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课后习题(九)
1．CD　[利用奇函数的定义，首先定义域需关于原点对称，排除选项A；函数f (x)是奇函数，需满足f (－x)＝－f (x)，排除选项B．故选CD．]
2．BD　[A选项，若f (x)＝x(x2－4)，则f (－2)＝0，f (2)＝0，故f (－2)＝f (2)，因为f (x)的定义域为R，关于原点对称，且f (－x)＝－x[(－x)2－4]＝－x(x2－4)＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，故A错误；
B选项，根据偶函数的定义知，若f (x)为偶函数，则f (－x)＝f (x)，因此满足f (2)≠f (－2)的函数必然不是偶函数，故B正确；
C选项，若f (x)＝x2，则f (2)＝4，f (1)＝1，故f (2)>f (1)，但函数f (x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C错误；
D选项，因为2>1，f (2)>f (1)，所以f (x)不是R上的减函数，故D正确．]
3．D　[法一：令g(x)＝ax3＋bx(ab≠0)，易知g(x)是奇函数，从而f (2 025)＝g(2 025)＋1，f (－2 025)＝g(－2 025)＋1＝－g(2 025)＋1．
又因为f (2 025)＝k，所以g(2 025)＝k－1，
从而f (－2 025)＝－(k－1)＋1＝2－k．
法二：因为f (－x)＋f (x)＝－ax3－bx＋1＋ax3＋bx＋1＝2，所以f (－2 025)＋f (2 025)＝2．又因为f (2 025)＝k，
所以f (－2 025)＝2－k．]
4．＋1　[∵f (x)为偶函数，x>0时，f (x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，f (x)＝f (－x)＝＋1，
即x<0时，f (x)＝＋1．]
5．B　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，且f (1＋x)＝f (1－x)，
所以f (2＋x)＝f (－x)＝－f (x)，
所以f (4＋x)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4．
当－1≤x＜0时，f (x)＝log2(－6x＋2)，
所以f＝log24＝2，则f＝－2．故选B．]
6．A　[根据题意，设F(x)＝f (x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即f (x)－1＋f (－x)－1＝0，
即f (x)＋f (－x)＝2，所以f (1)＋f (－1)＝2．
因为F(0)＝f (0)－1＝0，
所以f (0)＝1，f (－1)＋f (0)＋f (1)＝2＋1＝3．故选A．]
7．B　[因为f (x)是R上的奇函数，且f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝f (x)，
所以f (x)的周期T＝4，
当x∈[0，1]时，f (x)＝x2＋2x，
则f (15)＝f (－1)＝－f (1)＝－3．故选B．]
8．B　[函数f (x)＝a＋x≠0}，
又由f (x)是奇函数，则f (－x)＋f (x)＝0，
即a＋
＝2a＋＝2a＋1－b＝0，
所以2a－b＝－1．故选B．]
9．B　[因为函数y＝f (x＋2)为奇函数，则f (－x＋2)＝－f (x＋2)，
即f (2－x)＋f (2＋x)＝0，可得f (4－x)＋f (x)＝0．
又因为f (1－x)＝f (x＋1)，则f (4－x)＝f (x－2)，
所以f (x)＋f (x－2)＝0，可得f (x)＋f (x＋2)＝0，
则f (x＋2)＝f (x－2)，即f (x＋4)＝f (x)，
所以f (x)是周期为4的周期函数，又f (3)＝－2，f (1)＝2，
所以f (2 025)＝f (4×506＋1)＝f (1)＝2．
故选B．]
10．－　[因为f (2－x)＝－f (x)＝f (－x)，
所以f (2＋x)＝f (x)，
所以f (x)的周期为2，
所以f (2＋log25)＝f
＝f，
又－1＜log2＜0，
所以f (2＋log25)＝－f．]
11．　[根据题意，函数f (x)(x∈R)是周期为4的奇函数，
则f (5)＝f (1)，f，
又由函数f (x)在[0，2]上的解析式为f (x)＝
则f (5)＝f (1)＝0，f＝－sin π＝，
则f (5)＋f．]
12．120　[由题意可知，＝，且＝2，
则＝＝＝＝＝2，
所以f (2)＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)＝2(2＋4＋6＋8＋10)＝60，
因为函数f (x)为偶函数，所以f (－2)＋f (－4)＋f (－6)＋f (－8)＋f (－10)＝60，
则＝60＋60＝120．]
1/1课后习题(九)　函数的奇偶性、周期性
1．(多选)(北师大版必修第一册P67例2改编)下列函数是奇函数的是(　　)
[A]　f (x)＝x(x∈[0，1])　　 [B]　f (x)＝3x2
[C]　f (x)＝ [D]　f (x)＝x|x|
2．(多选)(苏教版必修第一册P126练习T4改编)对于定义在R上的函数f (x)，下列判断正确的是(　　)
[A]　若函数f (x)满足f (－2)＝f (2)，则f (x)是偶函数
[B]　若函数f (x)满足f (－2)≠f (2)，则f (x)不是偶函数
[C]　若函数f (x)满足f (2)>f (1)，则f (x)是R上的增函数
[D]　若函数f (x)满足f (2)>f (1)，则f (x)不是R上的减函数
3．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)已知函数f (x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f (2025)＝k，则f (－2 025)等于(　　)
[A]　k　　 [B]　－k
[C]　1－k [D]　2－k
4．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)函数f (x)在R上为偶函数，且x>0时，f (x)＝＋1，则当x<0时，f (x)＝________．
5．(2024·泰安四模)设f (x)是定义在R上的奇函数，且f (1＋x)＝f (1－x)，当－1≤x＜0时，f (x)＝log2(－6x＋2)，则f 的值为(　　)
[A]　－1　　 [B]　－2
[C]　2 [D]　1
6．(2024·晋城三模)若函数y＝f (x)－1是定义在R上的奇函数，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＝(　　)
[A]　3　　 [B]　2
[C]　－2 [D]　－3
7．(2024·海南昌江县二模)已知f (x)是R上的奇函数，且f (x＋2)＝－f (x)，当x∈[0，1]时，f (x)＝x2＋2x，则f (15)＝(　　)
[A]　3　　 [B]　－3
[C]　255 [D]　－255
8．(2025·西安雁塔区模拟)已知函数f (x)＝a＋(ab≠0)是奇函数，则(　　)
[A]　2a＋b＝1　　 [B]　2a－b＝－1
[C]　a＋b＝1 [D]　a－b＝－1
9．(2024·梅州五华区一模)定义在R上的函数f (x)满足f (1－x)＝f (x＋1)，且y＝f (x＋2)为奇函数．当x∈(2，3]时，f (x)＝(x－2)3－3(x－2)，则f (2 025)＝(　　)
[A]　－5　　 [B]　2
[C]　－1 [D]　1
10．(2025·烟台模拟)已知f (x)为定义在R上的奇函数，且f (x)＋f (2－x)＝0，当－1＜x＜0时，f (x)＝2x，则f (2＋log25)的值为________．
11．(2025·合肥肥西县模拟)若函数f (x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x)＝则f (5)＋f ＝________．
12．(2024·江西宜春高三校考)定义在R上的不恒为零的偶函数f (x)满足xf (x＋2)＝(x＋2)f (x)，且f (2)＝4．则＝________．
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