资源简介 (共79张PPT)第七章 立体几何与空间向量第6课时 向量法求空间角(一)[考试要求] 能用向量法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角的问题,体会向量法在研究空间角问题中的作用.考点一 异面直线所成的角异面直线所成的角:若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ=|cos 〈u,v〉|=.[典例1] (1)(人教A版选择性必修第一册P38练习T1改编)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=,BC=2,D为BC的中点,则异面直线AD与A1C所成的角为( )A. B.C. D.√(2)(2025·杭州模拟)如图,已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形,AB是底面圆O的直径,点D在上,且∠AOD=2∠BOD,则异面直线AD与BC所成角的余弦值为( )A. B.C. D.√(1)B (2)A [(1)由AB=AC=,BC=2,可得AB⊥AC,故以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,),B(,0,0),C(0,,0),所以D,所以==(0,,-),所以cos |〈〉|==,所以异面直线AD与A1C所成的角为.故选B.(2)因为∠AOD=2∠BOD,且∠AOD+∠BOD=π,所以∠BOD=,连接CO,则CO⊥平面ABD,以点O为坐标原点,OB,OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设圆O的半径为2,则A(0,-2,0),B(0,2,0),C(0,0,2),D(,1,0),=(,3,0),=(0,-2,2),设异面直线AD与BC所成的角为θ,则cos θ=|cos 〈〉|===,因此,异面直线AD与BC所成角的余弦值为.]反思领悟 异面直线所成角的取值范围为,向量夹角的范围为[0,π],所以若求得的两异面直线所成角的余弦值为负值,则取其绝对值.巩固迁移1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则异面直线PB与AD1所成的角为( )A. B.C. D.√D [法一:如图,连接C1P,因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,且P为B1D1的中点,所以C1P⊥B1D1,又C1P⊥BB1,B1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1 平面B1BP,所以C1P⊥平面B1BP.又BP 平面B1BP,所以C1P⊥BP.连接BC1,则AD1∥BC1,所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在直角三角形C1PB中,C1P=B1D1=,BC1=2 ,sin ∠PBC1==,所以∠PBC1=.故选D.法二:以B1为坐标原点,B1C1,B1A1,B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则B(0,0,2),P(1,1,0),D1(2,2,0),A(0,2,2),=(-1,-1,2),=(2,0,-2).设直线PB与AD1所成的角为θ,则cos θ===.因为θ∈,所以θ=.故选D.]考点二 直线与平面所成的角直线与平面所成的角:如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos 〈u,n〉|=.[典例2] (2025·南阳模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,BC∥AD,AD=2BC=2PA=2,AB=1,E,F,G分别为线段AD,DC,PB的中点.求直线GC与平面PCD所成角的正弦值.[解] 因为PA⊥底面ABCD,AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,因为AB⊥AD,所以PA,AB,AD两两互相垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),G,C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以==(1,1,-1),=(0,2,-1),设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则所以令y=1,可得z=2,x=1,所以n=(1,1,2)为平面PCD的一个法向量.设直线GC与平面PCD所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈n,〉|===,所以直线GC与平面PCD所成角的正弦值为.反思领悟 本例通过平面的法向量求直线与平面所成的角,即求出直线的方向向量与平面的法向量n所成的锐角或钝角的补角,取其余角才是直线与平面所成的角,与n的夹角不是线面角.巩固迁移2 (2022·全国甲卷) 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.(1)证明:BD⊥PA;(2)求PD与平面PAB 所成角的正弦值.[解] (1)证明:在四边形ABCD中,作DE⊥AB于点E,CF⊥AB于点F,因为CD∥AB,AD=CD=CB=1,AB=2,所以四边形ABCD为等腰梯形,所以AE=BF=,故DE=,BD==,所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD,因为PD⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PD⊥BD,又PD∩AD=D,所以BD⊥平面PAD,又因为PA 平面PAD,所以BD⊥PA.(2)由题意,PD,AD,BD两两垂直.如图,以点D为坐标原点建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,),则=(-1,0,),=(0,-),=(0,0,),设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则有可取n=(,1,1)为平面PAB的一个法向量,设PD与平面PAB所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈n,〉|==,所以PD与平面PAB所成角的正弦值为.【教用·备选题】(2022·全国乙卷)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成角的正弦值.[解] (1)证明:因为AD=CD,E为AC的中点,所以AC⊥DE,在△ABD和△CBD中,因为AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB,所以△ABD≌△CBD,所以AB=CB,又因为E为AC的中点,所以AC⊥BE,又因为DE,BE 平面BED,DE∩BE=E,所以AC⊥平面BED,因为AC 平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD.(2)连接EF,由(1)知,AC⊥平面BED,因为EF 平面BED,所以AC⊥EF,所以S△AFC=AC·EF,当EF⊥BD时,EF最小,即△AFC的面积最小.因为△ABD≌△CBD,所以CB=AB=2,又因为∠ACB=60°,所以△ABC是等边三角形,因为E为AC的中点,所以AE=EC=1,BE=,因为AD⊥CD,所以DE=AC=1,在△DEB中,DE2+BE2=BD2,所以BE⊥DE.以E为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,则A(1,0,0),B(0,,0),D(0,0,1),所以=(-1,0,1),=(-1,,0),设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则取y=,则n=(3,,3)为平面ABD的一个法向量,因为EF⊥BD,所以由=,得DF==BD,设F (a,b,c),所以=(a,b,c-1),=(0,,-1),由=,得(a,b,c-1)=(0,,-1),即F.又因为C(-1,0,0),所以=,设CF与平面ABD所成的角为θ,所以sin θ=|cos 〈n,〉|===,所以CF与平面ABD所成角的正弦值为.随堂练习√1.(人教A版选择性必修第一册P38练习T1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( )A. B.C. D.A [如图,建立空间直角坐标系.设BC=CA=CC1=1,则A(1,0,1),B(0,1,1),D1,F1,所以==,所以|cos 〈〉|===.即BD1与AF1所成角的余弦值是.]2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,则直线DC1与平面ACE所成角的正弦值为( )A. B.C. D.√A [以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),C1(0,2,2),A(2,0,0),E(2,1,2),C(0,2,0),所以=(0,2,2),=(0,1,2),=(-2,2,0).设平面ACE的法向量为m=(x,y,z),所以取z=1,则m=(-2,-2,1)为平面ACE的一个法向量.设直线DC1与平面ACE所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈,m〉|===.]3.已知在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=,E为PC的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为________. [建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,),D(0,2,0),E, 所以==(0,2,-),设异面直线BE与PD所成的角为θ,则cos θ=|cos 〈〉|===,所以异面直线BE与PD所成角的余弦值为.]【教用·备选题】1.(2025·淮安洪泽区模拟)如图,在多面体A1B1C1D1ABC中,侧面四边形A1B1C1D1,AA1B1B,BB1C1C是三个全等且两两垂直的正方形,平面A1B1C1D1∥平面ABC,E是棱AA1的中点,则直线EC1与平面ACD1所成角的余弦值为( )A. B.C. D.√B [在多面体A1B1C1D1ABC中,侧面四边形A1B1C1D1,AA1B1B,BB1C1C是三个全等且两两垂直的正方形,平面A1B1C1D1∥平面ABC,可把该几何体补成一个正方体ABCD-A1B1C1D1,设该正方体的棱长为2,如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,可得A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,0,1),C1(0,2,2),可得=(-2,2,0),=(-2,0,2),=(2,-2,-1),设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,可得y=1,z=1,所以n=(1,1,1),设直线EC1与平面ACD1所成的角为θ,其中θ∈,则sin θ=|cos 〈n,〉|===,则cos θ==,即直线EC1与平面ACD1所成角的余弦值为.故选B.]2.(2024·渭南一模)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,M是A1B1的中点,则直线CM与平面ABC所成角的正弦值为( )A. B.C. D.√B [在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,M是A1B1的中点,以A为坐标原点,在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴,AC所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,设BC=2,则C(0,2,0),M=,平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),设直线CM与平面ABC所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈,n〉|===.则直线CM与平面ABC所成角的正弦值为.故选B.]3.(2025·泸州合江县模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,AA1=AB,M是A1C1的中点,则AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为( )A. B.C. D.-√C [因为M是A1C1的中点,△A1B1C1为等边三角形,可得B1M⊥A1C1,又AA1⊥平面A1B1C1,B1M 平面A1B1C1,所以AA1⊥B1M,而AA1∩A1C1=A1,所以B1M⊥平面AA1C1C,以M为坐标原点,MB1,MC1所在直线分别为x,y轴,过M平行于AA1的直线为z轴建立空间直角坐标系,设AA1=AB=2,则M(0,0,0),A(0,-1,2),B(,0,2),C(0,1,2),B1(,0,0),则=(0,0,2),=(-,1,2),=(0,-1,2),设平面BB1C1C的法向量为n=(a,b,c),则取a=,则b=3,c=0,所以n=(,3,0),所以AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为|cos 〈,n〉|===.故选C.]4.(2025·龙岩模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,则直线PB与平面PCD所成角的正切值为( )A. B.C. D.2√C [取AD的中点O,连接PO,OC,∵PA=PD=,∴PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD,又平面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,∴OC⊥AD,故建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),∴=(1,1,-1),=(0,1,-1),=(-1,0,-1),设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则取n=(1,-1,-1),∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为|cos 〈,n〉|===,∴直线PB与平面PCD所成角的余弦值为=,∴直线PB与平面PCD所成角的正切值为=.故选C.]5.(2025·河池模拟)如图,AD⊥平面ABC,AC∥DE,∠BAC=,AB=AC=AD=2DE=2,P是AB的中点,连接PE.(1)证明:PE∥平面BCD;(2)求PE与平面BDE所成角的正弦值.[解] (1)证明:取BC的中点F,连接PF,DF,因为P,F分别为AB,BC的中点,则PF∥AC,且PF=AC,由题意可知DE∥AC,且DE=AC,则DE∥PF,且DE=PF,可知四边形DEPF为平行四边形,可得PE∥DF,又PE 平面BCD,DF 平面BCD,所以PE∥平面BCD.(2)因为AD⊥平面ABC,∠BAC=,所以以A为坐标原点,AB,AC,AD所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),D(0,0,2),E(0,-1,2),P(1,0,0),可得=(0,1,0),=(-2,0,2),=(-1,-1,2),设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=0,z=1,可得n=(1,0,1),设PE与平面BDE所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈n,〉|===,所以PE与平面BDE所成角的正弦值为.课后习题(四十七) 向量法求空间角(一)1.(人教B版选择性必修第一册P37练习AT3改编)已知直线l1的方向向量s1=(1,0,1)与直线l2的方向向量s2=(-1,2,-2),则l1和l2所成角的余弦值为( )A. B. C. D.√题号13524687910题号13524687910C [因为s1=(1,0,1),s2=(-1,2,-2),所以cos 〈s1,s2〉===-.又两直线所成角的取值范围为,所以l1和l2所成角的余弦值为.]√题号135246879102.(人教A版选择性必修第一册P41练习T3改编)在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,且∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2AD=1,则SC与平面ABCD所成角的余弦值为( )A. B.C. D.题号13524687910A [因为SA⊥平面ABCD,AD,AB 平面ABCD,所以SA⊥AD,SA⊥AB,又底面ABCD是直角梯形,且BC=2AD=1,∠ABC=90°,所以∠BAD=90°,即AD⊥AB.如图,以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,由SA=AB=BC=2AD=1,可得A(0,0,0),S(0,0,1),C(1,1,0),所以=(1,1,-1),因为SA⊥平面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,设SC与平面ABCD所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈〉|===,即直线SC与平面ABCD所成角的正弦值为,则SC与平面ABCD所成角的余弦值为=.故选A.]题号13524687910题号135246879103.(人教B版选择性必修第一册P48练习B T3改编)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线AD1与平面BDE所成角的正弦值为________. 题号13524687910 [由题意,以点D为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),所以=(2,2,0),=(0,2,1),=(-2,0,2),设平面BDE的法向量为m=(x,y,z),则即令x=1,得y=-1,z=2,则m=(1,-1,2)为平面BDE的一个法向量.设直线AD1与平面BDE所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈,m〉|===.]题号13524687910题号135246879104.(苏教版选择性必修第二册P45习题6.3T3改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,BB1的中点,求异面直线CM与D1N所成角的余弦值.题号13524687910[解] 以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则C(1,1,0),M,N,D1(0,1,1).∴==,∴·=·=-,又||=,||=,∴|cos〈〉|===.∴异面直线CM与D1N所成角的余弦值为.题号13524687910题号135246879105.(2024·长春绿园区期末)如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠CPA=∠CPB=60°,PA=PB=PC=2,点D,E,F满足==2=,则直线CE与DF所成的角为( )A.30° B.45°C.60° D.90°√题号13524687910D [设=a,=b,=c,则a·b=0,a·c=b·c=2×2×=2,===a-c,==)-=(a-b+c),所以·=a2-a·b-a·c+b·c-c2=0,故直线CE与DF所成的角为90°.故选D.]题号135246879106.(2025·连云港模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=3,E为B1C1的中点,则直线CE与平面BB1D1D所成角的余弦值为( )A. B.C. D.√题号13524687910B [建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,2,0),E(1,2,3),A(2,0,0),由题意,平面BB1D1D的法向量为=(-2,2,0),又=(1,0,3),设直线CE与平面BB1D1D所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈〉|===,则直线CE与平面BB1D1D所成角的余弦值为=.故选B.]题号135246879107.(2024·济南质检)如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为( )A. B.C. D.√题号13524687910A [不妨令CB=1,则CA=CC1=2,可得O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),∴=(0,2,-1),=(-2,2,1),∴|cos〈〉|===.∴直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为.]题号135246879108.(2025·汕头模拟)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,E,F分别是AB,BB1的中点,则直线EF与BC1所成角的大小为________,直线EF与底面ABC所成角的大小为________.60°45°题号1352468791060° 45° [以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=BC=AA1=2,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F (0,0,1),B(0,0,0),则=(0,-1,1),=(2,0,2),∴·=2,∴cos 〈〉==,∴EF与BC1所成的角为60°.∵FB⊥底面ABC,BF=BE=1,∴∠FEB为直线EF与底面ABC所成的角,则∠FEB=45°.]题号135246879109.(2024·榆林一模)在三棱锥A-BCD中,AB=AD,BC=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)若AB=BC=BD,平面ABD⊥平面BCD,求直线AB与平面ACD所成角的正弦值.题号13524687910[解] (1)证明:如图,取BD的中点O,连接OA,OC.因为AB=AD,BC=CD,所以OA⊥BD,OC⊥BD,又OA∩OC=O,OA,OC 平面OAC,所以BD⊥平面OAC.因为AC 平面OAC,所以AC⊥BD.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,OA 平面ABD,OA⊥BD,所以OA⊥平面BCD.以O为坐标原点,以OC,OD,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设BD=2,则D(0,1,0),B(0,-1,0),C(,0,0),A(0,0,),=(0,-1,-),=(0,1,-),=(,-1,0),设平面ACD的法向量为n=(x1,y1,z1),题号13524687910则取z1=1,则y1=,x1=1,可得n=(1,,1),设直线AB与平面ACD所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈,n〉|==,所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为.题号13524687910题号1352468791010.(2025·焦作模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB,AC,AA1两两垂直,AB=1,AC=,AA1=2,D为CC1的中点,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.(1)求证:A1C⊥BD;(2)求直线A1C与平面AB1C所成角的正弦值.题号13524687910[解] (1)证明:由题意知,A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,,0),D(0,,1),A1(0,0,2),B1(1,0,2),可得=(0,,-2),=(-1,,1),则·=0×(-1)++(-2)×1=0,所以⊥,即A1C⊥BD.(2)设平面AB1C的法向量为n=(x,y,z),由(1)可得=(0,,0),=(1,0,2),则即令z=1,可得n=(-2,0,1),题号13524687910设直线A1C与平面AB1C所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈,n〉|===.所以直线A1C与平面AB1C所成角的正弦值为.题号13524687910谢 谢 ! 展开更多...... 收起↑ 资源预览