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第七章　立体几何与空间向量
阶段提能(十二)　空间中的平行与垂直
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1．(人教A版必修第二册P152练习T4)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的______心．
(2)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点．
(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的________心．
外
中
垂
(1)外　(2)中　(3)垂　[(1)∵PA＝PB＝PC，
∴OA＝OB＝OC，
∴点O是△ABC的外心．
(2)如图，由(1)知，点O是△ABC的外心，
又∠ACB＝90°，
∴点O是斜边AB的中点．
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(3)连接AO并延长交BC于点E，连接PE．
∵PA⊥PB，PC⊥PA，PB∩PC＝P，PB，PC 平面PBC，
∴PA⊥平面PBC．
又BC 平面PBC，∴BC⊥PA．
∵PO⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PO⊥BC．又PO∩PA＝P，PO，PA 平面PAE，
∴BC⊥平面PAE．∵AE 平面PAE，∴BC⊥AE．
同理可证HC⊥AB，BG⊥AC，∴O是△ABC的垂心．]
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2．(人教B版必修第四册P108练习BT3)如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点，A，C是平面α内两点，直线PA和PC分别与β相交于B和D．
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，
PC＝3 cm，求PD的长．
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[解]　(1)证明：直线PB与直线PD可确定平面γ，
且γ分别与α，β交于AC，BD．
因为α∥β，所以AC∥BD．
(2)由(1)知△PAC∽△PBD，所以＝，
所以PD＝＝＝(cm)．
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3．(人教A版必修第二册P170复习参考题8T10)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′．
(1)求证：A′D⊥EF；
(2)求三棱锥A′-EFD的体积．
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[解]　(1)证明：折叠前AD⊥AE，CD⊥CF，折叠后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又A′E∩A′F＝A′，A′E，A′F 平面A′EF，
∴A′D⊥平面A′EF．
∵EF 平面A′EF，∴A′D⊥EF．
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(2)由(1)可知，A′D⊥平面A′EF，
∴三棱锥D-A′EF的高A′D＝AD＝2，
又△A′EF折叠前为△BEF，
E，F分别为AB，BC的中点，
∴S△A′EF＝S△BEF＝×1×1＝，
∴VA′-EFD＝VD-A′EF＝S△A′EF·A′D＝×2＝．
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4．(2024·天津卷)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交
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C　[对于A，B，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，故A，B错误．
对于C，D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n相交或异面，故D错误．故选C．]
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5．(2024·全国甲卷)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α∩β＝m．下列四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β；②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；③若n∥α，且n∥β，则m∥n；④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n．
其中所有真命题的编号是(　　)
A．①③ B．②④
C．①②③ D．①③④
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A　[对于①，当n α时，因为m∥n，m β，则n∥β；
当n β时，因为m∥n，m α，则n∥α；
当n既不在α内也不在β内时，因为m∥n，m α，m β，则n∥α且n∥β，故①正确；
对于②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②错误；
对于③，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，
因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s，
同理可得n∥t，则s∥t，因为s 平面β，t 平面β，则s∥平面β，
因为s 平面α，α∩β＝m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③正确；
对于④，若α∩β＝m，n与α和β所成的角相等，
如果n∥α，n∥β，则m∥n，故④错误．
综上只有①③正确，故选A．]
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6．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A． B．
C． D．
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D　[法一：如图，连接C1P，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP．又BP 平面B1BP，所以C1P⊥BP．连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD-A1B1C1D1的
棱长为2，则在Rt△C1PB中，C1P＝B1D1＝，
BC1＝2 ，sin ∠PBC1＝＝，
所以∠PBC1＝，故选D．
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法二：以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则B(0，0，2)，P(1，1，0)，D1(2，2，0)，A(0，2，2)，＝(－1，－1，2)，＝(2，0，－2)．设直线PB与AD1所成的角为
θ，则cos θ＝＝＝．
因为θ∈，所以θ＝，故选D．]
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7．(2024·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝2，该棱锥的高为(　　)
A．1 B．2
C． D．
√
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D　[由题意知△PAB为正三角形，因为PC2＋PD2＝CD2，所以PC⊥PD．
如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE＝2，PF＝2， EF＝4，
于是PE2＋PF2＝EF2，所以PE⊥PF．过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF 平面PEF，且EF∩PF＝F，所以CD⊥平面PEF．又PG 平面PEF，所以CD⊥PG．又PG⊥EF，CD，EF 平面ABCD，CD∩EF＝F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG
为四棱锥P-ABCD的高．由PE·PF＝EF·PG，得PG＝＝＝．故选D．]
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8．(2024·全国甲卷)如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝，AE＝2，M为CD的中点．
(1)证明：EM∥平面BCF；
(2)求点M到平面ADE的距离．
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[解]　(1)证明：由题意得，EF∥MC，且EF＝MC，所以四边形EFCM是平行四边形，所以EM∥FC．
又FC 平面BCF，EM 平面BCF，所以EM∥平面BCF．
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(2)取DM的中点O，连接OA，OE(图略)，因为AB∥MC，且AB＝MC，所以四边形AMCB是平行四边形，所以AM＝BC＝，
又AD＝，故△ADM是等腰三角形，同理△EDM是等边三角形，
可得OA⊥DM，OE⊥DM，OA＝＝3，
OE＝＝，又AE＝2，所以OA2＋OE2＝AE2，
故OA⊥OE．
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又OA⊥DM，OE∩DM＝O，OE，DM 平面EDM，
所以OA⊥平面EDM．
易知S△EDM＝×2×＝．
在△ADE中，cos ∠DEA＝＝，所以sin ∠DEA＝，S△ADE＝×2×2＝．
设点M到平面ADE的距离为d，由VM-ADE＝VA-EDM，得S△ADE·d＝
S△EDM·OA，得d＝，故点M到平面ADE的距离为．
9．(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．
(1)求证：EF∥平面ADO．
(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P-ABC的体积．
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[解]　(1)证明：因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，O是BC的中点，
所以＝＝，
所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB．
记BF⊥AO的垂足为H，则△BHA∽△OBA，
所以∠HBA＝∠AOB．
所以∠HBA＝∠CAB，
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所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，
所以CF＝BF，
故CF＝AF，F是AC的中点．
因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC．
因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC，
所以EF∥DO．
又DO 平面ADO，EF 平面ADO，
所以EF∥平面ADO．
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(2)由(1)得FO∥AB，
因为AB⊥BC，
所以FO⊥BC．
又PO⊥BC，
所以∠POF是二面角P-BC-F的平面角，
所以二面角P-BC-F的大小为120°．
如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M，连接MO，MB，
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则∠POM是二面角P-BC-M的平面角，
所以∠POM＝60°．
在△PBC中，由PB＝PC＝，BC＝2，得PO＝2，
所以PM＝．
所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC＝S△ABC·PM＝×2×2＝．
谢 谢 ！

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