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课后习题(四十二)　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
1．(苏教版必修第二册P155练习T4改编)如图，能推断出这个几何体是三棱台的是(　　)
[A]　A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
[B]　A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
[C]　A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
[D]　A1B1＝AB，B1C1＝BC，A1C1＝AC
2．(人教A版必修第二册P120习题8.3T8改编)在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是(　　)
[A]　π [B]　π
[C]　π [D]　π
3．(人教B版必修第四册P71练习BT6改编)如图，小蚂蚁的家住在长方体ABCD-A1B1C1D1的A处，小蚂蚁的奶奶家住在C1处，三条棱长分别是AA1＝1，AB＝2，AD＝3，小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到奶奶家C1的最短距离是(　　)
[A]　2 [B]　3
[C]　 [D]　
4．(人教A版必修第二册P116练习T3改编)鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装，如图1，这是一种常见的鲁班锁类玩具，图2是该鲁班锁类玩具的直观图．已知该鲁班锁类玩具每条棱的长均为1，则该鲁班锁类玩具的表面积为(　　)
[A]　2(6＋6) [B]　8＋8
[C]　2(6＋6) [D]　8＋8
5．(多选)(2024·江门月考)下列说法正确的是(　　)
[A]　圆台的轴截面一定是等腰梯形
[B]　用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台
[C]　将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得到的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成的
[D]　有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
6．(2024·保定期末)底面积是π，侧面积是2π的圆锥的体积是(　　)
[A]　π [B]　2π
[C]　 [D]　π
7．(2024·邯郸期末)如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，则该平面图形的高为(　　)
[A]　2 [B]　2
[C]　4 [D]　
8．(2024·丰城市期末)已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，其表面积为20＋12，则该正四棱台的体积为(　　)
[A]　 [B]　28
[C]　 [D]　14
9．(2025·江苏南通模拟)已知一个圆台的上、下底面半径分别为1 cm，2 cm，母线长为 cm，则该圆台的体积是________cm3．
10．(2025·湖北天门中学模拟)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2．
11．(2024·长春绿园区期末)如图，这是由一个半圆柱和一个长方体组合而成的几何体，其中AB＝AA1＝2，AD＝6．
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积．
12．(2024·哈尔滨香坊区期末)图1是一块正四棱台ABCD-A1B1C1D1的铁料，上、下底面的边长分别为20 cm和40 cm，O1，O分别是上、下底面的中心，棱台高30 cm．
(1)求正四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积；
(2)若将这块铁料最大限度地切削为一个圆台(如图2)，求削去部分与圆台的体积之比．
1/1课后习题(四十二)　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
1．C　[棱台的上、下底面相似且相似比不为1．
对于A，≠，故A不正确；
对于B，＝≠，故B不正确；
对于C，＝＝≠1，故C正确；
对于D，若＝＝＝1，则几何体A1B1C1-ABC不是三棱台，故D不正确．]
2．A　[如图，形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥．由题易知OA＝，OB＝1，所以旋转体的体积V＝π×OA2×(OC－OB)＝π×()2×＝π．]
3．B　[将长方体的部分表面展开，则从A点出发到C1点，有3条直线路线，如图1，2，3所示．
　　
图1中，AB＝2，BC1＝4，所以AC1＝＝2；
图2中，AC＝5，CC1＝1，所以AC1＝＝；
图3中，C1B1＝3，AB1＝3，所以AC1＝＝3．
而>2>3，所以小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到奶奶家C1的最短距离是3．]
4．A　[该鲁班锁类玩具可以看成是一个棱长为1＋的正方体截去8个正三棱锥剩下的部分，被截去的正三棱锥的底面边长为1，侧棱长为，余下的部分的表面积为正方体的表面积减去8个正三棱锥每个侧面(等腰直角三角形)的面积，再加上8个正三棱锥底面的面积，则该鲁班锁类玩具的表面积S＝6×(1＋)2—8×3×＋8××12＝2(6＋6)．故选A．]
5．AD　[圆台的轴截面是等腰梯形，故A正确；用平行于底面的平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台，用其他平面去截棱锥，不会得到一个棱锥和一个棱台，故B错误；将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆柱和两个圆锥组合而成的，故C错误；有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，符合棱柱的定义，故D正确．故选AD．]
6．D　[设圆锥的母线长为l，高为h，半径为r，
则S底＝πr2＝π，且S侧＝πrl＝2π，解得r＝1，l＝2，
所以h＝＝，所以圆锥的体积为πr2h＝π．
故选D．]
7．C　[在直角梯形O′A′B′C′中，O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，
显然∠A′O′C′＝45°，于是O′C′＝＝＝2，
直角梯形O′A′B′C′对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC，
BC∥OA，OC⊥OA，OA＝2BC＝4，OC＝2O′C′＝4，
所以该平面图形的高为4．故选C．]
8．B　[设正四棱台的斜高为h，高为H，
表面积为22＋42＋4×(2＋4)h＝20＋12，得h＝，
则侧棱长为＝，
正四棱台上、下底面的对角线长分别为2，4，
所以正四棱台的高H＝＝3，
所以正四棱台的体积V＝×(4＋＋16)×3＝28．
故选B．]
9．　[依题意，圆台的高h＝＝1(cm)，
所以圆台的体积为V＝π(12＋1×2＋22)×1＝(cm3)．]
10．2 600π　[将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面面积S＝×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2)．]
11．解：　(1)长方体的体积为2×2×6＝24，
半圆柱的底面积为π＝π＝，
半圆柱的体积为×AD＝×6＝3π，
所以该几何体的体积为24＋3π．
(2)长方体去掉上底面后的表面积为2×6＋2×2×2＋2×6×2＝44，
由(1)得半圆柱的底面积为，
半圆柱的侧面积为2π××6＝6π，
所以该几何体的表面积为44＋×2＋6π＝44＋7π．
12．解：　(1)如图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取B1C1，BC中点M，N，
连接O1M，ON，MN，过点M作MH⊥ON，垂足为点H，则O1O＝MH＝30 cm，O1M＝10 cm，ON＝20 cm，HN＝10 cm，
∴MN＝＝
＝10(cm)，
∴四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积S＝202＋402＋4××(20＋40)×10＝(2 000＋1 200)(cm2)．
(2)若要这块铁料最大限度切削为一个圆台，则圆台OO1的上、下底面圆与正四棱锥的上、下底面正方形相切，高为正四棱台的高，
圆台OO1的上底面圆半径O1Q＝10 cm，下底面圆半径OP＝20 cm，高O1O＝30 cm，
则圆台OO1的体积为V＝π(102＋202＋10×20)×30＝7 000π(cm3)，
又正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为V′＝＋402＋20×40)×30＝28 000(cm3)，
则削去部分的体积为V′－V＝(28 000－7 000π)cm3，
∴削去部分与圆台的体积之比为＝－1＝．
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