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进阶训练(六)　三角形中的最值(范围)问题
1．(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，[C]　已知2b sin A－a＝0．
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围．
2．(2024·安徽联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin [A]　
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
3．(2025·佛山顺德区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝1，cos A＝．
(1)求角B的大小；
(2)如图，D为△ABC外一点，AB＝BD，∠ABC＝∠ABD，求的最大值．
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C
B
D进阶训练(六)　三角形中的最值(范围)问题
1．解：　(1)由正弦定理及题意得2sin B sin A＝sin A，
因为sin A≠0，0(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A，
由△ABC是锐角三角形，得A∈．
由cos C＝cos ＝－cos A＋sin A，得cos A＋cos B＋cos C＝sin A＋cos A＋＝∈．
故cos A＋cos B＋cos C的取值范围是．
2．解：　(1)由题设a sin ＝b sin A及正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A．
因为sin A≠0，
所以sin ＝sin B．
由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，
故cos ＝2sin cos ．
因为cos ≠0，
所以sin ＝，
因为0°所以B＝60°．
(2)由题设及(1)知S△ABC＝ac sin B＝a．
由正弦定理得a＝＝＝．
由△ABC为锐角三角形，
故0°由(1)知A＋C＝120°，所以30°故tan C>从而因此△ABC面积的取值范围是．
3．解：　(1)因为a＝1，cos A＝．
所以2b cos A＝2c－1＝2c－a，
由正弦定理可得2sin B cos A＝2sin C－sin A，
在△ABC中，sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
则有2sin A cos B＝sin A，
又sin A≠0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，
故B＝．
(2)在△BCD中，由＝，
得sin ∠CDB＝，
在△ABC中，由＝，
得sin ∠CAB＝，
所以＝，
设AB＝BD＝t(t>0)，
由余弦定理CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠CBD，
AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos ∠CBA，
得CD2＝t2＋1＋t，AC2＝t2＋1－t，
则＝＝1＋＝1＋≤1＋＝3(当且仅当t＝1时等号成立)，
所以的最大值为，此时AB＝BD＝1．
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