《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)73 第七章 阶段提能(十二) 空间中的平行与垂直 课件

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《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)73 第七章 阶段提能(十二) 空间中的平行与垂直 课件

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(共30张PPT)
第七章 立体几何与空间向量
阶段提能(十二) 空间中的平行与垂直
题号
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1.(人教A版必修第二册P152练习T4)过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的______心.
(2)若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是AB边的________点.
(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都为P,则点O是△ABC的________心.



(1)外 (2)中 (3)垂 [(1)∵PA=PB=PC,
∴OA=OB=OC,
∴点O是△ABC的外心.
(2)如图,由(1)知,点O是△ABC的外心,
又∠ACB=90°,
∴点O是斜边AB的中点.
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(3)连接AO并延长交BC于点E,连接PE.
∵PA⊥PB,PC⊥PA,PB∩PC=P,PB,PC 平面PBC,
∴PA⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,∴BC⊥PA.
∵PO⊥平面ABC,BC 平面ABC,
∴PO⊥BC.又PO∩PA=P,PO,PA 平面PAE,
∴BC⊥平面PAE.∵AE 平面PAE,∴BC⊥AE.
同理可证HC⊥AB,BG⊥AC,∴O是△ABC的垂心.]
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2.(人教B版必修第四册P108练习BT3)如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点,A,C是平面α内两点,直线PA和PC分别与β相交于B和D.
(1)求证:AC∥BD;
(2)已知PA=4 cm,AB=5 cm,
PC=3 cm,求PD的长.
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[解] (1)证明:直线PB与直线PD可确定平面γ,
且γ分别与α,β交于AC,BD.
因为α∥β,所以AC∥BD.
(2)由(1)知△PAC∽△PBD,所以=,
所以PD===(cm).
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3.(人教A版必修第二册P170复习参考题8T10)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED,△BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起,使A,B,C三点重合于点A′.
(1)求证:A′D⊥EF;
(2)求三棱锥A′-EFD的体积.
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[解] (1)证明:折叠前AD⊥AE,CD⊥CF,折叠后A′D⊥A′E,A′D⊥A′F,
又A′E∩A′F=A′,A′E,A′F 平面A′EF,
∴A′D⊥平面A′EF.
∵EF 平面A′EF,∴A′D⊥EF.
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(2)由(1)可知,A′D⊥平面A′EF,
∴三棱锥D-A′EF的高A′D=AD=2,
又△A′EF折叠前为△BEF,
E,F分别为AB,BC的中点,
∴S△A′EF=S△BEF=×1×1=,
∴VA′-EFD=VD-A′EF=S△A′EF·A′D=×2=.
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4.(2024·天津卷)若m,n为两条直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是(  )
A.若m∥α,n∥α,则m⊥n
B.若m∥α,n∥α,则m∥n
C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n
D.若m∥α,n⊥α,则m与n相交

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C [对于A,B,若m∥α,n∥α,则m,n可能平行、相交或异面,故A,B错误.
对于C,D,若m∥α,n⊥α,则m⊥n,且m与n相交或异面,故D错误.故选C.]
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5.(2024·全国甲卷)设α,β是两个平面,m,n是两条直线,且α∩β=m.下列四个命题:
①若m∥n,则n∥α或n∥β;②若m⊥n,则n⊥α,n⊥β;③若n∥α,且n∥β,则m∥n;④若n与α和β所成的角相等,则m⊥n.
其中所有真命题的编号是(  )
A.①③ B.②④
C.①②③ D.①③④

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A [对于①,当n α时,因为m∥n,m β,则n∥β;
当n β时,因为m∥n,m α,则n∥α;
当n既不在α内也不在β内时,因为m∥n,m α,m β,则n∥α且n∥β,故①正确;
对于②,若m⊥n,则n与α,β不一定垂直,故②错误;
对于③,过直线n分别作两平面与α,β分别相交于直线s和直线t,
因为n∥α,过直线n的平面与平面α的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知n∥s,
同理可得n∥t,则s∥t,因为s 平面β,t 平面β,则s∥平面β,
因为s 平面α,α∩β=m,则s∥m,又因为n∥s,则m∥n,故③正确;
对于④,若α∩β=m,n与α和β所成的角相等,
如果n∥α,n∥β,则m∥n,故④错误.
综上只有①③正确,故选A.]
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6.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(  )
A. B.
C. D.

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D [法一:如图,连接C1P,因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,且P为B1D1的中点,所以C1P⊥B1D1,又C1P⊥BB1,所以C1P⊥平面B1BP.又BP 平面B1BP,所以C1P⊥BP.连接BC1,则AD1∥BC1,所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的
棱长为2,则在Rt△C1PB中,C1P=B1D1=,
BC1=2 ,sin ∠PBC1==,
所以∠PBC1=,故选D.
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法二:以B1为坐标原点,B1C1,B1A1,B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则B(0,0,2),P(1,1,0),D1(2,2,0),A(0,2,2),=(-1,-1,2),=(2,0,-2).设直线PB与AD1所成的角为
θ,则cos θ===.
因为θ∈,所以θ=,故选D.]
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7.(2024·北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,PA=PB=4,PC=PD=2,该棱锥的高为(  )
A.1 B.2
C. D.

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D [由题意知△PAB为正三角形,因为PC2+PD2=CD2,所以PC⊥PD.
如图,分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,EF,PF,则PE=2,PF=2, EF=4,
于是PE2+PF2=EF2,所以PE⊥PF.过点P作PG⊥EF,垂足为G.易知CD⊥PF,CD⊥EF,EF,PF 平面PEF,且EF∩PF=F,所以CD⊥平面PEF.又PG 平面PEF,所以CD⊥PG.又PG⊥EF,CD,EF 平面ABCD,CD∩EF=F,所以PG⊥平面ABCD,所以PG
为四棱锥P-ABCD的高.由PE·PF=EF·PG,得PG===.故选D.]
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8.(2024·全国甲卷)如图,已知AB∥CD,CD∥EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=,AE=2,M为CD的中点.
(1)证明:EM∥平面BCF;
(2)求点M到平面ADE的距离.
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[解] (1)证明:由题意得,EF∥MC,且EF=MC,所以四边形EFCM是平行四边形,所以EM∥FC.
又FC 平面BCF,EM 平面BCF,所以EM∥平面BCF.
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(2)取DM的中点O,连接OA,OE(图略),因为AB∥MC,且AB=MC,所以四边形AMCB是平行四边形,所以AM=BC=,
又AD=,故△ADM是等腰三角形,同理△EDM是等边三角形,
可得OA⊥DM,OE⊥DM,OA==3,
OE==,又AE=2,所以OA2+OE2=AE2,
故OA⊥OE.
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又OA⊥DM,OE∩DM=O,OE,DM 平面EDM,
所以OA⊥平面EDM.
易知S△EDM=×2×=.
在△ADE中,cos ∠DEA==,所以sin ∠DEA=,S△ADE=×2×2=.
设点M到平面ADE的距离为d,由VM-ADE=VA-EDM,得S△ADE·d=
S△EDM·OA,得d=,故点M到平面ADE的距离为.
9.(2023·全国乙卷)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2,PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO.
(1)求证:EF∥平面ADO.
(2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC的体积.
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[解] (1)证明:因为AB⊥BC,AB=2,BC=2,O是BC的中点,
所以==,
所以△OBA∽△ABC,所以∠CAB=∠AOB.
记BF⊥AO的垂足为H,则△BHA∽△OBA,
所以∠HBA=∠AOB.
所以∠HBA=∠CAB,
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所以BF=AF,∠BCF=∠CBF,
所以CF=BF,
故CF=AF,F是AC的中点.
因为E,F分别是AP,AC的中点,所以EF∥PC.
因为D,O分别是BP,BC的中点,所以DO∥PC,
所以EF∥DO.
又DO 平面ADO,EF 平面ADO,
所以EF∥平面ADO.
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(2)由(1)得FO∥AB,
因为AB⊥BC,
所以FO⊥BC.
又PO⊥BC,
所以∠POF是二面角P-BC-F的平面角,
所以二面角P-BC-F的大小为120°.
如图,过点P作PM⊥平面ABC于点M,连接MO,MB,
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则∠POM是二面角P-BC-M的平面角,
所以∠POM=60°.
在△PBC中,由PB=PC=,BC=2,得PO=2,
所以PM=.
所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=S△ABC·PM=×2×2=.
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