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(共52张PPT)
2026年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(三)
单元检测(一)
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√
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．＝(　　)
A．－i B．i
C．－1 D．1
C　[因为＝－i，
所以＝(－i)2＝i2＝－1．故选C．]
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2．已知全集U＝R，A＝{x||x|>1}，B＝{x|log2x<1}，则( UA)∩B＝(　　)
A．(0，1] B．[1，2)
C．[－1，1] D．[－1，2)
A　[因为全集U＝R，集合A＝{x||x|>1}＝{x|x<－1或x>1}．
所以 UA＝{x|－1≤x≤1}，
又集合B＝{x|log2x<1}＝{x|0所以( UA)∩B＝(0，1]．故选A．]
√
√
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3．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，|PQ|＝6，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝6x D．y2＝8x
B　[设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意知＝2，即x1＋x2＝4．
又|PQ|＝x1＋x2＋p＝6，得p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x．故选B．]
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4．已知{an}是等比数列，且a2a7＝－a8＝－4a4，则a3＝(　　)
A．－ B．±
C．－2 D．±2
C　[法一：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2a7＝－a8＝－4a4，
∴q7＝－a1q7＝－4a1q3．
∵a1≠0，∴a1＝－1，q2＝2，
∴a3＝a1q2＝－2，故选C．
法二：由等比数列的性质可得a2a7＝a1a8＝－a8，
∵an≠0，∴a1＝－1，同理a2a7＝a4a5＝－4a4，
∴a5＝－4，又a1a5＝＝4，a1，a3，a5同号，
∴a3＝－2，故选C．]
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5．已知二项式的展开式中x2的系数是280，则实数a的值等于(　　)
A．1 B．2
C．±1 D．±2
C　[二项式的展开式的通项Tk＋1＝＝27-k·x14-3k，令14－3k＝2，解得k＝4，所以23·＝280，解得a＝±1．故选C．]
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6．已知变量x和y的统计数据如表：
x 1 2 3 4 5
y 0.9 1.3 1.8 2.4 3.1
若x，y线性相关，经验回归方程为＝0.55x＋，据此可以预测当x＝10时，y＝(　　)
A．5.75 B．7.5
C．7.55 D．8
A　[由题意可知，×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，×(0.9＋1.3＋1.8＋2.4＋3.1)＝1.9，
因为经验回归直线＝0.55x＋过点，所以1.9＝0.55×3＋，
解得＝0.25，所以＝0.55x＋0.25，当x＝10时，＝5.75．故选A．]
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7．已知O是△ABC所在平面内一点，且＝2，＝1，则∠ABC的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
B　[根据＝1可得＝·＝2＝2，解得＝，在△ABC中，由正弦
定理可知，即sin ∠ABC＝sin ∠ACB≤．因为
<2，即AC∠ABC的最大值为．故选B．]
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8．已知定义域是R的函数f (x)满足对于任意x，y∈R都有f (xy＋1)＝
f (x)f (y)－2f (x)－2y＋3，且f (0)＝2，则＝(　　)
A． B．
C． D．
C　[因为f (xy＋1)＝f (x)f (y)－2f (x)－2y＋3，且f (0)＝2，所以令x＝y＝0，得f (1)＝[f (0)]2－2f (0)－2×0＋3，所以f (1)＝3．令x＝n，y＝1，得f (n＋1)＝f (n)f (1)－2f (n)－2×1＋3，即f (n＋1)＝f (n)＋1，所以数列{f (n)}(n∈N*)是以3为首项，1为公差的等差数列，则f (n)＝3
＋1×(n－1)＝n＋2．所以，所以．故选C．]
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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．BC1∥平面AQP
B．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形
C．A1D⊥平面AQP
D．异面直线QP与A1C1所成的角为60°
√
√
ABD　[对于选项A：依题意得BC1∥PQ，PQ 平面AQP，BC1 平面AQP，
所以BC1∥平面AQP，故A正确；
对于选项B：平面AQP截正方体所得截面
为四边形APQD1，
因为AD1∥PQ，且AD1≠PQ，又AP＝D1Q，
所以四边形APQD1为等腰梯形，故B正确；
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对于选项C：若A1D⊥平面AQP，则A1D⊥AP，由A1A⊥平面ABCD得A1A⊥AP，且A1D∩A1A＝A1，
所以AP⊥平面ADD1A1，显然矛盾，故C错误；
对于选项D：因为BC1∥PQ，所以∠A1C1B是异面直线QP与A1C1所成的角，
由△A1C1B为等边三角形可知∠A1C1B＝60°，故D正确．故选ABD．]
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10．已知函数f (x)＝ln x－，则(　　)
A．f (x)的定义域为(0，＋∞)
B．f (x)的图象在点(2，f (2))处的切线斜率为
C．F ＋f (x)＝0
D．f (x)有两个零点x1，x2，且x1x2＝1
√
√
BCD　[因为f (x)＝ln x－，所以解得x>0且x≠1，
所以函数f (x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，所以A错误；
f (x)＝ln x－＝ln x－1－，
所以f ′(x)＝，所以f ′(2)＝，所以B正确；
f ＋f (x)＝ln ＋ln x－＝－ln x－＋ln x－＝0，
所以C正确；
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因为f ′(x)＝>0，所以函数f (x)在(0，1)和(1，＋∞)上单调递增，又f －ln 8<0，f ＝3－ln 2>0，f (2)＝ln 2－3<0，f (8)＝ln 8－＝f (x2)＝0，因为f (x)＋f ＝0，所以＝0，得f ＝0，所以f ＝0，因为x1∈(0，1)，所以>1，又x2∈(1，＋∞)，且f (x)在(1，＋∞)上单调递增，所以＝x2，即x1x2＝1，所以D正确．故选BCD．]
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11．在平面直角坐标系中，A(－2，0)，动点P满足|PA|＝，得到动点P的轨迹是曲线C．则下列说法正确的是(　　)
A．曲线C的方程为(x－2)2＋y2＝8
B．若直线y＝kx＋4与曲线C有公共点，则k的取值范围是
C．当O，A，P三点不共线时，若点D，则射线PD平分∠APO
D．过曲线C外一点(a－4，a)作曲线C的切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点
√
√
ACD　[设点P(x，y)，由|PA|＝，得(x＋2)2＋y2＝2(x2＋y2)，化简得x2＋y2－4x－4＝0，即曲线C的方程为(x－2)2＋y2＝8，所以A正确；
曲线C的轨迹为圆，且该圆的圆心为C(2，0)，半径为2，若直线y＝kx＋4与曲线C有公共点，则，化简得k2－4k－2≥0，解得k≤2
－或k≥2＋，所以B错误；
由题意可知点P满足，因为D，A(－2，0)，所以，所以，又O，P，A
三点不共线，所以射线PD平分∠APO，所以C正确；
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设E(a－4，a)，连接EC(图略)，则E，M，N，C四点共圆，且该圆以EC为直径，所以过点E，M，N，C的圆的方程为(x－a＋4)(x－2)＋(y－a)y＝0，化简得x2＋y2＋(2－a)x－ay＋2a－8＝0，又圆C的方程为x2＋y2－4x－4＝0，直线MN即两圆的公共弦所在的直线，所以直线MN的方程为(6－a)x－ay＋2a－4＝0，即(6x－4)－a(x＋y－2)＝
0，由得所以直线MN过定点，
所以D正确．故选ACD．]
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．数列{an}满足an＋2－an＝2，若a1＝1，a4＝4，则数列{an}的前20项的和为________．
210
210　[由题意知，{a2k－1}和{a2k}(k∈N*)均为以2为公差的等差数列，an＋2－an＝2，令n＝2，得a4－a2＝2，又a4＝4，∴a2＝2，∴数列{an}的前20项和S20＝a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝10a1＋×2＝210．]
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13．若f (x)＝在R上单调递减，则a的取值
范围为________．
　
　[因为f (x)＝
在R上单调递减，
所以
解的，即a的取值范围为．]
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14．已知函数f (x)＝sin ωx(ω＞0)，若 x1，x2∈，f (x1)＝－1，
f (x2)＝1，则实数ω的取值范围是______________．
　[因为x∈，ω>0，所以ωx∈，则由题意知解得
　
对于②：当k＝－1时，不等式不成立，
当k＝0时，ω＝；
当k＝1时，≤ω≤；
当k＝2时，≤ω≤；
当k＝3时，≤ω≤；
……
①②求交集，得ω＝或ω≥.]
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin B＝－b cos A，角A的平分线交边BC于点D，且AD＝1．
(1)求∠BAC的大小；
(2)若BC＝2，求△ABC的面积．
[解]　(1)因为a sin B＝－b cos ∠BAC，
所以由正弦定理可得sin ∠BAC sin B
＝－sin B cos ∠BAC，
因为sin B≠0，所以sin ∠BAC＝－cos ∠BAC，
故tan ∠BAC＝－，又0°<∠BAC<180°，
所以∠BAC＝120°．
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(2)由题意可知S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，即c sin 60°＋b sin 60°＝bc sin 120°，化简可得b＋c＝bc．
在△ABC中，由余弦定理的推论得cos ∠BAC＝，
从而，解得bc＝5或bc＝－4(舍去)，
所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝×5×sin 120°＝．
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16．(15分)已知函数f (x)＝ln x＋eax－ax(a∈R)．
(1)若曲线y＝f (x)在x＝1处的切线的斜率为1，求该切线方程；
(2)讨论函数f (x)的单调性．
[解]　(1)由题意知，f ′(x)＝＋aeax－a，
则f ′(1)＝1＋aea－a．
因为曲线y＝f (x)在x＝1处的切线的斜率为1，
所以f ′(1)＝1，即1＋aea－a＝1，即a(ea－1)＝0，
所以a＝0或ea＝1，
因此a＝0，f (x)＝ln x＋1，f (1)＝1，
所以曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0．
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(2)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝＋aeax－a＝＋a(eax－1)．
若a＝0，则f ′(x)＝>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，ea>1，eax＝(ea)x>(ea)0＝1，于是eax－
1>0，a(eax－1)>0，＋a(eax－1)>0，即f ′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a<0，则当x∈(0，＋∞)时，0－1<0，a(eax－1)>0，＋a(eax－1)>0，即f ′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调
递增．
综上，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
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17．(15分)如图，在三棱锥D-ABC中，AB＝AD＝BD＝3，AC＝7，BC＝CD＝5．
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)若E是线段CD上的点，且，
求平面ABE与平面ABC夹角的正切值．
[解]　(1)证明：在△ACD中，cos ∠CAD＝，
∴∠CAD＝45°．
过点D作DO⊥AC于点O，连接BO，则DO＝AD·sin 45°＝3．
∵AB＝AD，CD＝CB，∴△ABC≌△ADC，即OB＝OD＝3，
又BD＝3，∴OB2＋OD2＝BD2，∴OD⊥OB．
又OD⊥AC，OB∩AC＝O，∴OD⊥平面ABC．
又OD 平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．
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(2)由(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则A(3，0，0)，B(0，3，0)，D(0，0，3)，C(－4，0，0)，
∴＝(－3，3，0)，
∵，∴E，
∴．
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设n＝(x，y，z)是平面ABE的法向量，
则即
令x＝1，则y＝1，z＝8，可得n＝(1，1，8)为平面ABE的一个法向量．
易知m＝(0，0，1)是平面ABC的一个法向量，
题号
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设平面ABE与平面ABC的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，
又sin2θ＋cos2θ＝1，
∴sin θ＝，
可得tan θ＝，
∴平面ABE与平面ABC夹角的正切值为．
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18．(17分)某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如表：
单位：人
学生群体 关注度 合计
关注 不关注
大学生 n n
高中生
合计
附：
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
(1)完成上述列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n的最小值；
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(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．
已知小华同学答出三个问题的概率分别是，小华回答三个
问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？(说明理由)
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[解]　(1)补全列联表如表所示．
单位：人
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学生群体 关注度 合计
关注 不关注
大学生 n n n
高中生 n n n
合计
零假设为
H0：关注航天事业发展与学生群体无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝．
因为依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，
所以χ2＝≥3.841，解得n≥30.25，
又由题可知，n是10的倍数，∴nmin＝40．
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(2)记小华同学答出三个问题的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
记选择方案一晋级的概率为P1，
则P1＝P＋P＋P＋P(ABC)＝．
记选择方案二晋级的概率为P2，
则P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＝．
因为P1>P2，所以小华选择方案一晋级的可能性更大．
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19．(17分)已知抛物线H：x2＝2py(p为常数，p>0)．
(1)若直线l：y＝kx－2pk＋2p与H只有一个公共点，求k；
(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学家卡斯特里奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了卡斯特里奥算法，这个算法的一个应用为：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出抛物线．据此算法，已知抛物线上三点对应的切线，
也有相应成比例的结论．如图所示，A，B，C是H上不
同的三点，此三点处的三条切线两两交于点D，E，
F，证明：．
[解]　(1)将y＝kx－2pk＋2p代入x2＝2py中，得关于x的一元二次方程x2－2pkx＋4p2(k－1)＝0，
由题意知Δ1＝4p2k2－4(4p2k－4p2)＝0，化简得k2－4k＋4＝0，解得k＝2．
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(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，E(xE，yE)，F (xF，yF)，设抛物线x2＝2py在点A处的切线方程为y－yA＝kA(x－xA)，
由消去y得关于x的一元二次方程x2－2pkAx＋
2pkAxA－2pyA＝0，
则Δ2＝－4(2pkAxA－2pyA)＝－8pkAxA＋8pyA＝0，化简得
－2xAkA＋2yA＝0，故＝0，得kA＝，
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故在点A处的切线方程为y－yA＝(x－xA)，化简得2py＝2xAx－．
同理可得抛物线在点B，C处的切线方程分别为2py＝2xBx－．
将在点A，B，C处的切线方程两两联立，可得xD＝，
则，同理可得．
故．
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谢 谢 ！

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