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进阶训练(十)　空间直角坐标系的构建与点的坐标的确定
1．A　[由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直．以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
设正方形边长为2，
则A(0，0，0)，E(1，0，0)，M(0，1，2)，F (2，1，0)，
＝(－1，1，2)，＝(2，1，0)，
cos 〈〉＝＝＝，则异面直线EM与AF所成角的余弦值为．]
2．C　[如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
球心O为正方体体对角线的交点，建系如图，
则P(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，O(1，1，1)，
设M(x，y，z)，三棱锥外接球的半径为R，
则2R＝＝2，故R＝，
则·＝()·()＝＋()··，
又＝R2＝3，＝(－1，1，－1)，＝(－1，－1，1)，
所以＝(－2，0，0)，·＝1－1－1＝－1，
则()·＝||||cos 〈〉＝2cos 〈〉，
所以·＝2＋2cos 〈〉，
故当cos 〈〉＝1时，·取得最大值2＋2．故选C．]
3．B　[如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A(0，3，0)，P(0，0，3)，D(3，3，0)，E(0，2，1)，
∴＝(0，2，1)，＝(3，3，0)．
设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，得n＝为平面BED的一个法向量．
又平面ABE的法向量为m＝(1，0，0)，
∴cos 〈n，m〉＝＝＝．
∴平面ABE与平面BED夹角的余弦值为．]
4．ACD　[由题可得，AB，AD，AF两两垂直，
以A为坐标原点，AD，AB，AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则A(0，0，0)，B(0，2，0)，D(2，0，0)，E(0，2，2)，
F (0，0，2)．
对于A，因为P，Q分别是线段AE，BD的中点，所以P(0，1，1)，Q(1，1，0)，
所以＝(1，0，－1)，＝(－2，0，2)＝－2，又PQ，DF不共线，所以PQ∥DF，故A正确；
对于B，＝(1，1，0)，＝(0，－1，1)，设异面直线AQ，PF所成角为θ，
则cos θ＝|cos 〈〉|＝＝＝，
又因为θ∈，所以θ＝，即异面直线AQ，PF所成角为，故B错误；
对于C，由＝(0，－1，1)，＝(－2，0，2)，得＝＝，
所以点P到直线DF的距离为
＝＝，故C正确；
对于D，因为PQ∥DF，所以Q到DF的距离即为P到DF的距离，
所以△DFQ的面积S＝||×＝，故D正确．
故选ACD．]
5．　[以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，
则P(0，0，4)，A(4，0，0)，D(0，－3，0)，B(0，3，0)，C(－4，0，0)，＝(4，0，－4)，＝(0，6，0)，
当λ＝时，得M，
所以＝．
设平面DBM的法向量为n＝(x，y，z)，
则
解得y＝0，令x＝2，则z＝1，
所以n＝(2，0，1)为平面DBM的一个法向量．
因为|cos 〈，n〉|＝＝＝，
所以直线PA与平面BDM所成角的正弦值为．]
6．　[过点A作AE⊥平面ABCD，以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
所以B，D，F (0，2，2)．
设平面BAF的法向量为n1＝(x，y，z)，
则由得
令z＝1，得所以n1＝(－，－1，1)为平面BAF的一个法向量．
同理，可求得平面AFD的一个法向量为n2＝(，－1，1)．
由n1·n2＝0，知平面BAF与平面AFD垂直，
所以平面BAF与平面AFD夹角的大小为．]
7．　[以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，
平面SAB的一个法向量为＝，
并求得平面SCD的一个法向量为n＝，
则cos 〈，n〉＝＝．
即平面SCD与平面SAB夹角的余弦值为．]
8．解：　(1)证明：取AD的中点O作为坐标原点，
由题意知，VO⊥底面ABCD，
则可建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(1，0，0)，
D(－1，0，0)，B(1，2，0)，
V(0，0，)．
易得＝(0，2，0)，＝(1，0，－)．
∵·＝(0，2，0)·(1，0，－)＝0，
∴⊥，即AB⊥VA．
又AB⊥AD，AD∩VA＝A，AD，VA 平面VAD，∴AB⊥平面VAD．
(2)易得＝(1，0，)．
设E为DV的中点，连接EA，EB，则E，
∴＝＝．
∵·＝·(1，0，)＝0，
∴⊥，即EB⊥DV．
又EA⊥DV，∴∠AEB为所求二面角的平面角，
∴cos 〈〉＝＝．
故所求二面角的平面角的余弦值为．
9．解：　(1)证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D＝D，CD，A1D 平面A1CD，
∴DE⊥平面A1CD，
又∵A1C 平面A1CD，∴A1C⊥DE．
又A1C⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE 平面BCDE，
∴A1C⊥平面BCDE．
(2)如图建系，则C(0，0，0)，D(－2，0，0)，A1(0，0，2)，
B(0，3，0)，E(－2，2，0)，
∴＝(0，3，－2)，＝(－2，2，－2)，
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
∴取y＝2，则n＝(－1，2，)．
又∵M(－1，0，)，∴＝(－1，0，)．
∴cos 〈，n〉＝＝＝＝，
∴CM与平面A1BE所成角的大小为45°．
(3)设线段BC上存在点P，P点坐标为(0，a，0)，a∈[0，3]，
∴＝(0，a，－2)，＝(2，a，0)，
设平面A1DP法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
∴
取y1＝6，则n1＝(－3a，6，a)．假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1·n＝0，
∴3a＋12＋3a＝0，a＝－2．
∵0≤a≤3，∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．
1/1进阶训练(十)　空间直角坐标系的构建与点的坐标的确定
1．(2025·成都模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是(　　)
[A]　 [B]　
[C]　－ [D]　
2．(2025·莆田模拟)在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2．若M为该三棱锥外接球上的一点，则·的最大值为(　　)
[A]　2 [B]　4
[C]　2＋2 [D]　4＋2
3．(2025·贵阳模拟)如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED夹角的余弦值为(　　)
[A]　 [B]　
[C]　 [D]　
4．(多选)(2025·铜川印台区模拟)如图，四边形ABCD，ABEF都是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，P，Q分别是线段AE，BD的中点，则(　　)
[A]　PQ∥DF
[B]　异面直线AQ，PF所成角为
[C]　点P到直线DF的距离为
[D]　△DFQ的面积是
5．(2024·衡水中学月考)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA＝4，OB＝3，OP＝4，OP⊥底面ABC[D]　设点M满足＝λ(λ>0)，当λ＝时，直线PA与平面BDM所成角的正弦值是________．
6．(2025·滕州模拟)如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD＝．若CF⊥平面ABCD，CF＝2，则平面BAF与平面AFD夹角的大小为________．
7．(2024·杭州二中月考)在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB夹角的余弦值为________．
8．(2025·枣庄模拟)在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABC[D]　
(1)证明：AB⊥平面VAD；
(2)求二面角A-VD-B的平面角的余弦值．
9．(2025·天津模拟)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．
　
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