资源简介 (共98张PPT)第七章 立体几何与空间向量第3课时 空间直线、平面的平行[考试要求] 1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.考点一 与线、面平行相关命题的判定1.如果一个平面内的两条____直线分别平行于另一个平面内的两条____直线,则这两个平面平行.2.平行于同一个平面的两个平面____.3.垂直于同一条直线的两个平面____.4.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.相交相交平行平行[典例1] (1)(2025·日照模拟)已知平面α,直线m,n满足m α,n α,则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√(2)(2025·九江模拟)已知m,n是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题正确的是( )A.若m∥n,n∥α,则m∥αB.若n⊥α,n⊥m,m β,则α∥βC.若α∥β,m⊥β,则m⊥αD.若α⊥β,m β,则m⊥α√(1)D (2)C [(1)平面α,直线m,n满足m α,n α,则“m∥n”不能推出“m∥α”,还有可能m,n同时垂直于α,∴充分性不成立;“m∥α”不能推出“m∥n”,还有可能m,n相交或异面,∴必要性不成立,∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件.故选D.(2)对于A,当m∥n,n∥α时,m∥α或m α,所以A错误;对于B,如图,当n⊥α,n⊥m,m β时,α⊥β,所以B错误;对于C,当α∥β,m⊥β时,m⊥α,所以C正确;对于D,如B项解析中的图,当α⊥β,m β时,m∥α,所以D错误.故选C.]反思领悟 判断与平行关系相关命题的真假,应以线、面平行关系的定义、定理为依据,结合题意构造或绘制图形(正(长)方体、三棱柱(锥)等常见几何体),结合图形作出判断.巩固迁移1 (多选)(2024·厦门外国语学校月考)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若m∥α,m∥β,则α∥βB.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m⊥α,n⊥α,则m∥nD.若α⊥γ,α⊥β,则γ与β可能平行,也可能相交√√CD [对于A,若α∩β=n,m∥n,m α,m β,则m∥α,m∥β,A错误;对于B,若m∥α,n∥α,则m与n可能是异面直线,相交直线或平行直线,B错误;对于C,若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知m∥n,C正确;对于D,若α⊥γ,α⊥β,则γ与β可能相交或平行,D正确.]考点二 直线与平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言判定 定理 如果______一条直线与________的一条直线平行,那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α平面外此平面内l∥aa αl α 文字语言 图形语言 符号语言性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面____,那么该直线与____平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥b相交交线l∥αl βα∩β=b考向1 直线与平面平行的判定[典例2] 如图,P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:AF∥平面PCE.[证明] 法一(应用线面平行的判定定理):如图,设M为PC的中点,连接EM,MF.∵E是AB的中点,∴AE∥CD,且AE=CD,又∵MF∥CD,且MF=CD,∴AE綉FM,∴四边形AEMF是平行四边形,∴AF∥EM.又∵AF 平面PCE,EM 平面PCE,∴AF∥平面PCE.法二(应用面面平行的判定定理及性质):如图,设G为CD的中点,连接FG,AG.∵F,G分别为PD,CD的中点,∴FG∥PC.又E为AB的中点,AB綉CD,∴AE綉CG,∴四边形AECG是平行四边形,∴AG∥EC.又FG 平面PCE,AG 平面PCE,PC 平面PCE,EC 平面PCE,∴FG∥平面PCE,AG∥平面PCE.又FG,AG 平面AFG,FG∩AG=G,∴平面AFG∥平面PCE.又AF 平面AFG,∴AF∥平面PCE.反思领悟 本例解法一应用线面平行的判定定理,证明平面PCE内的直线EM与平面外的直线AF平行,证明过程中应用了△PCD的中位线MF綉CD綉AE.本例解法二应用面面平行的判定定理和性质,证明AF所在的平面AFG与平面PCE平行,再根据面面平行的性质证得AF与平面PCE平行.巩固迁移2 (人教B版必修第四册P110习题11-3BT7改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.[证明] 法一:如图,取PD的中点F,连接EF,FA.由题意知EF为△PDC的中位线,∴EF∥CD,且EF=CD=2.又∵AB∥CD,AB=2,∴AB綉EF,∴四边形ABEF为平行四边形,∴BE∥AF.又AF 平面PAD,BE 平面PAD,∴BE∥平面PAD.法二:如图,延长DA,CB相交于点H,连接PH,∵AB∥CD,AB=2,CD=4,∴==,即B为HC的中点,又E为PC的中点,∴BE∥PH,又BE 平面PAD,PH 平面PAD,∴BE∥平面PAD.法三:如图,取CD的中点H,连接BH,HE,∵E为PC的中点,∴EH∥PD,又EH 平面PAD,PD 平面PAD,∴EH∥平面PAD,又由题意知AB綉DH,∴四边形ABHD为平行四边形,∴BH∥AD,又AD 平面PAD,BH 平面PAD,∴BH∥平面PAD,又BH∩EH=H,BH,EH 平面BHE,∴平面BHE∥平面PAD,又BE 平面BHE,∴BE∥平面PAD.考向2 直线与平面平行的性质[典例3] 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面交BD于点H.求证:PA∥GH.[证明] 如图所示,连接AC交BD于点O,连接OM,∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点,又M是PC的中点,∴PA∥OM,又OM 平面BMD,PA 平面BMD,∴PA∥平面BMD,又平面PAHG∩平面BMD=GH,PA 平面PAHG,∴PA∥GH.反思领悟 本例中,把PA∥平面BMD这一线面平行转化为PA∥GH线线平行时,必须包括经过直线PA的平面和平面BMD相交这一条件,这时才有直线PA与交线GH平行.巩固迁移3 (2024·福建泉州一中月考)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E为线段AD上的任意一点(不包括A,D两点),平面CEC1∩平面BB1D=FG.证明:FG∥平面AA1B1B.[证明] 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥CC1,BB1 平面BB1D,CC1 平面BB1D,所以CC1∥平面BB1D.又CC1 平面CEC1,平面CEC1∩平面BB1D=FG,所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1,所以BB1∥FG.而BB1 平面AA1B1B,FG 平面AA1B1B,所以FG∥平面AA1B1B.考点三 平面与平面平行的判定与性质 文字语言 图形语言 符号语言判定 定理 如果一个平面内的两条________与另一个平面平行,那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β相交直线a∥βb∥βa∩b=Pa αb α 文字语言 图形语言 符号语言性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面____,那么两条____平行 a∥b相交交线α∥βα∩γ=aβ∩γ=b[典例4] (2025·沈阳模拟)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).(1)求证:BC∥GH;(2)若E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中点,求证:平面EFA1∥平面BCHG.[证明] (1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,又∵平面BCHG∩平面ABC=BC,且平面BCHG∩平面A1B1C1=HG,∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,∵EF 平面BCHG,BC 平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1綉AB,∴A1G綉EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E 平面BCHG,GB 平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF=E,A1E,EF 平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.反思领悟 本例(1)关键是构造平面与平面ABC和平面A1B1C1都相交,这时才有交线BC与交线GH平行;本例(2)利用平面与平面平行的判定定理证明平面EFA1∥平面BCHG,必须说明A1E与EF相交.巩固迁移4 (2025·张家口模拟)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=l,证明:B1D1∥l.[证明] (1)由题设知BB1綉DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.又BD 平面CD1B1,B1D1 平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B 平面CD1B1,D1C 平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B=B,BD,A1B 平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=l,平面ABCD∩平面A1BD=BD,所以l∥BD,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1为平行四边形,所以B1D1∥BD,所以B1D1∥l.考点四 平行关系的综合应用[典例5] (2024·河北衡水中学月考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:(1)BF∥HD1;(2)EG∥平面BB1D1D;(3)平面BDF∥平面B1D1H.[证明] 如图.(1)取B1B的中点M,连接HM,MC1,易证四边形HMC1D1是平行四边形,∴HD1∥MC1.又MC1∥BF,∴BF∥HD1.(2)取BD的中点O,连接OE,OD1,则OE綉DC.又D1G綉DC,∴OE綉D1G.∴四边形OEGD1是平行四边形,∴EG∥D1O.又D1O 平面BB1D1D,EG 平面BB1D1D,∴EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知BF∥HD1,由题意易证B1D1∥BD.又B1D1,HD1 平面B1D1H,BF,BD 平面BDF,且B1D1∩HD1=D1,DB∩BF=B,∴平面BDF∥平面B1D1H.反思领悟 三种平行关系的转化巩固迁移5 (2024·重庆诊断)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=,E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,点P在平面ABCD内,若直线D1P∥平面EFG,则线段D1P长度的最小值是________. [如图,连接D1A,AC,D1C,因为E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,所以AC∥EF,又EF 平面ACD1,AC 平面ACD1,所以EF∥平面ACD1,易知EG∥AD1,所以同理可得EG∥平面ACD1,又EF∩EG=E,EF,EG 平面EFG,所以平面ACD1∥平面EFG.因为直线D1P∥平面EFG,所以点P在直线AC上.在△ACD1中,AD1=,AC=2,CD1=2,所以==.当D1P⊥AC时,线段D1P的长度最小,所以线段D1P长度的最小值为==.]随堂练习√1.(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(1))若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线都与直线a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线都与a相交D.直线a与平面α有公共点D [直线a不平行于平面α,包括两种情况:a α或a∩α=P.当a α时,α内的所有直线都与直线a共面,A错误;当a α时,α内必然有直线与直线a平行,B错误;由B知C也错误;当a α时,直线a和平面α有无数个公共点,当a∩α=P时,直线a与平面α有唯一公共点P,D正确.]2.(人教A版必修第二册P142练习T2)平面α与平面β平行的充分条件可以是( )A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内C.直线a α,直线b β,且a∥β,b∥αD.α内的任何一条直线都与β平行√D [对于A,α内有无穷多条直线与β平行,并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行,这无穷多条直线可以是一组平行线,故A错误;对于B,直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内,当直线a平行于平面α与平面β的相交直线时满足上述条件,但平面α与平面β不平行,故B错误;对于C,直线a α,直线b β,且a∥β,b∥α,当直线a∥b时,不能保证平面α与平面β平行,故C错误;对于D,α内的任何一条直线都与β平行,则α内至少有两条相交直线与平面β平行,所以平面α与平面β平行,故D正确.]3.设α,β是两个平面,m,l是两条直线,则下列命题为真命题的是( )A.若α⊥β,m∥α,l∥β,则m⊥lB.若m α,l β,m∥l,则α∥βC.若α∩β=m,l∥α,l∥β,则m∥lD.若m⊥α,l⊥β,m∥l,则α⊥β√C [对于A,m,l可能平行、相交或异面,故A错误;对于B,α,β可能相交或平行,故B错误;对于D,α∥β,故D错误;由线面平行的性质得C正确.]4.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且==,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则=________. [因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且==,所以EF∥BD1.因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1,G在CC1上,BG 平面BD1G,且平面AEF∥平面BD1G,所以AF∥BG,所以==.]【教用·备选题】1.(2024·贵州期末)已知三个不同的平面α,β,γ和直线m,n,若α∩γ=m,β∩γ=n,则“α∥β”是“m∥n”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√A [根据面面平行的性质定理,可知当α∥β时,有m∥n,故充分性成立;反之,当m∥n时,α,β可能相交(如图),故必要性不成立,所以“α∥β”是“m∥n”的充分不必要条件.故选A.]2.(多选)(2024·南昌期初摸底)在下列四棱锥中,底面为平行四边形,A,B,C,M,N是四棱锥的顶点或棱的中点,则MN∥平面ABC的有( )√A BC D√AB [对于A,如图1,设P为AB的中点,连接MP,PC,则PM∥BE,PM=BE,而BE∥CN,BE=2CN,故PM∥CN,PM=CN,即四边形PMNC为平行四边形,则MN∥PC,而PC 平面ABC,MN 平面ABC,所以MN∥平面ABC,故A正确.对于B,如图2,设P为AB的中点,连接MP,PC,则PM∥BE,PM=BE,而BE∥CN,BE=2CN,故PM∥CN,PM=CN,即四边形PMNC为平行四边形,故MN∥PC,而PC 平面ABC,MN 平面ABC,所以MN∥平面ABC,故B正确.对于C,如图3,设P为AE的中点,连接NP,PB,设NP∩AC=H,连接BH,则PN∥FE,PN=FE,而FE∥MB,FE=2MB,故PN∥MB,PN=MB,即四边形PNMB为平行四边形,所以MN∥PB.又MN 平面PNMB,MN 平面ABC,平面PNMB∩平面ABC=BH,假设MN∥平面ABC,则MN∥BH,即在平面PNMB内过点B有两条直线和MN平行,这是不可能的,假设不成立,故C错误.对于D,如图4,连接AE与FN,交于点H,FN交AC于点G,则H为FN的中点,连接BH,BG.由于B为MF的中点,故BH∥MN.又MN 平面NMF,MN 平面ABC,平面NMF∩平面ABC=BG,假设MN∥平面ABC,则MN∥BG,即在平面NMF内过点B有两条直线和MN平行,这是不可能的,假设不成立,故D错误.]3.(2024·乐山三模)在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在棱BB1上,且BB1=3BD,点M在棱A1C1上,且M为A1C1的中点,点N在直线BB1上,若MN∥平面ADC1,则=( )A.2 B.3C.4 D.5√D [如图,设P为A1A的中点,连接MP.∵M为A1C1的中点,∴MP∥AC1.∵MP 平面ADC1,AC1 平面ADC1,∴MP∥平面ADC1.过点P作PN∥AD,交BB1于点N,连接MN,则PN∥平面ADC1.∵MP∩PN=P,∴平面PMN∥平面ADC1,∴MN∥平面ADC1.∵AP∥DN,∴四边形APND为平行四边形,∴AP=DN=AA1=BB1,∵BB1=3BD,∴NB=DB+DN==BB1,NB1=BB1-BB1=BB1,∴=5.故选D.]4.(2025·浙江模拟)三棱锥A-BCD的所有棱长均为2,E,F分别为棱BC与AD的中点,M,N分别为线段AE与CF上的动点,若MN∥平面ABD,则线段MN长度的最小值为________. [如图,过点M作MG∥AB交AC于点G,连接GN,由题意得GN∥AD,所以∠MGN=∠BAD=,设MG=m(0<m≤1),则AG=m,则=,所以GN=,由余弦定理可得:MN====,当m=时,MN有最小值.]5.(2025·银川兴庆区模拟)如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC于直线l.(1)判断BC与l的位置关系,并证明你的结论;(2)判断MN与平面PAD的位置关系,并证明你的结论.[解] (1)结论:BC∥l.证明:∵AD∥BC,BC 平面PAD,AD 平面PAD,∴BC∥平面PAD.又∵BC 平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,∴BC∥l.(2)结论:MN∥平面PAD.证明:取CD的中点Q,连接NQ,MQ,则NQ∥PD,MQ∥AD,又∵NQ∩MQ=Q,PD∩AD=D,∴平面MNQ∥平面PAD.又∵MN 平面MNQ,∴MN∥平面PAD.6.(2025·武夷山市模拟)如图所示,在正四棱锥S-ABCD中,SA=SB=SC=SD=2,AB=,P为侧棱SD上的点,且SP=3PD,Q是SD的中点,E是侧棱SC上的点,且SE=2EC.(1)求正四棱锥S-ABCD的表面积;(2)求证:平面BEQ∥平面ACP.[解] (1)根据题意,在正四棱锥S-ABCD中,SA=SB=SC=SD=2,AB=,其底面为边长为的正方形,则S底==2,侧面三角形为等腰三角形,腰长为2,底边长为,则侧面三角形的高h==,则S侧=4S△SBC=4×=2,故正四棱锥S-ABCD的表面积S=S底+S侧=2+2.(2)证明:连接BD,与AC交于点O,连接OP,由P为侧棱SD上的点,且SP=3PD,Q是SD的中点,可知P是QD的中点.又O为BD的中点,则OP为△BQD的中位线,则有OP∥BQ,又BQ 平面BEQ,OP 平面BEQ,故OP∥平面BEQ,由SP=3PD,Q是SD的中点,则SQ=2QP.又由SE=2EC,则EQ∥CP,又EQ 平面BEQ,CP 平面BEQ,故CP∥平面BEQ,又由OP 平面ACP,CP 平面ACP,且OP∩CP=P,则有平面BEQ∥平面ACP.课后习题(四十四) 空间直线、平面的平行1.(人教A版必修第二册P143习题8.5T2改编)已知三条不重合的直线a,b,c,平面α.下列命题中,真命题的个数为( )(1)若a与b是异面直线,b与c是异面直线,则a与c是异面直线;(2)若a∥b,b∥c,则a∥c;(3)若a∥b,b α,则a∥α;(4)若a∥α,b∥α,则a∥b.A.1 B.2 C.3 D.4√题号135246879101112题号135246879101112A [对于(1),若a与b是异面直线,b与c是异面直线,则a与c可能是异面直线,也可能不是异面直线,故命题(1)错误;对于(2),由线线平行关系的传递性可知命题(2)正确;对于(3),若a∥b,b α,则a∥α或a α,故命题(3)错误;对于(4),若a∥α,b∥α,则a与b相交或平行或异面,故命题(4)错误.故选A.]√题号1352468791011122.(苏教版必修第二册P186习题13.2(3)T5改编)如图,在三棱锥P-ABC中,点D,E分别为棱PB,BC的中点.若点F在线段AC上,且满足AD∥平面PEF,则的值为( )A.1 B.2C. D.题号135246879101112C [如图,连接CD,交PE于点G,连接FG,因为AD∥平面PEF,AD 平面ADC,平面ADC∩平面PEF=FG,所以AD∥FG.因为点D,E分别为棱PB,BC的中点,所以G是△PBC的重心,所以==.故选C.]题号1352468791011123.(人教B版必修第四册P108练习B T2改编)如图,已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α分别交线段PA,PB,PC于点A′,B′,C′,若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC=( )A.2∶3 B.2∶5C.4∶9 D.4∶25√题号135246879101112D [因为平面α∥平面ABC,所以AB∥平面α,又平面α∩平面PAB=A′B′,AB 平面PAB,所以A′B′∥AB,同理可得AC∥A′C′,BC∥B′C′,所以∠ABC=∠A′B′C′,∠BCA=∠B′C′A′,所以 △ABC∽△A′B′C′.因为PA′∶AA′=2∶3,所以PA′∶PA=2∶5,所以A′B′∶AB=2∶5,所以===.故选D.]题号1352468791011124.(湘教版必修第二册P205复习题四T14改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点.(1)证明:平面MNQ∥平面PCD;(2)在线段PD上是否存在一点E,使得MN∥平面ACE?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.题号135246879101112[解] (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点,∴NQ∥AB∥CD,MQ∥PC,又NQ 平面PCD,CD 平面PCD,MQ 平面PCD,PC 平面PCD,∴NQ∥平面PCD,MQ∥平面PCD,又∵NQ∩MQ=Q,且NQ,MQ 平面MNQ,∴平面MNQ∥平面PCD.(2)在线段PD上存在点E,使得MN∥平面ACE,且=.理由如下:如图,取PD的中点E,连接NE,CE,AC,AE,∵N,E分别是AP,PD的中点,∴NE∥AD,NE=AD,易知BC∥AD,BC=AD,又M为BC的中点,∴MC∥AD,MC=AD,题号135246879101112∴NE∥MC,NE=MC,∴四边形MCEN是平行四边形,∴MN∥CE,又∵MN 平面ACE,CE 平面ACE,∴MN∥平面ACE,故在线段PD上存在点E,使得MN∥平面ACE,且=.题号135246879101112题号1352468791011125.(2024·商丘期末)设A,B是直线l上两点,则“A,B到平面α的距离相等”是“l∥α”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√题号135246879101112B [由直线l不在平面α内知:直线l上有两个点到平面α的距离相等 l∥α或直线l与平面α相交,l∥α 直线l上有两个点到平面α的距离相等,∴“A,B到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件.故选B.]题号1352468791011126.(2025·驻马店模拟)已知a,b是两条不同的直线,α是一个平面,若a∥α,b α,则( )A.a∥b B.a与b异面 C.a与b相交 D.a与b没有公共点√D [因为a,b是两条不同的直线,α是一个平面,若a∥α,b α,则a∥b或a与b异面,即a与b没有公共点,故只有D满足题意.故选D.]题号1352468791011127.(2025·太原迎泽区模拟)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若a∥α,b∥a,则b∥αB.若a∥α,b∥α,a β,b β,则β∥αC.若α∥β,b∥α,则b∥β D.若α∥β,a α,则a∥β√题号135246879101112D [A中,若a∥α,b∥a,则b∥α或b α,所以A不正确;B中,a∥α,b∥α,a β,b β,没有指明a,b是否是相交直线,所以B不正确;C中,若α∥β,b∥α,则b∥β或b β,所以C不正确;D中,若α∥β,a α,由面面平行的性质可知a∥β,所以D正确.故选D.]题号1352468791011128.(2024·长沙岳麓区期末)如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,=( )A. B.C. D.√题号135246879101112D [连接AC与BE相交于点O,连接FO,如图所示,∵PA∥平面EBF,PA 平面PAC,平面PAC∩平面EBF=FO,∴PA∥FO,则有=.∵∠AOE=∠BOC,∠AEO=∠CBO,∴△AEO∽△CBO,=.∵在平行四边形ABCD中,E为AD的中点,∴=,∴=.故选D.]题号1352468791011129.(2024·周口川汇区月考)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D1的中点,则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________,直线MD与平面BCC1B1的位置关系是_________.相交平行题号135246879101112相交 平行 [在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D1的中点,则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是相交,直线MD与平面BCC1B1的位置关系是平行.因为如果延长直线DM,则与直线AA1相交,而AA1在平面A1ACC1中,所以直线MD与平面A1ACC1的位置关系是相交的.在平面BCC1B1中,连接C与C1B1的中点(图略),与MD平行,根据线面平行的判定定理得到直线MD与平面BCC1B1的位置关系是平行的.]题号13524687910111210.(2024·哈尔滨香坊区期末)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1=8,E,F分别是侧棱AA1,CC1上的动点,AE+CF=8.点P在棱AA1上,且AP=2,若EF∥平面PBD,则CF=________.2 题号1352468791011122 [如图,连接AC,交BD于点O,连接PO.∵EF∥平面PBD,EF 平面EFCA,平面EFCA∩平面PBD=PO,∴EF∥PO.在PA1上截取PQ=AP=2,连接QC,则QC∥PO,∴EF∥QC,又EQ∥FC,∴四边形EFCQ为平行四边形,∴CF=EQ.又AE+CF=8,AE+A1E=8,∴A1E=CF=EQ,即点E为A1Q的中点,而A1Q=8-(AP+PQ)=4,∴CF=A1Q=2.]题号13524687910111211.(2025·潍坊模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.求证:(1)PA∥平面BDE;(2)F为PD的中点.题号135246879101112[证明] (1)如图所示,连接AC交BD于点G,连接GE,因为底面ABCD为平行四边形,所以G为AC的中点,又E为PC的中点,所以GE∥PA,又PA 平面BDE,GE 平面BDE,所以PA∥平面BDE.题号135246879101112(2)因为底面ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,又AB 平面ABEF,CD 平面ABEF,所以CD∥平面ABEF,又平面ABEF∩平面PDC=EF,CD 平面PDC,所以CD∥EF.又因为E为PC的中点,所以F为PD的中点.题号13524687910111212.(2025·深圳模拟)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱AB,BC,B1C1的中点.(1)证明:B1E∥平面ACG;(2)在线段CC1上是否存在一点N,使得平面NEF∥平面A1BC1?若存在,请指出并证明;若不存在,请说明理由.题号135246879101112[解] (1)证明:取AC的中点M,连接EM,GM,在△ABC中,由于E,M分别为AB,AC的中点,则EM∥BC且EM=BC,又G为B1C1的中点,B1C1∥BC,则有B1G∥BC且B1G=BC,故有B1G∥EM且B1G=EM,四边形EMGB1为平行四边形,B1E∥GM.又GM 平面ACG,B1E 平面ACG,故B1E∥平面ACG.题号135246879101112(2)根据题意,当N为CC1的中点时,平面NEF∥平面A1BC1,证明:连接NE,NF.因为N,F分别是CC1和BC的中点,所以NF∥BC1.因为NF 平面A1BC1,BC1 平面A1BC1,所以NF∥平面A1BC1.因为EF∥AC,AC∥A1C1,所以EF∥A1C1.又EF 平面A1BC1,A1C1 平面A1BC1,故EF∥平面A1BC1,又EF 平面NEF,NF 平面NEF,EF∩NF=F,所以平面NEF∥平面A1BC1.谢 谢 ! 展开更多...... 收起↑ 资源预览