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北师大版（新课标）选择性必修第二册《第一章：数列》同步试卷
一、单选题：本题共12小题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若，，成等比数列，则公比为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列为等比数列，为数列前项积，且，，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
6.设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则( )
A. B. C. D.
7.我们把各项均为或的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列中的奇数换成，偶数换成，得到数列记的前项和为，则
A. B. C. D.
8.作边长为的正三角形的内切圆，再作这个圆的内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，则前个内切圆的面积之和为( )
A. B. C. D.
9.设数列的前项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“数列”对于命题：存在“数列”，使得数列为公比不为的等比数列；对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“数列”下列判断正确的是( )
A. 和均为真命题 B. 和均为假命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题
10.设数列的前项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“数列”对于命题：存在“数列”，使得数列为公比不为的等比数列；对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“数列”下列判断正确的是( )
A. 和均为真命题 B. 和均为假命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题
11.在等比数列中，，，，则数列的前项和为 ．
A. B. C. D.
12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是数列的前项和，则等于 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共6小题。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.已知，且成等差数列( )
A. 也成等差数列 B. 也成等差数列
C. D.
14.已知数列中，，，，其前项和为，则( )
A. B. C. D.
15.已知数列满足，的前项和为，则( )
A. B. 数列是等比数列
C. ，，构成等差数列 D. 数列前项和为
16.已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是
A. 是等差数列 B.
C. D. 满足的的最小正整数解为
17.在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
18.设函数，，给定下列命题，其中正确的是( )
A. 若方程有两个不同的实数根，则；
B. 若方程恰好只有一个实数根，则；
C. 若，总有恒成立，则；
D. 若函数有两个极值点，则实数
三、填空题：本题共6小题。
19.已知是，的等差中项，是，的等比中项，则 ．
20.已知数列满足，，则 ，数列的通项公式为 ．
21.为等比数列的前项和，若，则的最小值为 ．
22.设数列的前项和为关于数列有下列四个命题：
若既是等差数列又是等比数列，则；
若，则是等差数列；
若，则是等比数列；
若，则既是等差数列又是等比数列．
这些命题中，请写出所有真命题的序号 ．
23.一个等差数列中共有项，若该数列的前项和为，最后项和为，公差为，则 ，若是公比为的等比数列，且，求数列的前项和 ．
24.某软件研发公司计划对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑序列为，它的第项为，若序列的所有项均为，且，，则 记数列的前项之积为则使取得最大值的值为 ．参考数据：，
四、解答题：本题共6小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
25.已知数列满足，，，
Ⅰ证明：数列是等比数列；
Ⅱ求数列的通项公式．
26.已知数列的前项和为，．
求；
求．
27.已知为等差数列，为公比为的等比数列，且．
证明：
求集合中元素个数．
28.某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测，商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响．
用表示，并求使数列是等比数列的实数．
经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．
29．对于数列，若存在常数满足，则称为“上界数列”，为的“上界”，并把最小的值叫做“上界临界值”，记为记数列的前项和为，已知，．
Ⅰ判断是否为“上界数列”，并说明理由；
Ⅱ若，为数列的前项和，求数列的“上界临界值”；
Ⅲ若，数列的“上界临界值”为，证明：．
30.已知数列与的前项和分别为和，且对任意，，恒成立．
若，，求；
若对任意，，都有及成立，求正实数的取值范围；
若，，是否存在两个互不相等的整数，，使，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】对任意的，都有，
令，可以得到，
因此是公差为的等差数列；
若，此时数列为等差数列，
则，，，
可得，
故“对任意的，都有”是“ 是等差数列”的充分不必要条件．
故选：．
2.【答案】
【解析】，，成等比数列，
，即，
，
公比为，
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质和等差数列前项和的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由等差数列的性质可得：，，，成等差数列，结合已知数据以及等差中项的性质即可得出的值．
【解答】
由等差数列的性质可得：，，，成等差数列，
，解得，
，
，，成等差数列，可得，解得．
故选：．
4.【答案】
【解析】由题意，数列为等比数列，为数列前项积，
，
，
则，
可得．
故选B．
5.【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
则，
解得，
所以 ．
故选D．
6.【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由题意可得：，
所以，，
所以．
故选D．
7.【答案】
【解析】
因为，，，则，
所以当为奇数时，为偶数；当为偶数时，为奇数．
所以
故，
所以．
故选C．
8.【答案】
【解析】设第个正三角形的内切圆半径为，第个正三角形的边长为，
可知正三角形内切圆半径是正三角形边长的，
又半径为的圆内接三角形的边长满足，
即，
所以，，
即从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，
每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
设前个内切圆的面积和为，则，
故选B．
9.【答案】
【解析】
对于，取数列
则，
时首项，公比的等比数列，并且对任意，都有，即是数列中的第项，所以为真命题；
对于，任意的实数，取，则，，即是数列中的第项，所以此数列是“数列”，也为真命题．
故选A．
10.【答案】
【解析】对于，取数列
则，
时首项，公比的等比数列，并且对任意，都有，即是数列中的第项，所以为真命题；
对于，任意的实数，取，则，，即是数列中的第项，所以此数列是“数列”，也为真命题．
故选A．
11.【答案】
【解析】在等比数列中，，，，
公比满足，解得舍负．
又故，
数列的通项公式为，
故数列为首项为，公差为的等差数列．
数列的前项和为．
故选：．
12.【答案】
【解析】，，成等比数列，，，
化为，解得．
则．
故选：．
13.【答案】
【解析】因为，所以，选项正确；
因为，所以，选项正确；
因为，所以，选项正确；
设成等差数列，得出，
若成等差数列，
则，
已知矛盾，选项错误．
故选：．
14.【答案】
【解析】由，两边除以，得，
故是公差为的等差数列，
已知，则，由等差数列通项公式，
故，
，A正确；
，B正确；
，而，故不成立，C错误；
， D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】对于，已知，
当时，将代入得到，故选项A正确；
对于，已知，
当时，有
用式：，
所以可得，
当时，也满足，
因为，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，不是等比数列，故选项B错误
对于，，
，
，
则，
所以，，不构成等差数列，故选项C错误；
对于，因为，所以，
所以的前项和为：，故D正确．
故选AD．
16.【答案】
【解析】因为，
当时，，
又是正项数列的前项和，解得，
当时，，即，整理得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
则，
又正项数列的前项和为，所以，故A正确
当时，，
当时，满足，
所以，
，
因为，
所以，即，故B错误
要证，由，即证，令，
原不等式即为，即证，
令，所以，
当时，恒成立，所以在单调递增，
则当时，，即成立，所以成立，故C正确
因为，所以，
则 ，
当时，，故时不等式不成立；
当时，
，
因为，即，化简整理得：，
当时，，
当时，，
综上得满足的的最小正整数解为，故 D正确．
故选ACD．
17.【答案】
【解析】 设等比数列的公比为，，
，，
或
因数列递增，所以
故A错误；
，
，故C正确；
，故数列是等比数列，故 B正确；
，
，
故数列是公差为的等差数列，故 D错误．
故答案选：．
18.【答案】
【解析】对于，的定义域为，，
令，得到，令，得到，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，且当时，，
又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，
所以，故A正确；
对于，易知不是该方程的根，
当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，
，又且，
令，有，令，有或，
所以函数在和单减，在单增，是一条渐近线，极小值为．
由大致图象可知或，故B错；
对于， 当时，恒成立，
等价于恒成立，即函数在上为增函数，
所以恒成立，即在上恒成立，
令，则，
令得，令得，
从而在上单调递增，在上单调递减，
则，于是，故C正确；
对于，函数有两个极值点，即 有两个不同极值点，
等价于有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根，
由可知：，即，则D正确．
故正确命题为，
故选ACD．
19.【答案】
【解析】由题设可知：
由是，的等差中项，则，
是，的等比中项，则，
则有可知：，
，，
则将式变形得：，
即，
则．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】
，
即，两式相乘得．
，，，，，
个式子相乘得
，又，
故．
故答案为；．
21.【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
由于，，，
所以，
整理得：，即，则，
由题意知公比，则由等比数列的性质得：，，成等比数列，
所以，
因为，所以，
所以，
由，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
22.【答案】
【解析】 若既是等差数列又是等比数列，设其前三项分别为：，，为公差，则，解得，因此，正确；
由，可得，又当时，，故，是首项为，公差为的等差数列，正确；
若，则，时，，为等比数列，首项为，公比为，因此正确；
若，数列不是等比数列．
这些命题中，真命题的序号是．
故答案为．
23.【解析】由题意得，
，，即，，
又因为公差，可代入，
可得出，
是公比为的等比数列，且，，
所以，，
又因为，所以，，
解得，
所以，
所以数列的前项和为．
故答案为：；．
24.【解析】的第项为，第项为，则的第项为．
则为等比数列，由，，则公比，所以；．
由 ，单调递减，且，
令，则，即，
即，故，．
则取得最大值时，的值为．
故答案为：；．
25.Ⅰ证明：，
，
，
，，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
Ⅱ由Ⅰ得，
，，
当时，也满足上式，
故
26.【解析】因为，
在中令，得，于是，
由，得；
在中令，得，于是，
由，，得；
当时，用代中的得，
由得，
又当时，，
故当时，，
所以
．
27.【解析】设等差数列公差为
由，知，故
由，知，
故故，整理得，得证．
由知，由知：
即，即，
因为，故，解得，
故集合中元素的个数为个．
28.【解析】由题意知，经过次技术更新后，
，
则 ，
，
．
即．
设，
则，
令，
解得．
又，
所以当时，
是以为首项，为公比的等比数列．
由可知，
则，．
所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为．
对于任意，
所以，
即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上．
29.【解析】因为，
当时，，
两式相减，得，
又因为，所以，
又当时，，得，所以，
因为随着的增大而增大，
所以不存在常数满足，
所以数列不是“上界数列”；
由可知，
所以，
，
，得，
所以，
易得，且当时，，
故；
Ⅲ由可知，
又，
所以，即的一个上界为，根据的定义知．
30.【解析】，，
时，，
时也成立，．
对任意，，恒成立，
，
又，数列是等差数列，公差为，首项为，
由，可得，
数列是等比数列，公比为，
，．
，
成立，
，．
由题意知，
时，
．
当时也成立，
．
又，
．
假设存在两个互不相等的整数，，
使，，成等差数列，
等价于，，成等差数列，
，
，即，
令，
则，
严格增，
若，则，不满足条件，舍去，
，代入得：，
可得，
时不满足条件，舍去，
时，令，
同理可得函数严格增，
，不满足条件．
综上可得：不存在两个互不相等的整数，，使，，成等差数列．
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