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第七章　立体几何与空间向量
第3课时　空间直线、平面的平行
[考试要求]　1．以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理．
2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
考点一　与线、面平行相关命题的判定
1．如果一个平面内的两条____直线分别平行于另一个平面内的两条____直线，则这两个平面平行．
2．平行于同一个平面的两个平面____．
3．垂直于同一条直线的两个平面____．
4．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
相交
相交
平行
平行
[典例1]　(1)(2025·日照模拟)已知平面α，直线m，n满足m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
(2)(2025·九江模拟)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若m∥n，n∥α，则m∥α
B．若n⊥α，n⊥m，m β，则α∥β
C．若α∥β，m⊥β，则m⊥α
D．若α⊥β，m β，则m⊥α
√
(1)D　(2)C　[(1)平面α，直线m，n满足m α，n α，
则“m∥n”不能推出“m∥α”，还有可能m，n同时垂直于α，∴充分性不成立；
“m∥α”不能推出“m∥n”，还有可能m，n相交或异面，∴必要性不成立，
∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选D．
(2)对于A，当m∥n，n∥α时，m∥α或m α，
所以A错误；
对于B，如图，当n⊥α，n⊥m，m β时，α⊥β，
所以B错误；
对于C，当α∥β，m⊥β时，m⊥α，所以C正确；
对于D，如B项解析中的图，当α⊥β，m β时，m∥α，所以D错误．故选C．]
反思领悟　判断与平行关系相关命题的真假，应以线、面平行关系的定义、定理为依据，结合题意构造或绘制图形(正(长)方体、三棱柱(锥)等常见几何体)，结合图形作出判断．
巩固迁移1　(多选)(2024·厦门外国语学校月考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
D．若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能平行，也可能相交
√
√
CD　[对于A，若α∩β＝n，m∥n，m α，m β，则m∥α，m∥β，A错误；
对于B，若m∥α，n∥α，则m与n可能是异面直线，相交直线或平行直线，B错误；
对于C，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，C正确；
对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能相交或平行，D正确．]
考点二　直线与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果______一条直线与________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”)
l∥α
平面外
此平面内
l∥a
a α
l α
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面____，那么该直线与____平行(简记为“线面平行 线线平行”)
l∥b
相交
交线
l∥α
l β
α∩β＝b
考向1　直线与平面平行的判定
[典例2]　如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE．
[证明]　法一(应用线面平行的判定定理)：如图，设M为PC的中点，连接EM，MF．
∵E是AB的中点，∴AE∥CD，且AE＝CD，
又∵MF∥CD，且MF＝CD，
∴AE綉FM，∴四边形AEMF是平行四边形，
∴AF∥EM．
又∵AF 平面PCE，EM 平面PCE，∴AF∥平面PCE．
法二(应用面面平行的判定定理及性质)：如图，设G为CD的中点，连接FG，AG．
∵F，G分别为PD，CD的中点，
∴FG∥PC．又E为AB的中点，
AB綉CD，∴AE綉CG，
∴四边形AECG是平行四边形，∴AG∥EC．
又FG 平面PCE，AG 平面PCE，
PC 平面PCE，EC 平面PCE，
∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE．
又FG，AG 平面AFG，FG∩AG＝G，
∴平面AFG∥平面PCE．
又AF 平面AFG，
∴AF∥平面PCE．
反思领悟　本例解法一应用线面平行的判定定理，证明平面PCE内的直线EM与平面外的直线AF平行，证明过程中应用了△PCD的中位线MF綉CD綉AE．本例解法二应用面面平行的判定定理和性质，证明AF所在的平面AFG与平面PCE平行，再根据面面平行的性质证得AF与平面PCE平行．
巩固迁移2　(人教B版必修第四册P110习题11－3BT7改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．
求证：BE∥平面PAD．
[证明]　法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA．
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝CD＝2．
又∵AB∥CD，AB＝2，∴AB綉EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF．
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
法二：如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴＝＝，
即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE 平面PAD，PH 平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
法三：如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，
∴EH∥PD，
又EH 平面PAD，PD 平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB綉DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，
∴BH∥AD，
又AD 平面PAD，BH 平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH 平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE 平面BHE，∴BE∥平面PAD．
考向2　直线与平面平行的性质
[典例3]　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H．
求证：PA∥GH．
[证明]　如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM 平面BMD，PA 平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
PA 平面PAHG，
∴PA∥GH．
反思领悟　本例中，把PA∥平面BMD这一线面平行转化为PA∥GH线线平行时，必须包括经过直线PA的平面和平面BMD相交这一条件，这时才有直线PA与交线GH平行．
巩固迁移3　(2024·福建泉州一中月考)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG．
证明：FG∥平面AA1B1B．
[证明]　在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1 平面BB1D，CC1 平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D．
又CC1 平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG．
因为BB1∥CC1，
所以BB1∥FG．
而BB1 平面AA1B1B，FG 平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B．
考点三　平面与平面平行的判定与性质
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”)
α∥β
相交直线
a∥β
b∥β
a∩b＝P
a α
b α
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面____，那么两条____平行
a∥b
相交
交线
α∥β
α∩γ＝a
β∩γ＝b
[典例4]　(2025·沈阳模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，
求证：平面EFA1∥平面BCHG．
[证明]　(1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，
平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH．
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG．
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB．
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG．
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG．
反思领悟　本例(1)关键是构造平面与平面ABC和平面A1B1C1都相交，这时才有交线BC与交线GH平行；本例(2)利用平面与平面平行的判定定理证明平面EFA1∥平面BCHG，必须说明A1E与EF相交．
巩固迁移4　(2025·张家口模拟)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，
证明：B1D1∥l．
[证明]　(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1．
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1．
因为A1D1綉B1C1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C．
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1．
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1．
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以l∥BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l．
考点四　平行关系的综合应用
[典例5]　(2024·河北衡水中学月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H．
[证明]　如图．
(1)取B1B的中点M，
连接HM，MC1，
易证四边形HMC1D1是平行四边形，
∴HD1∥MC1．
又MC1∥BF，
∴BF∥HD1．
(2)取BD的中点O，连接OE，OD1，
则OE綉DC．
又D1G綉DC，
∴OE綉D1G．
∴四边形OEGD1是平行四边形，
∴EG∥D1O．
又D1O 平面BB1D1D，EG 平面BB1D1D，
∴EG∥平面BB1D1D．
(3)由(1)知BF∥HD1，
由题意易证B1D1∥BD．
又B1D1，HD1 平面B1D1H，BF，BD 平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，
∴平面BDF∥平面B1D1H．
反思领悟　三种平行关系的转化
巩固迁移5　(2024·重庆诊断)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是________．
　
　[如图，连接D1A，AC，D1C，
因为E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，
所以AC∥EF，
又EF 平面ACD1，AC 平面ACD1，
所以EF∥平面ACD1，
易知EG∥AD1，
所以同理可得EG∥平面ACD1，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
所以平面ACD1∥平面EFG．
因为直线D1P∥平面EFG，
所以点P在直线AC上．
在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，
所以＝＝．
当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，
所以线段D1P长度的最小值为＝＝．]
随堂练习
√
1．(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(1))若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　)
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
D　[直线a不平行于平面α，包括两种情况：a α或a∩α＝P．当a α时，α内的所有直线都与直线a共面，A错误；当a α时，α内必然有直线与直线a平行，B错误；由B知C也错误；当a α时，直线a和平面α有无数个公共点，当a∩α＝P时，直线a与平面α有唯一公共点P，D正确．]
2．(人教A版必修第二册P142练习T2)平面α与平面β平行的充分条件可以是(　　)
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何一条直线都与β平行
√
D　[对于A，α内有无穷多条直线与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，当直线a平行于平面α与平面β的相交直线时满足上述条件，但平面α与平面β不平行，故B错误；对于C，直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误；对于D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与平面β平行，故D正确．]
3．设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是
(　　)
A．若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l
B．若m α，l β，m∥l，则α∥β
C．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l
D．若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β
√
C　[对于A，m，l可能平行、相交或异面，故A错误；对于B，α，β可能相交或平行，故B错误；对于D，α∥β，故D错误；由线面平行的性质得C正确．]
4．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分
别在线段DB，DD1上，且＝＝，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则＝________．
　
　[因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝，所以EF∥BD1．因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，G在CC1上，BG 平面BD1G，且平面AEF∥平面BD1G，所以AF∥BG，所以＝＝．]
【教用·备选题】
1．(2024·贵州期末)已知三个不同的平面α，β，γ和直线m，n，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“α∥β”是“m∥n”的(　　)
A．充分不必要条件　
B．必要不充分条件
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
√
A　[根据面面平行的性质定理，可知当α∥β时，
有m∥n，故充分性成立；反之，当m∥n时，
α，β可能相交(如图)，故必要性不成立，
所以“α∥β”是“m∥n”的充分不必要条件．
故选A．]
2．(多选)(2024·南昌期初摸底)在下列四棱锥中，底面为平行四边形，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有(　　)
√
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
√
AB　[对于A，如图1，设P为AB的中点，连接MP，PC，则
PM∥BE，PM＝BE，而BE∥CN，BE＝2CN，故PM∥CN，PM＝
CN，即四边形PMNC为平行四边形，则MN∥PC，而PC 平面ABC，MN 平面ABC，所以MN∥平面ABC，故A正确．对于B，如
图2，设P为AB的中点，连接MP，PC，则PM∥BE，PM＝BE，而
BE∥CN，BE＝2CN，故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，故MN∥PC，而PC 平面ABC，MN 平面ABC，所以
MN∥平面ABC，故B正确．对于C，如图3，设P为AE的中点，连接NP，PB，设NP∩AC＝H，连接BH，则PN∥FE，PN＝FE，而FE∥MB，FE＝2MB，故PN∥MB，PN＝MB，即四边形PNMB为平行四边形，所以MN∥PB．又MN 平面PNMB，MN 平面ABC，平面PNMB∩平面ABC＝BH，假设MN∥平面ABC，则MN∥BH，即在平面PNMB内过点B有两条直线和MN平行，这是不可能的，假设不成立，故C错误．对于D，如图4，连接AE与FN，交于点H，FN交AC于点G，则H为FN的中点，连接BH，BG．由于B为MF的中点，故BH∥MN．又MN 平面NMF，MN 平面ABC，平面NMF∩平面
ABC＝BG，假设MN∥平面ABC，则MN∥BG，即在平面NMF内过点B有两条直线和MN平行，这是不可能的，假设不成立，故D错误．]
3．(2024·乐山三模)在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BB1上，且BB1＝3BD，点M在棱A1C1上，且M为A1C1的中点，点N在直线BB1上，若MN∥平面ADC1，则＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
√
D　[如图，设P为A1A的中点，连接MP．
∵M为A1C1的中点，
∴MP∥AC1．
∵MP 平面ADC1，AC1 平面ADC1，
∴MP∥平面ADC1．
过点P作PN∥AD，交BB1于点N，连接MN，
则PN∥平面ADC1．
∵MP∩PN＝P，
∴平面PMN∥平面ADC1，
∴MN∥平面ADC1．
∵AP∥DN，∴四边形APND为平行四边形，
∴AP＝DN＝AA1＝BB1，
∵BB1＝3BD，∴NB＝DB＋DN＝＝BB1，
NB1＝BB1－BB1＝BB1，
∴＝5．
故选D．]
4．(2025·浙江模拟)三棱锥A-BCD的所有棱长均为2，E，F分别为棱BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若MN∥平面ABD，则线段MN长度的最小值为________．
　
　[如图，过点M作MG∥AB交AC于点G，
连接GN，由题意得GN∥AD，
所以∠MGN＝∠BAD＝，
设MG＝m(0＜m≤1)，则AG＝m，
则＝，所以GN＝，
由余弦定理可得：
MN＝
＝
＝＝，
当m＝时，MN有最小值．]
5．(2025·银川兴庆区模拟)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC于直线l．
(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；
(2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．
[解]　(1)结论：BC∥l．
证明：∵AD∥BC，BC 平面PAD，AD 平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
又∵BC 平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，
∴BC∥l．
(2)结论：MN∥平面PAD．
证明：取CD的中点Q，连接NQ，MQ，
则NQ∥PD，MQ∥AD，
又∵NQ∩MQ＝Q，
PD∩AD＝D，
∴平面MNQ∥平面PAD．
又∵MN 平面MNQ，
∴MN∥平面PAD．
6．(2025·武夷山市模拟)如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB＝，P为侧棱SD上的点，且SP＝3PD，Q是SD的中点，E是侧棱SC上的点，且SE＝2EC．
(1)求正四棱锥S-ABCD的表面积；
(2)求证：平面BEQ∥平面ACP．
[解]　(1)根据题意，在正四棱锥S-ABCD中，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB＝，
其底面为边长为的正方形，则S底＝＝2，
侧面三角形为等腰三角形，腰长为2，底边长为，
则侧面三角形的高h＝＝，
则S侧＝4S△SBC＝4×＝2，
故正四棱锥S-ABCD的表面积S＝S底＋S侧＝2＋2．
(2)证明：连接BD，与AC交于点O，连接OP，由P为侧棱SD上的点，且SP＝3PD，Q是SD的中点，可知P是QD的中点．
又O为BD的中点，则OP为△BQD的中位线，
则有OP∥BQ，又BQ 平面BEQ，OP 平面BEQ，
故OP∥平面BEQ，由SP＝3PD，Q是SD的中点，
则SQ＝2QP．
又由SE＝2EC，则EQ∥CP，又EQ 平面BEQ，
CP 平面BEQ，故CP∥平面BEQ，
又由OP 平面ACP，CP 平面ACP，且OP∩CP＝P，
则有平面BEQ∥平面ACP．
课后习题(四十四)　空间直线、平面的平行
1．(人教A版必修第二册P143习题8.5T2改编)已知三条不重合的直线a，b，c，平面α．下列命题中，真命题的个数为(　　)
(1)若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线；(2)若a∥b，b∥c，则a∥c；(3)若a∥b，b α，则a∥α；(4)若a∥α，b∥α，则a∥b．
A．1 　 B．2 　　　 C．3 　　　 D．4
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[对于(1)，若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c可能是异面直线，也可能不是异面直线，故命题(1)错误；对于(2)，由线线平行关系的传递性可知命题(2)正确；对于(3)，若a∥b，b α，则a∥α或a α，故命题(3)错误；对于(4)，若a∥α，b∥α，则a与b相交或平行或异面，故命题(4)错误．故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2．(苏教版必修第二册P186习题13.2(3)T5改编)如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足
AD∥平面PEF，则的值为(　　)
A．1 B．2
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，因为AD∥平面PEF，AD 平面ADC，平面ADC∩平面PEF＝FG，
所以AD∥FG．
因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，
所以G是△PBC的重心，
所以＝＝．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(人教B版必修第四册P108练习B T2改编)如图，已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　)
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为平面α∥平面ABC，所以AB∥平面α，
又平面α∩平面PAB＝A′B′，AB 平面PAB，所以A′B′∥AB，同理可得AC∥A′C′，BC∥B′C′，
所以∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，
所以 △ABC∽△A′B′C′．
因为PA′∶AA′＝2∶3，所以PA′∶PA＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶5，
所以＝＝＝．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(湘教版必修第二册P205复习题四T14改编)如图，在四棱锥
P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点．
(1)证明：平面MNQ∥平面PCD；
(2)在线段PD上是否存在一点E，
使得MN∥平面ACE？若存在，
求出的值；若不存在，请说明理由．
题号
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[解]　(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，
∴NQ∥AB∥CD，MQ∥PC，
又NQ 平面PCD，CD 平面PCD，MQ 平面PCD，PC 平面PCD，
∴NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD，
又∵NQ∩MQ＝Q，且NQ，MQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PCD．
(2)在线段PD上存在点E，使得MN∥平面ACE，且＝．理由如下：
如图，取PD的中点E，连接NE，CE，AC，AE，
∵N，E分别是AP，PD的中点，
∴NE∥AD，NE＝AD，
易知BC∥AD，BC＝AD，又M为BC的中点，
∴MC∥AD，MC＝AD，
题号
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∴NE∥MC，NE＝MC，
∴四边形MCEN是平行四边形，
∴MN∥CE，
又∵MN 平面ACE，CE 平面ACE，
∴MN∥平面ACE，
故在线段PD上存在点E，使得MN∥平面ACE，且＝．
题号
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题号
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5．(2024·商丘期末)设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面α的距离相等”是“l∥α”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
√
题号
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B　[由直线l不在平面α内知：直线l上有两个点到平面α的距离相等 l∥α或直线l与平面α相交，
l∥α 直线l上有两个点到平面α的距离相等，
∴“A，B到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件．故选B．]
题号
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6．(2025·驻马店模拟)已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，若a∥α，b α，则(　　)
A．a∥b B．a与b异面　
C．a与b相交 D．a与b没有公共点
√
D　[因为a，b是两条不同的直线，α是一个平面，
若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面，即a与b没有公共点，
故只有D满足题意．
故选D．]
题号
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7．(2025·太原迎泽区模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若a∥α，b∥a，则b∥α
B．若a∥α，b∥α，a β，b β，则β∥α
C．若α∥β，b∥α，则b∥β　
D．若α∥β，a α，则a∥β
√
题号
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D　[A中，若a∥α，b∥a，则b∥α或b α，所以A不正确；
B中，a∥α，b∥α，a β，b β，没有指明a，b是否是相交直线，所以B不正确；
C中，若α∥β，b∥α，则b∥β或b β，所以C不正确；
D中，若α∥β，a α，由面面平行的性质可知a∥β，所以D正确．
故选D．]
题号
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8．(2024·长沙岳麓区期末)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
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D　[连接AC与BE相交于点O，连接FO，如图所示，
∵PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FO，∴PA∥FO，则有＝．
∵∠AOE＝∠BOC，∠AEO＝∠CBO，
∴△AEO∽△CBO，＝．
∵在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，∴＝，
∴＝．故选D．]
题号
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9．(2024·周口川汇区月考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________，直线MD与平面BCC1B1的位置关系是_________．
相交
平行
题号
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相交　平行　[在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是相交，直线MD与平面BCC1B1的位置关系是平行．因为如果延长直线DM，则与直线AA1相交，而AA1在平面A1ACC1中，所以直线MD与平面A1ACC1的位置关系是相交的．
在平面BCC1B1中，连接C与C1B1的中点(图略)，与MD平行，根据线面平行的判定定理得到直线MD与平面BCC1B1的位置关系是平行的．]
题号
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10．(2024·哈尔滨香坊区期末)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1＝8，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8．点P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥平面PBD，则CF＝________．
2　
题号
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2　[如图，连接AC，交BD于点O，连接PO．
∵EF∥平面PBD，EF 平面EFCA，平面EFCA∩平面PBD＝PO，
∴EF∥PO．在PA1上截取PQ＝AP＝2，
连接QC，则QC∥PO，
∴EF∥QC，又EQ∥FC，
∴四边形EFCQ为平行四边形，
∴CF＝EQ．
又AE＋CF＝8，AE＋A1E＝8，∴A1E＝CF＝EQ，即点E为A1Q的中
点，而A1Q＝8－(AP＋PQ)＝4，∴CF＝A1Q＝2．]
题号
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11．(2025·潍坊模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．求证：
(1)PA∥平面BDE；
(2)F为PD的中点．
题号
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[证明]　(1)如图所示，
连接AC交BD于点G，连接GE，
因为底面ABCD为平行四边形，
所以G为AC的中点，又E为PC的中点，
所以GE∥PA，
又PA 平面BDE，GE 平面BDE，
所以PA∥平面BDE．
题号
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(2)因为底面ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，
又AB 平面ABEF，CD 平面ABEF，
所以CD∥平面ABEF，
又平面ABEF∩平面PDC＝EF，CD 平面PDC，
所以CD∥EF．
又因为E为PC的中点，所以F为PD的中点．
题号
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12．(2025·深圳模拟)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱AB，BC，B1C1的中点．
(1)证明：B1E∥平面ACG；
(2)在线段CC1上是否存在一点N，使得平面
NEF∥平面A1BC1？若存在，请指出并证明；
若不存在，请说明理由．
题号
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[解]　(1)证明：取AC的中点M，连接EM，GM，
在△ABC中，由于E，M分别为AB，AC的中点，
则EM∥BC且EM＝BC，
又G为B1C1的中点，B1C1∥BC，
则有B1G∥BC且B1G＝BC，
故有B1G∥EM且B1G＝EM，
四边形EMGB1为平行四边形，B1E∥GM．
又GM 平面ACG，B1E 平面ACG，故B1E∥平面ACG．
题号
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(2)根据题意，当N为CC1的中点时，平面NEF∥平面A1BC1，
证明：连接NE，NF．
因为N，F分别是CC1和BC的中点，所以NF∥BC1．
因为NF 平面A1BC1，BC1 平面A1BC1，所以NF∥平面A1BC1．
因为EF∥AC，AC∥A1C1，所以EF∥A1C1．
又EF 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，故EF∥平面A1BC1，
又EF 平面NEF，NF 平面NEF，EF∩NF＝F，
所以平面NEF∥平面A1BC1．
谢 谢 ！

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