资源简介 (共54张PPT)第七章 立体几何与空间向量思维进阶9 球的切、接、截问题球的切、接、截问题是历年高考的热点内容,一般以客观题的形式出现,考查空间想象能力、计算能力.其关键是利用转化思想,把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体的切、接问题来解决.题型一 球的截面问题球的截面有关性质解决球的截面问题抓住以下几个方面:(1)球心到截面圆的距离;(2)截面圆的半径;(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为:R2=d2+r2.[典例1] (2024·临沂质检)在半径为6的球的内部有一点,该点到球心的距离为4,过该点作球的截面,则截面面积的最小值是( )A.11π B.20πC.32π D.27π√B [设球心为O,内部点为D,则截面与OD垂直时,截面圆的半径最小,相应的截面圆的面积有最小值.因为半径为6的球的内部有一点,该点到球心的距离为4,所以截面与OD垂直时,截面圆的半径为=,所以截面面积的最小值为20π.故选B.]反思领悟 球的截面问题关键是利用球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r构建方程求解.巩固迁移1 已知球O与正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面相切,平面ACB1截球O所得的截面的面积为,则正方体棱长为( )A. B.C.1 D.2√D [设正方体棱长为2a,则球O的半径为a,∵平面ACB1截此球所得的截面的面积为,∴截面圆的半径为,由题意,球心O与B的距离为×2a=a,设球心O、点B到平面ACB1的距离分别为d,h,由等体积法=可得h=a,所以d=a,∴a2=+,∴a=1,即正方体棱长为2a=2.故选D.]题型二 柱体与球1.正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点.球的直径等于球的内接长方体的体对角线长.结论:(1)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形:①球内切于正方体,此时2R=a;②球与正方体的棱相切,此时2R=a;③球外接于正方体,此时2R=a.(2)若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,则外接球的半径是.2.正三棱柱的外接球球心到正三棱柱两底面的距离相等,正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心.R2=+.3.圆柱的外接球R=(R是圆柱外接球的半径,h是圆柱的高,r是圆柱底面圆的半径).[典例2] (1)(2025·合肥模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上,且∠BAC=,AA1=BC=2,则球O的体积为( )A.4π B.8π C.12π D.20π(2)(2025·湛江模拟)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上,且过一个顶点的三条棱长分别为 1,2,3,则此球的表面积为________.√14π(1)A (2)14π [(1)在底面△ABC中,由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径为r===,则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为R===,则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为πR3=4π.故选A.(2)长方体外接球直径等于长方体体对角线长,设外接球半径为R,则2R==,所以球的表面积 S=4πR2=14π.]链接·2025高考试题(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为________cm.2.5 [设铁球半径为r cm,若两个铁球的球心在竖直方向上,且分别与两个底面相切,则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r,此时铁球的半径为 cm.2.5当两球球心不在竖直方向上时,设两个铁球的球心分别为O1,O2,此种情况下,当铁球半径最大时,如图1所示,圆柱与两铁球的轴截面如图2所示,其中ABCD为圆柱的轴截面,O2P⊥AB,O1P⊥AD,则有O2P=9-2r,O1P=8-2r,O1O2=2r,则有(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2,即4r2-68r+145=0,即(2r-29)(2r-5)=0,解得r1=14.5(舍去)或r2=2.5.因为2.5>=2.25,所以铁球半径的最大值为2.5 cm.]反思领悟 直棱柱外接球半径R=,其底面外接圆半径r可利用正弦定理求解.巩固迁移2 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,且所有顶点都在同一个球面上,若AA1=AC=2,AB⊥BC,则此球的体积为________.π [设△ABC的外接圆的圆心为D,半径为r,球的半径为R,球心为O,底面△ABC为直角三角形,故其外接圆圆心D在斜边AC中点处,则r=1,又OD=AA1=1,在Rt△OCD中,R==,所以V球=πR3=π.]π 题型三 锥体与球1.正棱锥与球(1)内切球:V正棱锥=S表·r=S底·h(等体积法),r是内切球半径,h为正棱锥的高.(2)外接球:外接球球心在其高上,底面正多边形的外接圆圆心为E,半径为r,R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R,高为h).2.正四面体的外接球、内切球若正四面体的棱长为a,高为h,正四面体的外接球半径为R,内切球半径为r,则h=a,R=a,r=a,R∶r=3∶1.3.圆锥的外接球R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径,h是圆锥的高,r是圆锥底面圆的半径).[典例3] (多选)(2024·钦州期末)已知三棱锥P-ABC的底面ABC是直角三角形,PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,则( )A.三棱锥P-ABC外接球的表面积为12π B.三棱锥P-ABC外接球的表面积为48πC.三棱锥P-ABC内切球的半径为D.三棱锥P-ABC内切球的半径为√√AC [由题意可知AB,AC,AP两两垂直,且PA=AB=AC=2,∴三棱锥P-ABC外接球的半径R满足(2R)2=AB2+AC2+AP2=12,∴三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2=12π,∴A选项正确,B选项错误;由题意可得三棱锥P-ABC的体积V=×2×2×2=,三棱锥P-ABC的表面积S=×2×2×3+×(2)2=6+2,设三棱锥P-ABC内切球的半径为r,根据等体积法可得V=Sr,∴r===,∴C选项正确,D选项错误.故选AC.]反思领悟 本例根据分割补形法,三棱锥的体积公式,等体积思想逐一求解即可.巩固迁移3 (2024·攀枝花期末)正四面体S-ABC外接球的体积为π,则其内切球的表面积为_______. [如图所示,将正四面体S-ABC放入棱长为a的正方体中,则其外接球的半径为R=,所以外接球的体积为V=πR3=π·=a3=π,解得a=, 所以正四面体的棱长SA=a=2,设其内切球的半径为r,由等体积法,得Sr=a3-4··a2·a==,其中S为正四面体的表面积,所以S=4··(a)2=4,所以r=,其内切球的表面积为4πr2=4π·=.]【教用·备选题】1.(2024·菏泽期末)建盏是福建省南平市建阳区的特产,是中国国家地理标志产品,其多是口大底小,底部多为圈足且圈足较浅(如图所示),因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台O1O2,已知该圆台的上、下底面积分别为16π cm2和9π cm2,高超过1 cm,该圆台上、下底面圆周上的各个点均在球O的表面上,且球O的表面积为100π cm2,则该圆台的体积为( )A.80π cm3 B. cm3C. cm3 D.87π cm3√B [设球O的半径为R cm,圆台上、下底面分别为圆O1,O2,则根据题意可得4πR2=100π,∴R=5,∴OO2==4(cm),同理可得OO1=3 cm,∵圆台的高超过1 cm,∴该圆台的高为7 cm,∴该圆台的体积为×(9π+16π+12π)×7=(cm3).故选B.]2.(2025·丰城市模拟)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面APB⊥底面ABCD,∠APB=120°,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为( )A.40π B.28πC. D.16π√B [依题意AB=2,∠APB=120°,设△APB外接圆的半径为r,四棱锥P-ABCD的外接球的半径为R,则2r===4,即r=2,又侧面APB⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,侧面APB∩底面ABCD=AB,AB⊥AD,AD 平面ABCD,所以AD⊥平面PAB,所以R===,所以四棱锥P-ABCD的外接球的表面积S=4πR2=28π.故选B.]3.(2025·无锡模拟)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16πC.9π D.√A [如图所示,设球半径为R,正四棱锥的底面中心为O′且球心为O,∵正四棱锥P-ABCD中AB=2,∴AO′=.∵PO′=4,∴在Rt△AOO′中,AO2=AO′2+OO′2,∴R2=()2+(4-R)2,解得R=,∴该球的表面积为4πR2=4π×=.故选A.]4.(2025·贵阳观山湖区模拟)已知△ABC的顶点都是球O的球面上的点,AB=2,∠ACB=90°,∠BAC=30°,若三棱锥O-ABC的体积为,则球O的表面积为______.36π36π [∵△ABC的顶点都是球O的球面上的点,AB=2,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=1,AC=,∴△ABC的面积为×1×=,其△ABC的外接圆的半径r==1,设球心O到平面ABC的距离为h,球O的半径为R,则三棱锥O-ABC的体积为×h=,∴h=2,∴R2=r2+h2=1+8=9,∴球O的表面积为4πR2=36π.]5.(2024·南京金陵中学月考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为________.61π61π [如图所示,下底面半径为5,球的直径为10.则球心在下底面上,OC=OB=5,O′C=4,∠OO′C=,则圆台的高为3,V=h(S上++S下)=16π+20π+25π=61π.]6.(2025·临川模拟)中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中,称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BC,若CD=1,AC=,且顶点A,B,C,D均在球O上,则球O的表面积为________.6π6π [由题意可知,球O为鳖臑ABCD的外接球,∵AB⊥平面BCD,BD,CD 平面BCD,∴AB⊥BD,AB⊥CD,又CD⊥BC,AB,BC 平面ABC,AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC,又AC 平面ABC,∴CD⊥AC.取AD的中点E,连接BE,CE,∵AB⊥BD,∴BE=AE=DE,同理可知:CE=AE=DE,∴点E与球O的球心O重合,球O的半径R=AD==,∴球O的表面积S=4πR2=6π.]进阶训练(九) 球的切、接、截问题1.(2024·白银靖远县校级期末)若棱长为a的正方体的内切球的表面积为16π,则a=( )A.2 B.4C. D.2√题号135246879B [设内切球的半径为r(r>0),由球的表面积为S=4πr2=16π,得r2=4,所以r=2,又球内切于正方体,所以正方体的棱长等于球的直径,则a=2r=4.故选B.]√题号1352468792.(2025·西安莲湖区模拟)已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同一个表面积为20π的球面上,该圆柱的体积为( )A.8π B.6πC.5π D.4π题号135246879D [球的表面积为4πR2=20π,可得其半径为R=,圆柱的底面半径为r=1,在轴截面中,可知圆柱的高为h=2=4,所以圆柱的体积为πr2h=4π.故选D.]题号1352468793.(2024·南宁良庆区期末)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=5,AC=3,BC=4,PB为球O的直径,PB=10,则这个三棱锥的体积为( )A.30 B.15C.10 D.5√题号135246879C [如图所示,由条件△ABC为直角三角形,则斜边AB的中点O1为△ABC的外接圆的圆心,连接OO1得OO1⊥平面ABC,OO1==,∵OO1∥PA,PA=2OO1=5,∴PA⊥平面ABC,∴三棱锥的体积为×3×4×5=10.故选C.]题号1352468794.(2024·泉州鲤城区期末)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1,BC=,球O的体积为π,则该三棱柱的体积为( )A. B.1C. D.3√题号135246879A [设△ABC外接圆的半径为r,因为AB=AC=1,BC=,由余弦定理可得,cos A==-,因为0°由正弦定理可得,2r==2,即r=1,因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上,球O的体积为π=,即球的半径R=2,由直三棱柱和球的性质可知,R2=r2+,即4=1+,所以AA1=2,故该三棱柱的体积V=×1×1××2=.故选A.]题号135246879题号1352468795.(2025·吉林模拟)已知圆锥的底面半径为1,体积为π,则该圆锥内切球的体积为( )A.π B.πC.π D.π√题号135246879D [设圆锥的高为h,又圆锥的底面半径为1,体积为π,∴×π×12×h=π,∴h=2,∴圆锥的母线长为=3.设圆锥内切球的半径为r,则圆锥内切球的半径即为圆锥的轴截面的内切圆的半径,根据等面积法可得:×2×2=×(3+3+2)×r,∴r=,∴该圆锥内切球的体积为πr3=π×=π.故选D.]题号1352468796.(2024·白银靖远县期末)在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC=BD=2,∠BCD=60°.若AB=3,A,B,C,D四点都在球O的表面上,则球O的表面积为( )A.25π B.36πC.12π D.24π√题号135246879A [如图,取CD的中点E,连接AE,BE,∵在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,△BCD是边长为2的等边三角形,∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD是等腰三角形,令△BCD的中心为G,作OG∥AB交AB的中垂线HO于O,O为外接球的球心,由BE=3,BG=2,得球O的半径R==,故球O的表面积为4πR2=25π.故选A.]题号1352468791011127.(2024·张家口尚义县月考)球的体积为36π cm3,用一个平面截球,若球心到截面的距离为2 cm,则截面圆的半径为________cm. [令球半径为R,则R3=36π,解得R=3 cm,所以截面圆的半径r==(cm).] 题号1352468798.(2025·温州模拟)侧棱和底面边长都是3的正四棱锥的各顶点都在以O为球心的球面上,则其外接球的体积为________.36π [依题意,得该正四棱锥底面对角线的长为3=6,高为=3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为3,故体积为36π.]36π 题号1352468799.(2024·锡林郭勒盟期末)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长分别为,3,高AA1=2,则该三棱柱的外接球的表面积为________.20π 题号13524687920π [不妨设AB=AC=,BC=3,由余弦定理可得cos A===-,由A∈(0,π),则A=,所以△ABC的外接圆半径r==,可得该三棱柱的外接球的半径R==,所以该三棱柱的外接球的表面积为S=4πR2=20π.]谢 谢 ! 展开更多...... 收起↑ 资源预览