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课后习题(三十)　正弦定理、余弦定理
1．(苏教版必修第二册P114本章测试T4改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c2＝a2＋b2－ab，则C＝(　　)
[A]　60° [B]　30°
[C]　60°或120° [D]　120°
2．(人教A版必修第二册P61复习参考题6T11改编)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是(　　)
[A]　b＝10，A＝45°，B＝70°
[B]　a＝60，c＝48，B＝60°
[C]　a＝7，b＝5，A＝80°
[D]　a＝14，b＝16，A＝45°
3．(人教B版必修第四册P12习题9－1AT4改编)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝，则C＝________．
　[由正弦定理，得sin C＝＝＝，所以C＝或C＝，因为B＝，所以04．(北师大版必修第二册P118例5改编)在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状．
5．(2025·成都模拟)在△ABC中，BC＝3，AC＝5，C＝，则AB＝(　　)
[A]　 [B]　
[C]　 [D]　7
6．(2024·攀枝花东区校级月考)在△ABC中，a＝，b＝1，B＝，则角A＝(　　)
[A]　 [B]　或
[C]　 [D]　或
7．(2024·南平延平区期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，[C]　已知a＝2，b＝6，A＝，则此三角形(　　)
[A]　无解 [B]　一解　
[C]　两解 [D]　解的个数不确定
8．(2025·重庆模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b＝6，a2＋c2＝3ac，则△ABC的面积为(　　)
[A]　 [B]　
[C]　 [D]　
9．(多选)(2024·南充仪陇县月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　)
[A]　(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7
[B]　△ABC为钝角三角形　
[C]　若a＋b＋c＝18，则△ABC的面积是3
[D]　若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r
10．(2025·丽江模拟)已知在△ABC中，A＝120°，且AB＝3，AC＝5，D是BC上的一点，且AD⊥AB，则BD＝________．
11．(2024·昆明五华区月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C＋c sin B，则B＝________；若△ABC的面积S△ABC＝2，a＋c＝5，则b＝________．
12．(2024·贵阳云岩区校级一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a＝2c cos B＋[B]　
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，a＋b＝5，求△ABC的面积．
1/1课后习题(三十)　正弦定理、余弦定理
1．B　2．D　
3．　[由正弦定理，得sin C＝＝＝，所以C＝或C＝，因为B＝，所以04．解：　令＝k，由正弦定理，得
a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C．
代入已知条件，得＝＝，
即tan A＝tan B＝tan C．
又因为A，B，C∈(0，π)，所以A＝B＝C．
故△ABC为等边三角形．
5．D　6．D　7．C　
8．A　[因为B＝，b＝6，a2＋c2＝3ac，
所以由余弦定理可得36＝a2＋c2－2ac×＝a2＋c2＋ac＝3ac＋ac＝4ac，
所以ac＝9，
则△ABC的面积S＝ac sin B＝×9×＝．故选A．]
9．BCD　[因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶3∶4，
设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0．
A中，可得(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5k∶7k∶6k＝5∶7∶6，所以A不正确；
B中，可得C为最大角，由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝－＜0，
可得角C为钝角，所以该三角形为钝角三角形，所以B正确；
C中，因为a＋b＋c＝18，又a∶b∶c＝2∶3∶4，可得a＝4，b＝6，c＝8，
由B选项的分析，可得sin C＝，
所以S△ABC＝ab sin C＝×4×6×＝3，所以C正确；
D中，由正弦定理可得＝2R，可得R＝＝，
则S△ABC＝ab sin C＝(a＋b＋c)r＝(2k＋3k＋4k)r，
即·2k·3k·＝r，
可得r＝，所以5R＝，16r＝，即5R＝16r，所以D正确．
故选BCD．]
10．　[在△ABC中，A＝120°，且AB＝3，AC＝5，
由余弦定理得BC2＝9＋25－2×3×5×＝49，即BC＝7，
则cos B＝＝＝，
又cos B＝，所以BD＝．]
11．　[因为a＝b cos C＋c sin B，
所以sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，
所以sin (B＋C)＝sin B cos C＋sin C sin B，
即cos B sin C＝sin C sin B，
因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以tan B＝，
又B∈(0，π)，所以B＝．
由S△ABC＝2，可得ac sin B＝2，则ac＝8，
又a＋c＝5，则由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－3ac＝26，
解得b＝．]
12．解：　(1)因为2a＝2c cos B＋b，由余弦定理可得2a＝2c·＋b，
整理可得a2＋b2－c2＝ab．
由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2ab cos C，
所以cos C＝，
又C∈(0，π)，
所以角C为．
(2)因为c＝，a＋b＝5，由(1)可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，
即7＝25－3ab，解得ab＝6，
所以S△ABC＝ab sin C＝×6×＝．
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