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课后习题(三十五)　平面向量的应用
1．A　[∵()·(－2)＝0，
∴·()＝0，
∴⊥()，
∴△ABC的边BC上的中线和边BC垂直，
∴△ABC是等腰三角形．故选A．]
2．D　[由题意，知F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，所以＝(F1＋F2)2＝＋2F1·F2＝4＋16＋16cos 60°＝28，即|F3|＝2 N．故选D．]
3．69.3 kg　[设该学生的体重为m，所受重力为G，两只胳膊的拉力分别为F1，F2，则|G|＝mg，－G＝F1＋F2，|F1|＝|F2|＝400 N，
所以|G|2＝|F1＋F2|2＝4002＋4002＋2×400×400×cos 60°＝3×4002，
所以|G|＝400 N，又g＝10 m/s2，≈1.732，
所以m≈69.3 kg．]
4．A　[建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得ν1＝(－5，5)，ν2＝(6，0)，
所以ν1＋ν2＝(1，5)，
说明游船有x轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A′东侧．]
5．B　[在△ABC中，||＝|－2|，
即||＝|()＋()|，
即||＝||，
所以()2＝()2，
即||2－2＋||2
＝||2＋2＋||2，
得4＝0．
因为与均为非零向量，
则⊥，
即∠BAC＝90°，
所以△ABC是直角三角形．]
6．C　[因为点G是△ABC的重心，且＝x＝y(x＞0，y＞0)，
所以＝＝，所以＝)＝，
因为G，M，N三点共线，所以＝1，
所以x＋4y＝(x＋4y)＝＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立．故选C．]
7．A　[如图所示，风速的方向为的方向，帆船的行驶方向为的方向，
帆船的实际行驶方向为的方向．
则||＝200，||＝5×15＝75，∠BAF＝45°，
∴||2＝||2＋||2－2·||·||·cos ∠BAF
＝(75)2＋2002－2×75×200×cos 45°＝252×34，
∴||＝||＝25，又25÷5＝5，
∴船速的大小应为5海里/小时．
故选A．]
8．16　[因为＝，所以＝，
因为＝x＋y，所以＝xy，
因为A，D，E三点共线，则x＋＝1，x＞0，y＞0，
则＝＝＝＋10≥2＋10＝16，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值是16．]
9．解：　(1)因为F是BC边上的中点，点E满足＝2，
所以＝＝＝＝，
因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝－，
所以λ＋μ＝－．
(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，
则F (3，1)，D(0，2)，设＝t，t∈[0，1]，
则＝t·(3，1)＝(3t，t)，＝＝(3t，t－2)，
所以＝(3t，t)·(3t，t－2)＝10t2－2t＝－，t∈[0，1]，
当t＝时，取得最小值－；当t＝1时，取得最大值8，
所以∈．
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1．(人教A版必修第二册P52习题6.4T1改编)若O为△ABC所在平面内任一点，满足()·(－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
[A]　等腰三角形 [B]　直角三角形
[C]　等边三角形 [D]　等腰直角三角形
2．(湘教版必修第二册P56例4改编)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(　　)
[A]　6 N [B]　2 N
[C]　2 N [D]　2 N
3．(北师大版必修第二册P136复习题二A组T11改编)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为________．(保留一位小数)(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732)
4．(2025·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h．设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A′在码头A的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应(　　)
[A]　在A′东侧 [B]　在A′西侧
[C]　恰好与A′重合 [D]　无法确定
5．(2025·北京模拟)若O为△ABC所在平面内一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为(　　)
[A]　等腰直角三角形 [B]　直角三角形
[C]　等腰三角形 [D]　等边三角形
6．(2024·安阳市文峰区月考)如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设＝x＝y，则x＋4y的最小值为(　　)
[A]　9 [B]　4
[C]　3 [D]　
7．(2024·海口市琼山区期末)一帆船要从A处驶向正东方向200海里的B处，当时有自西北方向吹来的风，风速为15海里/小时，如果帆船计划5小时到达目的地，则船速的大小应为(　　)
[A]　5海里/小时 [B]　6海里/小时
[C]　7海里/小时 [D]　8海里/小时
8．(2024·咸阳市秦都区月考)在△ABC中，＝，E是线段AD上的动点(与端点不重合)，设＝x＋y，则的最小值是_________．
9．(2024·宁波市奉化区期末)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2AD＝2DC＝4，F是BC边上的中点．
(1)若点E满足＝2，且＝λ＋μ，求λ＋μ的值；
(2)若点P是线段AF上的动点(含端点)，求的取值范围．
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