资源简介

(共54张PPT)
第七章　立体几何与空间向量
思维进阶9　球的切、接、截问题
球的切、接、截问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力．其关键是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体的切、接问题来解决．
题型一　球的截面问题
球的截面有关性质
解决球的截面问题抓住以下几个方面：
(1)球心到截面圆的距离；
(2)截面圆的半径；
(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形)．球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为：R2＝d2＋r2．
[典例1]　(2024·临沂质检)在半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是(　　)
A．11π B．20π
C．32π D．27π
√
B　[设球心为O，内部点为D，则截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值．因为半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4，所以截面与OD垂直时，截面圆的半径为＝，所以截面面积的最小值为20π．故选B．]
反思领悟　球的截面问题关键是利用球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r构建方程求解．
巩固迁移1　已知球O与正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面相切，平面ACB1截球O所得的截面的面积为，则正方体棱长为(　　)
A． B．
C．1 D．2
√
D　[设正方体棱长为2a，则球O的半径为a，∵平面ACB1截此球所得
的截面的面积为，∴截面圆的半径为，由题意，球心O与B的距离为×2a＝a，设球心O、点B到平面ACB1的距离分别为d，h，由等体积法＝可得h＝a，所以d＝a，
∴a2＝＋，∴a＝1，即正方体棱长为2a＝2．故选D．]
题型二　柱体与球
1．正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点．球的直径等于球的内接长方体的体对角线长．
结论：(1)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：①球内切于正方体，此时2R＝a；②球与正方体的棱相切，此时2R＝a；③球外接于正方体，此时2R＝a．
(2)若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则外接球的半径是．
2．正三棱柱的外接球
球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心．R2＝＋．
3．圆柱的外接球
R＝(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面
圆的半径)．
[典例2]　(1)(2025·合肥模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝2，则球O的体积为(　　)
A．4π　　　B．8π　　　C．12π　　　D．20π
(2)(2025·湛江模拟)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且过一个顶点的三条棱长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．
√
14π
(1)A　(2)14π　[(1)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径为r＝＝＝，
则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为R＝＝＝，
则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为πR3＝4π．故选A．
(2)长方体外接球直径等于长方体体对角线长，设外接球半径为R，
则2R＝＝，
所以球的表面积 S＝4πR2＝14π．]
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm.
2.5　[设铁球半径为r cm，若两个铁球的球心在竖直方向上，且分别与两个底面相切，则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r，此时铁球的半径为 cm.
2.5
当两球球心不在竖直方向上时，设两个铁球的球心分别为O1，O2，此种情况下，当铁球半径最大时，如图1所示，圆柱与两铁球的轴截面如图2所示，其中ABCD为圆柱的轴截面，O2P⊥AB，O1P⊥AD，则有O2P＝9－2r，O1P＝8－2r，O1O2＝2r，则有(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝0，即(2r－29)(2r－5)＝0，解得r1＝14.5(舍去)或r2＝2.5.
因为2.5＞＝2.25，所以铁球半径的最大值为2.5 cm.]
反思领悟　直棱柱外接球半径R＝，其底面外接圆半径r可利用正弦定理求解．
巩固迁移2　已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若AA1＝AC＝2，AB⊥BC，则此球的体积为________．
π　[设△ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，球的半径为R，球心为O，底面△ABC为直角三角形，故其外接圆圆心D在斜边AC中点处，则r＝1，又OD＝AA1＝1，在Rt△OCD中，
R＝＝，所以V球＝πR3＝π．]
π　
题型三　锥体与球
1．正棱锥与球
(1)内切球：V正棱锥＝S表·r＝S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高．
(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱锥外接球半径为R，高为h)．
2．正四面体的外接球、内切球
若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切
球半径为r，则h＝a，R＝a，r＝a，R∶r＝3∶1．
3．圆锥的外接球
R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径)．
[典例3]　(多选)(2024·钦州期末)已知三棱锥P-ABC的底面ABC是直角三角形，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝2，则(　　)
A．三棱锥P-ABC外接球的表面积为12π　
B．三棱锥P-ABC外接球的表面积为48π
C．三棱锥P-ABC内切球的半径为
D．三棱锥P-ABC内切球的半径为
√
√
AC　[由题意可知AB，AC，AP两两垂直，且PA＝AB＝AC＝2，
∴三棱锥P-ABC外接球的半径R满足(2R)2＝AB2＋AC2＋AP2＝12，
∴三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2＝12π，
∴A选项正确，B选项错误；
由题意可得三棱锥P-ABC的体积V＝×2×2×2＝，
三棱锥P-ABC的表面积S＝×2×2×3＋×(2)2＝6＋2，
设三棱锥P-ABC内切球的半径为r，根据等体积法可得V＝Sr，
∴r＝＝＝，∴C选项正确，D选项错误．
故选AC．]
反思领悟　本例根据分割补形法，三棱锥的体积公式，等体积思想逐一求解即可．
巩固迁移3　(2024·攀枝花期末)正四面体S-ABC外接球的体积为π，则其内切球的表面积为_______．
　[如图所示，将正四面体S-ABC放入棱长为a的正方体中，
则其外接球的半径为R＝，
所以外接球的体积为V＝πR3＝π·＝
a3＝π，解得a＝，
　
所以正四面体的棱长SA＝a＝2，设其内切球的半径为r，
由等体积法，得Sr＝a3－4··a2·a＝＝，其中S为正四面体
的表面积，
所以S＝4··(a)2＝4，所以r＝，
其内切球的表面积为4πr2＝4π·＝．]
【教用·备选题】
1．(2024·菏泽期末)建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅(如图所示)，因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体．现将某建盏的上半部分抽象成圆台O1O2，已知该圆台的上、下底面积分别为16π cm2和9π cm2，高超过1 cm，该圆台上、下底面圆周上的各个点均在球O的表面上，且球O的表面积为100π cm2，则该圆台的体积为(　　)
A．80π cm3 B． cm3
C． cm3 D．87π cm3
√
B　[设球O的半径为R cm，圆台上、下底面分别为圆O1，O2，
则根据题意可得4πR2＝100π，∴R＝5，
∴OO2＝＝4(cm)，
同理可得OO1＝3 cm，∵圆台的高超过1 cm，
∴该圆台的高为7 cm，
∴该圆台的体积为×(9π＋16π＋12π)×7＝(cm3)．
故选B．]
2．(2025·丰城市模拟)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面APB⊥底面ABCD，∠APB＝120°，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为(　　)
A．40π B．28π
C． D．16π
√
B　[依题意AB＝2，∠APB＝120°，设△APB外接圆的半径为r，
四棱锥P-ABCD的外接球的半径为R，
则2r＝＝＝4，即r＝2，
又侧面APB⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
侧面APB∩底面ABCD＝AB，AB⊥AD，AD 平面ABCD，
所以AD⊥平面PAB，
所以R＝＝＝，
所以四棱锥P-ABCD的外接球的表面积S＝4πR2＝28π．故选B．]
3．(2025·无锡模拟)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A． B．16π
C．9π D．
√
A　[如图所示，设球半径为R，正四棱锥的底面中心为O′且球心为O，
∵正四棱锥P-ABCD中AB＝2，∴AO′＝．
∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，
∴R2＝()2＋(4－R)2，
解得R＝，
∴该球的表面积为4πR2＝4π×＝．故选A．]
4．(2025·贵阳观山湖区模拟)已知△ABC的顶点都是球O的球面上的点，AB＝2，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，若三棱锥O-ABC的体积为，则球O的表面积为______．
36π
36π　[∵△ABC的顶点都是球O的球面上的点，AB＝2，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝1，AC＝，∴△ABC的面积为×1×＝，其△ABC的外接圆的半径r＝＝1，
设球心O到平面ABC的距离为h，球O的半径为R，
则三棱锥O-ABC的体积为×h＝，
∴h＝2，
∴R2＝r2＋h2＝1＋8＝9，∴球O的表面积为4πR2＝36π．]
5．(2024·南京金陵中学月考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．
61π
61π　[如图所示，下底面半径为5，球的直径为10．
则球心在下底面上，OC＝OB＝5，O′C＝4，
∠OO′C＝，则圆台的高为3，
V＝h(S上＋＋S下)＝16π＋20π＋25π＝61π．]
6．(2025·临川模拟)中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．如图所示的鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，若CD＝1，AC＝，且顶点A，B，C，D均在球O上，则球O的表面积为________．
6π
6π　[由题意可知，球O为鳖臑ABCD的外接球，
∵AB⊥平面BCD，BD，CD 平面BCD，
∴AB⊥BD，AB⊥CD，又CD⊥BC，AB，BC 平面ABC，
AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，
∴CD⊥AC．
取AD的中点E，连接BE，CE，
∵AB⊥BD，∴BE＝AE＝DE，同理可知：CE＝AE＝DE，
∴点E与球O的球心O重合，球O的半径R＝AD＝＝，
∴球O的表面积S＝4πR2＝6π．]
进阶训练(九)　球的切、接、截问题
1．(2024·白银靖远县校级期末)若棱长为a的正方体的内切球的表面积为16π，则a＝(　　)
A．2 B．4
C． D．2
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[设内切球的半径为r(r＞0)，由球的表面积为S＝4πr2＝16π，
得r2＝4，所以r＝2，又球内切于正方体，
所以正方体的棱长等于球的直径，则a＝2r＝4．故选B．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(2025·西安莲湖区模拟)已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为20π的球面上，该圆柱的体积为(　　)
A．8π B．6π
C．5π D．4π
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[球的表面积为4πR2＝20π，可得其半径为R＝，
圆柱的底面半径为r＝1，在轴截面中，
可知圆柱的高为h＝2＝4，
所以圆柱的体积为πr2h＝4π．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．(2024·南宁良庆区期末)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB＝5，AC＝3，BC＝4，PB为球O的直径，PB＝10，则这个三棱锥的体积为(　　)
A．30 B．15
C．10 D．5
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[如图所示，由条件△ABC为直角三角形，则斜边AB的中点O1为△ABC的外接圆的圆心，
连接OO1得OO1⊥平面ABC，OO1＝＝，
∵OO1∥PA，PA＝2OO1＝5，∴PA⊥平面ABC，
∴三棱锥的体积为×3×4×5＝10．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(2024·泉州鲤城区期末)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上，且AB＝AC＝1，BC＝，球O的体积为π，则该三棱柱的体积为(　　)
A． B．1
C． D．3
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[设△ABC外接圆的半径为r，因为AB＝AC＝1，BC＝，
由余弦定理可得，cos A＝＝－，
因为0°由正弦定理可得，2r＝＝2，即r＝1，
因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上，球O的体
积为π＝，
即球的半径R＝2，
由直三棱柱和球的性质可知，
R2＝r2＋，即4＝1＋，
所以AA1＝2，故该三棱柱的体积V＝×1×1××2＝．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5．(2025·吉林模拟)已知圆锥的底面半径为1，体积为π，则该圆锥内切球的体积为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[设圆锥的高为h，又圆锥的底面半径为1，体积为π，
∴×π×12×h＝π，
∴h＝2，∴圆锥的母线长为＝3．
设圆锥内切球的半径为r，则圆锥内切球的半径即为圆锥的轴截面的内切圆的半径，根据等面积法可得：×2×2＝×(3＋3＋2)×r，
∴r＝，∴该圆锥内切球的体积为πr3＝π×＝π．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．(2024·白银靖远县期末)在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC＝BD＝2，∠BCD＝60°．若AB＝3，A，B，C，D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为(　　)
A．25π B．36π
C．12π D．24π
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[如图，取CD的中点E，连接AE，BE，
∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为2的等边三角形，∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，
令△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，
O为外接球的球心，由BE＝3，BG＝2，
得球O的半径R＝＝，
故球O的表面积为4πR2＝25π．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(2024·张家口尚义县月考)球的体积为36π cm3，用一个平面截球，若球心到截面的距离为2 cm，则截面圆的半径为________cm．
　[令球半径为R，则R3＝36π，解得R＝3 cm，
所以截面圆的半径r＝＝(cm)．]
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2025·温州模拟)侧棱和底面边长都是3的正四棱锥的各顶点都在以O为球心的球面上，则其外接球的体积为________．
36π　[依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3＝6，高为
＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，
所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，故体积为36π．]
36π　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
9．(2024·锡林郭勒盟期末)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长分别为，3，高AA1＝2，则该三棱柱的外接球的表面积为________．
20π　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
20π　[不妨设AB＝AC＝，BC＝3，
由余弦定理可得cos A＝＝＝－，
由A∈(0，π)，则A＝，
所以△ABC的外接圆半径r＝＝，
可得该三棱柱的外接球的半径R＝＝，
所以该三棱柱的外接球的表面积为S＝4πR2＝20π．]
谢 谢 ！

展开更多......

收起↑