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课后习题(四十一)　数列求和(二)
1．(湘教版选择性必修第一册P43习题1.4T2改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5＝(　　)
[A]　1 [B]　
[C]　 [D]　
2．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(2)改编)1＋＋…＋n＝________．
3．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(2)改编)若i是虚数单位，则i＋2i2＋3i3＋…＋2 025i2 025＝________．
4．(人教B版选择性必修第三册P58复习题A组T9改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a5＝18，S6＝48．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
5．(2025·南昌模拟)如果数列{an}的通项公式为an＝，则数列的前100项和S100＝(　　)
[A]　 [B]　
[C]　 [D]　
6．(多选)(2024·山东泰安二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S7＝42，则下列说法正确的是(　　)
[A]　a5＝4
[B]　Sn＝n2＋n
[C]　为递减数列
[D]　的前5项和为
7．(2025·沈阳模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则数列的前10项和为(　　)
[A]　25×210＋12 [B]　25×21
[C]　25×211＋12 [D]　25×211＋10
8．(2025·郴州模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)．若bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝________．
9．(2024·神木市开学考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝7，S4＝22，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，b1＝a1，b3＝a6．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：Tn<．
10．(2025·安徽模拟)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，其前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn<．
1/1课后习题(四十一)　数列求和(二)
1．B　[∵an＝＝，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋…＋＝．故选B．]
2．　[令Sn＝1＋＋…＋n·，①
Sn＝1×＋2×＋…＋n·，②
由①－②，得
Sn＝1＋＋…＋－n·
＝－n·
＝－n·，
∴Sn＝－n·
＝
＝．]
3．1 012＋1 013i　[设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋2 025i2 025，则iS＝i2＋2i3＋3i4＋…＋2 025i2 026，两式相减，得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i2 025－2 025i2 026＝－2 025i2 026＝＋2 025＝2 025＋i，故S＝＝＝1 012＋1 013i．]
4．解：　(1)设等差数列{an}的公差为d，由于a3＋a5＝18，S6＝48，
所以解得所以an＝2n＋1．
(2)由(1)得bn＝＝＝，
所以Tn＝＋…＋＝．
5．C　[因为an＝，所以＝＝，
所以S100＝＋…＋＝．故选C．]
6．BC　[在等差数列{an}中，S7＝＝7a4＝42，
解得a4＝6，而a2＝4，
因此公差d＝＝1，an＝a2＋(n－2)d＝n＋2，
对于A，a5＝7，A错误；
对于B，Sn＝＝n2＋n，B正确；
对于C，＝1＋为递减数列，C正确；
对于D，＝＝，
所以的前5项和为＋…＋＝＝，D错误．
故选BC．]
7．D　[依题意，a1＝1，an＋1＝，则an＞0，＝＝＋3，
所以数列是首项为＝1，公差为3的等差数列，
所以＝3n－2，所以＝(3n－2)·2n，
所以S10＝1×2＋4×22＋…＋28×210，
则2S10＝1×22＋4×23＋…＋28×211，
两式相减，得－S10＝2＋3×22＋3×23＋…＋3×210－28×211
＝2＋－28×211＝2＋3×22(29－1)－28×211＝－10－25×211，
所以S10＝25×211＋10．故选D．]
8．　[在数列{an}中，由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，得＝1，
因此数列是以＝1为首项，1为公差的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n2，
于是bn＝＝＝，
所以Sn＝＋…＋＝1－＝．]
9．解：　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q (q＞0)．
因为a3＝7，S4＝22，所以
解得
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝3n－2．
所以b1＝a1＝1，b3＝a6＝16，由于数列{bn}是各项均为正数的等比数列，则q＝4，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝b1qn-1＝1×4n-1＝4n-1．
(2)证明：由(1)知cn＝＝，
所以Tn＝＋…＋，①
Tn＝＋…＋，②
①－②，得Tn＝1＋＋…＋
＝1＋3×＝2－＝2－，
所以Tn＝．
又因为>0，所以Tn<．
10．解：　(1)当n≥2时，有2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，故an＝3an－1(n≥2)，
故数列{an}为等比数列，且公比q＝3，
又∵当n＝1时，2a1＝3a1－3，解得a1＝3，
∴an＝3n．
(2)证明：由题意及(1)知bn＝＝＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝＜．
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