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运城市2024-2025学年第二学期期末调研测试高一数学试题
2025.7
本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，其中为虚数单位，则（ ）
A.1 B. C.2 D.
2.从这10个数中随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为1的概率是（ ）
A. B. C. D.
3.设向量，则与的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
4.甲 乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.7，乙中靶的概率为0.8，则事件“恰好有一人中靶”的概率为（ ）
A.0.56 B.0.62 C.0.38 D.0.44
5.是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
6.已知正四棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（ ）
A. B.1 C.2 D.3
7.在边上为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，分別沿折起，使三点重合于点.则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.1
8.已知边长为2的菱形中，点满足，则（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.一组数据，满足，若去掉后组成一组新数据，则新数据与原数据相比（ ）
A.极差变小 B.平均数变小
C.第25百分位数变小 D.方差变小
10.已知是随机事件，则下列结论不正确的是（ ）
A.互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
B.事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大
C.事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小
D.若是两个随机事件，且，则
11.已知在三棱锥中，，平面平面.若点分别为的中点，点为三棱锥表面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A.若点在棱上，则的最小值为
B.若，则点的轨迹长度为
C.若，则点的运动轨迹为两个半圆弧
D.三棱锥的外接球的体积为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设是坐标原点，向量与对应的复数分别为，那么向量对应的复数为__________.
13.如图，三棱柱中，侧面是菱形，侧面是正方形，，点是的中点，二面角平面角的大小为，则的长为__________.
14.在锐角三角形中，著，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量（单位：），并绘制频率分布直方图如图：
（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求（在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求），请问每天应该进多少千克苹果（精确到整数位）？
16.（15分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，各棱长均为为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面
17.（15分）在中，内角所对的边分别为.已知.
（1）求；
（2）若为边上一点，且，求.
18.（17分）甲 乙 丙 丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：
第一轮 甲VS乙 丙VS丁
第二轮 甲VS丙 乙VS丁
第三轮 甲VS丁 乙VS丙
规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲 乙 丙三支球队水平相当，彼此间胜 负 平的概率均为，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜 负 平的概率都分别为.每场比赛结果相互独立.
（1）（i）求丁的总分为7分的概率；
（ii）判断此时丁能否出线，并说明理由；
（2）若第一轮比赛结束，甲 乙 丙 丁四支球队积分分别为，求丁以6分的成绩出线的概率.
19.（17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中.
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离；
（3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度.
高一数学试题答案
一 单项选择题
1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C
二 多项选择题
9.AD 10.BCD 11.ACD
三 填空题
12. 13.1 14.
四 解答题
15.解：（1）由图可知：区间频率最大，所以众数为85；
平均数为：
；
（2）设每天进苹果的数量为千克，
日销售量在的频率为：，
日销量在的频率为：，
所以，
所以，
解得：，故每天应该进98千克苹果.
16.解：（1）设，连接，可知为的中点，
因为为的中点，则，
且平面平面，
所以平面.
（2）因为，且为的中点，则，
又因为平面平面，则，
且平面，
则平面，
由平面，
平面平面.
注：也可用空间向量的坐标运算证明.
17.解：（1），
由正弦定理可得：，
即，
由余弦定理可得：，
；
（2）在中，，
所以.
由，可得，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，即，
，
.
18.解：（1）（i）记第i轮比赛丁胜 平 负的事件分别为，每场比赛结果相互独立，丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，记丁三轮比赛两胜一平的事件为，
（ii）丁总分7分一定出线.
理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多6分，小组赛两队出线，所以丁一定出线.
注：简明扼要写出理由即可.
（2）第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁，又丁总分为6分，则丁对战甲 乙都获胜，此时，乙队总分最多3分，少于
丁队总分，
（1）第二轮中若甲负于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分，此时甲 乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率（若分两种情况，则每种情况各1分）；
（2）第二轮中若甲胜丙 第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分，此时丙 乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率（若分两种情况，则每种情况各1分）；
（3）第二轮中若甲胜丙时 第三轮中丙胜乙时，甲 丁 丙队总分均为6分，此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线概率为，
丁队出线的概率；
综上，丁以6分出线的概率为.
19.（1）由离散曲率的定义得：
，
，
所以；
（2）由平面平面，得，
又平面，则平面，
由平面，得，即，
又，
即，解得，
过点A作于点，由平面平面，得，
又平面，则平面，
因此点A到平面的距离为线段的长，在中，，
所以点A到平面的距离为.
（3）方法一：过点作交于点，连接，
由平面，得平面，则为直线与平面所成的角，
依题意，，
设，
则，
在，
由，得，
因此，
解得或，因为，所以.
方法二：由（2）知，平面平面，过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得：，
所以，，
设，则，
设与平面所成的角为，因为，所以，
设平面的法向量，
则，
解得：或（舍），
所以，所以.

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