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课后习题(三十四)　平面向量的数量积及其应用
1．(湘教版必修第二册P39练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
[A]　　　 [B]　　　 [C]　　　 [D]　
2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________．
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则＝________．
5．(2024·辽源期末)已知向量a＝(－1，2)，b＝(x，4)，且a⊥b，则|b|＝(　　)
[A]　2 [B]　4
[C]　4 [D]　8
6．(2025·河北邯郸模拟)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量a－2b在向量b上的投影向量为(　　)
[A]　b [B]　－2b
[C]　－b [D]　－b
7．(2025·济宁模拟)如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则＝(　　)
[A]　0 [B]　4
[C]　8 [D]　－4
8．(多选)(2024·遂宁月考)已知a＝(t，－2)，b＝(－4，t)，则(　　)
[A]　若a∥b，则t＝±2
[B]　若a⊥b，则t＝0
[C]　|a－b|的最小值为
[D]　若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为(0，＋∞)
9．(2025·济南模拟)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1，0)的夹角是钝角，则b等于(　　)
[A]　(－3，－4) [B]　(4，3)
[C]　(－4，3) [D]　(－4，－3)
10．(2024·北京西城区期末)在△ABC中，A＝60°，AC＝6，AB＝4，则＝________，||＝________．
11．(2024·成都期末)已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a的夹角为，则＝________．
12．(2024·琼海月考)已知向量a＝(1，1)，b＝(3，－4)．
(1)求|a＋2b|；
(2)已知|c|＝2，且(2a＋c)⊥c，求向量a与向量c的夹角．
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1．A　
2．－e　[向量b在向量a上的投影向量为·e＝－e．]
3．2　[由题意得，a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝＝2．]
4．8　[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，＝，
所以＝||||·cos∠BAC＝||·||＝||2＝8．]
5．C　
6．B　[因为a，b是两个互相垂直的单位向量，
所以a·b＝0，且|a|＝|b|＝1，
所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝a·b－2|b|2＝－2，
所以向量a－2b在向量b上的投影向量为
＝－2b．
故选B．]
7．B　[由题图中的垂直关系，可得在上的投影数量为||，所以＝||2，只需求出△ABC的高即可．由已知可得AD＝AB·sin B＝2，所以＝||2＝4．
故选B．]
8．ABC　[对于A，若a∥b，则t2－8＝0，
解得t＝±2，故A正确；
对于B，若a⊥b，则a·b＝－4t－2t＝0，解得t＝0，故B正确；
对于C，a－b＝(t＋4，－2－t)，
则|a－b|＝
＝＝，
当t＝－3时，|a－b|min＝，故C正确；
对于D，因为向量a与向量b的夹角为钝角，所以a·b<0且a，b不共线，
由a·b＝－4t－2t<0，得t>0，由a∥b得t＝±2，
所以t的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞)，故D错误．
故选ABC．]
9．D　[设b＝(x，y)，
∵a⊥b，∴a·b＝6x－8y＝0，①
∵b与向量(1，0)的夹角为钝角，∴x<0，②
又|b|＝＝5，③
由①②③解得
∴b＝(－4，－3)．]
10．12　4　[△ABC中，A＝60°，AC＝6，AB＝4，
则＝||||cos 〈〉＝6×4×cos 60°＝12，
因为＝＝－2，
所以()2＝(－2)2＝－4＋4＝16－4×12＋4×36＝112，
所以||＝＝4．]
11．　[根据题意，设|a|＝m，|b|＝n，
若a⊥b，则|a＋2b|＝＝，
又由a＋2b与a的夹角为，则cos 〈a＋2b，a〉＝＝
＝＝，变形可得：m＝2n，则＝＝．]
12．解：　(1)由向量a＝(1，1)，b＝(3，－4)，得a＋2b＝(1，1)＋2(3，－4)＝(7，－7)，
所以|a＋2b|＝＝7．
(2)由|c|＝2，(2a＋c)⊥c，
得(2a＋c)·c＝2a·c＋c2＝2a·c＋4＝0，
解得a·c＝－2，
由a＝(1，1)，得|a|＝，所以cos 〈a，c〉＝＝＝－，
又〈a，c〉∈[0，π]，所以〈a，c〉＝，
所以向量a与向量c的夹角为．
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