(－2，－2)．
故选ACD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数z满足z＋2＝iz，则|z|＝________．
　[由z＋2＝iz得(1－i)z＝－2，所以z＝，
则|z|＝．]
13．现有A，B，C，D，E五人排成一列，其中A与B相邻，C不排在两边，则共有________种不同的排法(用具体数字作答)．
24　[法一：将AB捆绑，则除C以外其他四人的排序有＝12(种)，又C不排在两边，
所以C可选的位置有＝2(种)，所以共12×2＝24(种)排法．
法二：将AB捆绑，若C的位置任意，则五人的排序有＝48(种)，
其中C排在两边的情况有＝24(种)，
所以C不排在两边的情况有48－24＝24(种)．]
14．若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是________．
[15，19]　[因为x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，
所以z＝，
因为x，y，z≥0，所以1≤x≤3，
所以M＝4x＋3y＋5z＝21－2x∈[15，19]．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知数列{an}是正项等比数列，其前n项和为Sn，且a2a4＝16，S5＝S3＋24．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an＋log2an}的前n项和为Tn，求满足Tn<2 024的最大整数n．
[解]　(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn-1，
又an>0，则q>0．
依题意可得
整理得q2＋q－6＝0，
解得q＝2或q＝－3(舍去)，
所以a1＝＝1，所以an＝2n-1．
(2)由(1)得an＋log2an＝2n-1＋n－1，
Tn＝(20＋21＋22＋…＋2n-1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2n－1＋，
显然当n≥1时，Tn随着n的增大而增大，
又T10＝210－1＋45＝1 068<2 024，
T11＝211－1＋55＝2 102>2 024，
所以满足Tn<2 024的最大整数n为10．
16．(15分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且＝0．
(1)求C的离心率；
(2)射线AF1与C交于点B，且|AB|＝，求△ABF2的周长．
[解]　(1)因为＝0，所以⊥，即AF1⊥AF2，
所以△AF1F2是等腰直角三角形，所以|F1F2|＝，即2c＝a，所以e＝．
(2)由(1)设直线AF1的方程为y＝x＋b，①
由e＝，得a2＝2c2＝2b2，
所以椭圆C的方程为＝1(b>0)，②
联立①②，化简得3x2＋4bx＝0，解得x＝0或x＝－，
所以|AB|＝，所以b＝，a＝2，
所以△ABF2的周长为4a＝8．
17．(15分)某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项．从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下2×2列联表：
单位：人
性别 比赛项目 合计
乒乓球组 羽毛球组
男生 50 25 75
女生 35 40 75
合计 85 65 150
(1)根据表中数据，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联；
(2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽2人，记X为抽到乒乓球组的学生人数，求X的分布列及数学期望．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
[解]　(1)零假设为
H0：该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别无关联．
经计算得χ2＝
≈6.109＞3.841＝x0.05，
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别有关联，以此推断犯错误的概率不大于0.05．
(2)按分层随机抽样，从女生乒乓球组中抽取7人，女生羽毛球组中抽取8人，
X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×．
18．(17分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与BB1的距离为．
(1)证明：平面A1ABB1⊥平面ABC；
(2)若点N在棱A1C1上，求直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值．
[解]　(1)证明：取棱A1A的中点D，连接BD，
因为AB＝A1B，所以BD⊥AA1，
因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以AA1∥BB1，
所以BD⊥BB1，所以BD＝．
因为AB＝2，所以AD＝1，
所以AA1＝2．
因为AC＝2，A1C＝2，
所以AC2＋＝A1C2，所以AC⊥AA1．
同理AC⊥AB．
因为AA1∩AB＝A，且AA1，AB 平面A1ABB1，
所以AC⊥平面A1ABB1．
又因为AC 平面ABC，
所以平面A1ABB1⊥平面ABC．
(2)取AB的中点O，连接A1O，
取BC的中点P，连接OP，则OP∥AC，
由(1)知AC⊥平面A1ABB1，
所以OP⊥平面A1ABB1．
因为A1O 平面A1ABB1，AB 平面A1ABB1，
所以OP⊥A1O，OP⊥AB．
因为AB＝A1A＝A1B，则A1O⊥AB．
以O为坐标原点，OP，OB，OA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则A(0，－1，0)，A1，B1，C(2，－1，0)，
设N(0≤a≤2)，
则＝(0，2，0)，＝＝，
设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝，则y＝0，z＝2，
则n＝为平面A1B1C的一个法向量．
设直线AN与平面A1B1C所成角为θ，
则sin θ＝＝
＝，
若a＝0，则sin θ＝；
若a≠0，则sin θ＝．
当且仅当a＝，即a＝2时，等号成立，
所以直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值为．
19．(17分)已知函数f (x)＝x ln (x－1)．
(1)求曲线y＝f (x)在x＝2处的切线方程；
(2)设g(x)＝f ′(x)，求函数g(x)的最小值；
(3)若＞2，求实数a的值．
[解]　(1)由题意可得f ′(x)＝ln (x－1)＋＝ln (x－1)＋＋1(x＞1)，
所以f ′(2)＝2．
又f (2)＝0，所以切点为(2，0)，
所以曲线y＝f (x)在x＝2处的切线方程为y＝2x－4．
(2)g(x)＝f ′(x)＝ln (x－1)＋＋1(x＞1)，
则g′(x)＝，
当x变化时，g′(x)和g(x)的变化如表：
x (1，2) 2 (2，＋∞)
g′(x) － 0 ＋
g(x) ? 极小值 ?
当x＝2时，g(x)min＝f ′(x)min＝2．
(3)函数f (x)的定义域为(1，＋∞)，
当a≤1时，x－a>0，
则>2，即f (x)>2(x－a)，
即－2a由(2)得f ′(x)≥2，
令m(x)＝f (x)－2x，则m′(x)＝f ′(x)－2≥0(x>1)，
所以m(x)在(1，＋∞)上单调递增(*)，
又当x→1时，m(x)→－∞，
因为a≤1，所以－2a≥－2，
此时－2a当a>1时，若x>a，则x－a>0，
则>2，即f (x)>2(x－a)，即－2a由(*)知函数m(x)＝f (x)－2x在(a，＋∞)上单调递增，
所以m(x)>m(a)＝a ln (a－1)－2a(x>a)，
所以－2a≤a ln (a－1)－2a，解得a≥2，①
若12，即f (x)<2(x－a)，
即－2a>f (x)－2x，
由(*)知函数m(x)＝f (x)－2x在(1，a)上单调递增，
所以m(x)所以－2a≥a ln (a－1)－2a，解得a≤2，②
由①②得a＝2，
综上所述，a＝2．
1/12026年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若全集U＝R，集合A＝{x|0≤x<3}，B＝{x|1[A]　[0，1) [B]　[0，1]
[C]　(－∞，1) [D]　(－∞，1]
2．已知向量a，b满足a＝，b＝λa(λ∈R)，且a·b＝1，则λ＝(　　)
[A]　 [B]　
[C]　2 [D]　4
3．已知函数f (x)＝2x－3ln x＋2 024，则f (x)的单调递减区间为(　　)
[A]　 [B]　
[C]　 [D]　
4．－2cos 10°＝(　　)
[A]　 [B]　
[C]　 [D]　2
5．某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广．通过调研得到当地村民愿意种植A，B，C的概率分别为，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的概率为(　　)
[A]　 [B]　
[C]　 [D]　
6．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)(　　)
[A]　5 cm [B]　6 cm
[C]　7 cm [D]　8.25 cm
7．如图是一个圆台的侧面展开图，已知BA＝12，BD＝6且∠ABC＝120°，则该圆台的体积为(　　)
[A]　112π [B]　π
[C]　π [D]　π
8．已知函数f (x)的定义域为R，且yf (x)－xf (y)＝xy(x－y)，则下列结论一定成立的是(　　)
[A]　f (1)＝1
[B]　f (x)为偶函数
[C]　f (x)有最小值
[D]　f (x)在[0，1]上单调递增
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某企业是一所大学的社会实践基地，实践结束后学校对学生进行考核评分，其得分的频率分布直方图如图所示，该学校规定，把成绩位于后25%的学生划定为不及格，把成绩位于前25%的学生划定为优秀，则下列结论正确的是(　　)
[A]　本次测试及格分数线的估计值为60分　
[B]　本次测试优秀分数线的估计值为75分　
[C]　本次测试分数中位数的估计值为70分　
[D]　本次测试分数的平均数小于中位数
10．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若a＝1，且sin A－b sin B＝(c＋b)·sin C，则(　　)
[A]　sin A＝
[B]　△ABC面积的最大值为
[C]　R＝
[D]　BC边上的高的最大值为
11．将椭圆C1：＝1(a>b>0)上所有的点绕原点旋转角θ，得到椭圆C2的方程x2＋y2－xy＝6，则下列说法中正确的是(　　)
[A]　a＝2
[B]　椭圆C2的离心率为
[C]　(2，2)是椭圆C2的一个焦点
[D]　θ＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数z满足z＋2＝iz，则|z|＝________．
13．现有A，B，C，D，E五人排成一列，其中A与B相邻，C不排在两边，则共有________种不同的排法(用具体数字作答)．
14．若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知数列{an}是正项等比数列，其前n项和为Sn，且a2a4＝16，S5＝S3＋24．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an＋log2an}的前n项和为Tn，求满足Tn<2 024的最大整数n．
16．(15分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且＝0．
(1)求C的离心率；
(2)射线AF1与C交于点B，且|AB|＝，求△ABF2的周长．
17．(15分)某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项．从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下2×2列联表：
单位：人
性别 比赛项目 合计
乒乓球组 羽毛球组
男生 50 25 75
女生 35 40 75
合计 85 65 150
(1)根据表中数据，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联；
(2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽2人，记X为抽到乒乓球组的学生人数，求X的分布列及数学期望．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋[D]　
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．(17分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与BB1的距离为．
(1)证明：平面A1ABB1⊥平面ABC；
(2)若点N在棱A1C1上，求直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值．
19．(17分)已知函数f (x)＝x ln (x－1)．
(1)求曲线y＝f (x)在x＝2处的切线方程；
(2)设g(x)＝f ′(x)，求函数g(x)的最小值；
(3)若＞2，求实数a的值．
1/1

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