《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)68 第七章 思维进阶9 球的切、接、截问题 课件

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《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)68 第七章 思维进阶9 球的切、接、截问题 课件

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(共54张PPT)
第七章 立体几何与空间向量
思维进阶9 球的切、接、截问题
球的切、接、截问题是历年高考的热点内容,一般以客观题的形式出现,考查空间想象能力、计算能力.其关键是利用转化思想,把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体的切、接问题来解决.
题型一 球的截面问题
球的截面有关性质
解决球的截面问题抓住以下几个方面:
(1)球心到截面圆的距离;
(2)截面圆的半径;
(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为:R2=d2+r2.
[典例1] (2024·临沂质检)在半径为6的球的内部有一点,该点到球心的距离为4,过该点作球的截面,则截面面积的最小值是(  )
A.11π B.20π
C.32π D.27π

B [设球心为O,内部点为D,则截面与OD垂直时,截面圆的半径最小,相应的截面圆的面积有最小值.因为半径为6的球的内部有一点,该点到球心的距离为4,所以截面与OD垂直时,截面圆的半径为=,所以截面面积的最小值为20π.故选B.]
反思领悟 球的截面问题关键是利用球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r构建方程求解.
巩固迁移1 已知球O与正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面相切,平面ACB1截球O所得的截面的面积为,则正方体棱长为(  )
A. B.
C.1 D.2

D [设正方体棱长为2a,则球O的半径为a,∵平面ACB1截此球所得
的截面的面积为,∴截面圆的半径为,由题意,球心O与B的距离为×2a=a,设球心O、点B到平面ACB1的距离分别为d,h,由等体积法=可得h=a,所以d=a,
∴a2=+,∴a=1,即正方体棱长为2a=2.故选D.]
题型二 柱体与球
1.正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点.球的直径等于球的内接长方体的体对角线长.
结论:(1)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形:①球内切于正方体,此时2R=a;②球与正方体的棱相切,此时2R=a;③球外接于正方体,此时2R=a.
(2)若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,则外接球的半径是.
2.正三棱柱的外接球
球心到正三棱柱两底面的距离相等,正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心.R2=+.
3.圆柱的外接球
R=(R是圆柱外接球的半径,h是圆柱的高,r是圆柱底面
圆的半径).
[典例2] (1)(2025·合肥模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上,且∠BAC=,AA1=BC=2,则球O的体积为(  )
A.4π   B.8π   C.12π   D.20π
(2)(2025·湛江模拟)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上,且过一个顶点的三条棱长分别为 1,2,3,则此球的表面积为________.

14π
(1)A (2)14π [(1)在底面△ABC中,由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径为r===,
则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为R===,
则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为πR3=4π.故选A.
(2)长方体外接球直径等于长方体体对角线长,设外接球半径为R,
则2R==,
所以球的表面积 S=4πR2=14π.]
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为________cm.
2.5 [设铁球半径为r cm,若两个铁球的球心在竖直方向上,且分别与两个底面相切,则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r,此时铁球的半径为 cm.
2.5
当两球球心不在竖直方向上时,设两个铁球的球心分别为O1,O2,此种情况下,当铁球半径最大时,如图1所示,圆柱与两铁球的轴截面如图2所示,其中ABCD为圆柱的轴截面,O2P⊥AB,O1P⊥AD,则有O2P=9-2r,O1P=8-2r,O1O2=2r,则有(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2,即4r2-68r+145=0,即(2r-29)(2r-5)=0,解得r1=14.5(舍去)或r2=2.5.
因为2.5>=2.25,所以铁球半径的最大值为2.5 cm.]
反思领悟 直棱柱外接球半径R=,其底面外接圆半径r可利用正弦定理求解.
巩固迁移2 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,且所有顶点都在同一个球面上,若AA1=AC=2,AB⊥BC,则此球的体积为________.
π [设△ABC的外接圆的圆心为D,半径为r,球的半径为R,球心为O,底面△ABC为直角三角形,故其外接圆圆心D在斜边AC中点处,则r=1,又OD=AA1=1,在Rt△OCD中,
R==,所以V球=πR3=π.]
π 
题型三 锥体与球
1.正棱锥与球
(1)内切球:V正棱锥=S表·r=S底·h(等体积法),r是内切球半径,h为正棱锥的高.
(2)外接球:外接球球心在其高上,底面正多边形的外接圆圆心为E,半径为r,R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R,高为h).
2.正四面体的外接球、内切球
若正四面体的棱长为a,高为h,正四面体的外接球半径为R,内切
球半径为r,则h=a,R=a,r=a,R∶r=3∶1.
3.圆锥的外接球
R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径,h是圆锥的高,r是圆锥底面圆的半径).
[典例3] (多选)(2024·钦州期末)已知三棱锥P-ABC的底面ABC是直角三角形,PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,则(  )
A.三棱锥P-ABC外接球的表面积为12π 
B.三棱锥P-ABC外接球的表面积为48π
C.三棱锥P-ABC内切球的半径为
D.三棱锥P-ABC内切球的半径为


AC [由题意可知AB,AC,AP两两垂直,且PA=AB=AC=2,
∴三棱锥P-ABC外接球的半径R满足(2R)2=AB2+AC2+AP2=12,
∴三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2=12π,
∴A选项正确,B选项错误;
由题意可得三棱锥P-ABC的体积V=×2×2×2=,
三棱锥P-ABC的表面积S=×2×2×3+×(2)2=6+2,
设三棱锥P-ABC内切球的半径为r,根据等体积法可得V=Sr,
∴r===,∴C选项正确,D选项错误.
故选AC.]
反思领悟 本例根据分割补形法,三棱锥的体积公式,等体积思想逐一求解即可.
巩固迁移3 (2024·攀枝花期末)正四面体S-ABC外接球的体积为π,则其内切球的表面积为_______.
 [如图所示,将正四面体S-ABC放入棱长为a的正方体中,
则其外接球的半径为R=,
所以外接球的体积为V=πR3=π·=
a3=π,解得a=,
 
所以正四面体的棱长SA=a=2,设其内切球的半径为r,
由等体积法,得Sr=a3-4··a2·a==,其中S为正四面体
的表面积,
所以S=4··(a)2=4,所以r=,
其内切球的表面积为4πr2=4π·=.]
【教用·备选题】
1.(2024·菏泽期末)建盏是福建省南平市建阳区的特产,是中国国家地理标志产品,其多是口大底小,底部多为圈足且圈足较浅(如图所示),因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台O1O2,已知该圆台的上、下底面积分别为16π cm2和9π cm2,高超过1 cm,该圆台上、下底面圆周上的各个点均在球O的表面上,且球O的表面积为100π cm2,则该圆台的体积为(  )
A.80π cm3 B. cm3
C. cm3 D.87π cm3

B [设球O的半径为R cm,圆台上、下底面分别为圆O1,O2,
则根据题意可得4πR2=100π,∴R=5,
∴OO2==4(cm),
同理可得OO1=3 cm,∵圆台的高超过1 cm,
∴该圆台的高为7 cm,
∴该圆台的体积为×(9π+16π+12π)×7=(cm3).
故选B.]
2.(2025·丰城市模拟)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面APB⊥底面ABCD,∠APB=120°,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为(  )
A.40π B.28π
C. D.16π

B [依题意AB=2,∠APB=120°,设△APB外接圆的半径为r,
四棱锥P-ABCD的外接球的半径为R,
则2r===4,即r=2,
又侧面APB⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,
侧面APB∩底面ABCD=AB,AB⊥AD,AD 平面ABCD,
所以AD⊥平面PAB,
所以R===,
所以四棱锥P-ABCD的外接球的表面积S=4πR2=28π.故选B.]
3.(2025·无锡模拟)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(  )
A. B.16π
C.9π D.

A [如图所示,设球半径为R,正四棱锥的底面中心为O′且球心为O,
∵正四棱锥P-ABCD中AB=2,∴AO′=.
∵PO′=4,∴在Rt△AOO′中,AO2=AO′2+OO′2,
∴R2=()2+(4-R)2,
解得R=,
∴该球的表面积为4πR2=4π×=.故选A.]
4.(2025·贵阳观山湖区模拟)已知△ABC的顶点都是球O的球面上的点,AB=2,∠ACB=90°,∠BAC=30°,若三棱锥O-ABC的体积为,则球O的表面积为______.
36π
36π [∵△ABC的顶点都是球O的球面上的点,AB=2,∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴BC=1,AC=,∴△ABC的面积为×1×=,其△ABC的外接圆的半径r==1,
设球心O到平面ABC的距离为h,球O的半径为R,
则三棱锥O-ABC的体积为×h=,
∴h=2,
∴R2=r2+h2=1+8=9,∴球O的表面积为4πR2=36π.]
5.(2024·南京金陵中学月考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为________.
61π
61π [如图所示,下底面半径为5,球的直径为10.
则球心在下底面上,OC=OB=5,O′C=4,
∠OO′C=,则圆台的高为3,
V=h(S上++S下)=16π+20π+25π=61π.]
6.(2025·临川模拟)中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中,称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BC,若CD=1,AC=,且顶点A,B,C,D均在球O上,则球O的表面积为________.

6π [由题意可知,球O为鳖臑ABCD的外接球,
∵AB⊥平面BCD,BD,CD 平面BCD,
∴AB⊥BD,AB⊥CD,又CD⊥BC,AB,BC 平面ABC,
AB∩BC=B,
∴CD⊥平面ABC,
又AC 平面ABC,
∴CD⊥AC.
取AD的中点E,连接BE,CE,
∵AB⊥BD,∴BE=AE=DE,同理可知:CE=AE=DE,
∴点E与球O的球心O重合,球O的半径R=AD==,
∴球O的表面积S=4πR2=6π.]
进阶训练(九) 球的切、接、截问题
1.(2024·白银靖远县校级期末)若棱长为a的正方体的内切球的表面积为16π,则a=(  )
A.2 B.4
C. D.2

题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B [设内切球的半径为r(r>0),由球的表面积为S=4πr2=16π,
得r2=4,所以r=2,又球内切于正方体,
所以正方体的棱长等于球的直径,则a=2r=4.故选B.]

题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2.(2025·西安莲湖区模拟)已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同一个表面积为20π的球面上,该圆柱的体积为(  )
A.8π B.6π
C.5π D.4π
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D [球的表面积为4πR2=20π,可得其半径为R=,
圆柱的底面半径为r=1,在轴截面中,
可知圆柱的高为h=2=4,
所以圆柱的体积为πr2h=4π.故选D.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3.(2024·南宁良庆区期末)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=5,AC=3,BC=4,PB为球O的直径,PB=10,则这个三棱锥的体积为(  )
A.30 B.15
C.10 D.5

题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C [如图所示,由条件△ABC为直角三角形,则斜边AB的中点O1为△ABC的外接圆的圆心,
连接OO1得OO1⊥平面ABC,OO1==,
∵OO1∥PA,PA=2OO1=5,∴PA⊥平面ABC,
∴三棱锥的体积为×3×4×5=10.故选C.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4.(2024·泉州鲤城区期末)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1,BC=,球O的体积为π,则该三棱柱的体积为(  )
A. B.1
C. D.3

题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A [设△ABC外接圆的半径为r,因为AB=AC=1,BC=,
由余弦定理可得,cos A==-,
因为0°由正弦定理可得,2r==2,即r=1,
因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上,球O的体
积为π=,
即球的半径R=2,
由直三棱柱和球的性质可知,
R2=r2+,即4=1+,
所以AA1=2,故该三棱柱的体积V=×1×1××2=.故选A.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5.(2025·吉林模拟)已知圆锥的底面半径为1,体积为π,则该圆锥内切球的体积为(  )
A.π B.π
C.π D.π

题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D [设圆锥的高为h,又圆锥的底面半径为1,体积为π,
∴×π×12×h=π,
∴h=2,∴圆锥的母线长为=3.
设圆锥内切球的半径为r,则圆锥内切球的半径即为圆锥的轴截面的内切圆的半径,根据等面积法可得:×2×2=×(3+3+2)×r,
∴r=,∴该圆锥内切球的体积为πr3=π×=π.故选D.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6.(2024·白银靖远县期末)在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC=BD=2,∠BCD=60°.若AB=3,A,B,C,D四点都在球O的表面上,则球O的表面积为(  )
A.25π B.36π
C.12π D.24π

题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A [如图,取CD的中点E,连接AE,BE,
∵在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,△BCD是边长为2的等边三角形,∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD是等腰三角形,
令△BCD的中心为G,作OG∥AB交AB的中垂线HO于O,
O为外接球的球心,由BE=3,BG=2,
得球O的半径R==,
故球O的表面积为4πR2=25π.
故选A.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7.(2024·张家口尚义县月考)球的体积为36π cm3,用一个平面截球,若球心到截面的距离为2 cm,则截面圆的半径为________cm.
 [令球半径为R,则R3=36π,解得R=3 cm,
所以截面圆的半径r==(cm).]
 
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8.(2025·温州模拟)侧棱和底面边长都是3的正四棱锥的各顶点都在以O为球心的球面上,则其外接球的体积为________.
36π [依题意,得该正四棱锥底面对角线的长为3=6,高为
=3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,
所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为3,故体积为36π.]
36π 
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
9.(2024·锡林郭勒盟期末)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长分别为,3,高AA1=2,则该三棱柱的外接球的表面积为________.
20π 
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
20π [不妨设AB=AC=,BC=3,
由余弦定理可得cos A===-,
由A∈(0,π),则A=,
所以△ABC的外接圆半径r==,
可得该三棱柱的外接球的半径R==,
所以该三棱柱的外接球的表面积为S=4πR2=20π.]
谢 谢 !

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