资源简介 (共15张PPT)第七章 立体几何与空间向量规范答题四 空间向量与立体几何[典例] (15分)(2024·新高考Ⅱ卷)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=5,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满足==.将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4.(1)证明:EF⊥PD;(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.明条件,顺思路①由条件==可联想到共线向量定理.结合AD=5,AB=8可得AE=2,ED=3,AF=FB=4.又在△AEF中,知两边及夹角想到利用余弦定理,可知EF的长. ②在△AEF中,三边长已知且需证明垂直想到勾股定理EF2+AE2=AF2. ③由AE⊥EF,翻折前后垂直关系不变得EF⊥PE.明条件,顺思路④由EF⊥PE,EF⊥ED,又需证EF⊥PD联想线面垂直的判定定理,只需证EF⊥平面PED即可. ⑤求二面角的大小一般用空间向量,需建立空间直角坐标系→需找出两两垂直的三条线段→由第(1)问知EF⊥ED,猜想PE是否垂直于平面ABCD呢?明条件,顺思路⑥建系后可求出相关点P,D,F,A,C的坐标,进而求出相关向量的坐标(向量坐标=终点坐标-起点坐标) ⑦求法向量一般用待定系数法,其步骤为:设向量;选向量;列方程组;解方程组;赋非零值;得结论. ⑧求出法向量n1,n2后只需代入两平面夹角公式计算即可.平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos 〈n1,n2〉|=.规范答,抢得分[解] (1)由题意得,AE=AD=2,AF=AB=4,又∠BAD=30°,所以由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AF·cos 30°=4,故EF=2.又EF2+AE2=AF2,所以EF⊥AE.………………………………(3分)由EF⊥AE及翻折的性质知EF⊥PE,EF⊥ED,规范答,抢得分又ED∩PE=E,ED,PE 平面PED,所以EF⊥平面PED.…………(5分)又PD 平面PED,所以EF⊥PD.………………………………………(6分)(2)如图,连接CE,由题意知,DE=3,CD=3,∠CDE=90°,故CE==6.又PE=AE=2,PC=4,所以PE2+CE2=PC2,故PE⊥CE.又PE⊥EF,CE∩EF=E,CE,EF 平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.……………………………………………………………………(8分)规范答,抢得分EF,ED,PE两两垂直,故以E为原点,EF,ED,PE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),D(0,3,0),F (2,0,0),A(0,-2,0),C(3,3,0),规范答,抢得分连接PA,则=(0,3,-2),=(3,0,0),=(0,2,2),=(2,2,0).………………………………(10分)设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),规范答,抢得分则可取n1=(0,2,3),……(11分)设平面PBF即平面PAF的法向量为n2=(x2,y2,z2),则可取n2=(,-1,1).(12分)规范答,抢得分设平面PCD与平面PBF所成的二面角的平面角为θ,则cos θ=|cos 〈n1,n2〉|==.………………………………(14分)故平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为=.………………………………………………………………………(15分)点关键,防陷阱当已知条件出现较多的数量关系时,关键是将条件集中到某一三角形进行计算,有时需用正、余弦定理解决问题.一般地,数量关系明确,会涉及勾股定理证明垂直关系.由翻折想到:翻折前后哪些量没有变化,哪些量发生了变化?线面垂直的判定定理中需强调ED∩PE=E(两条相交直线)点关键,防陷阱易错:使用向量法求解,建系前应注意证明相交于一点的三条直线两两垂直.如本例中PE⊥平面ABCD需要证明后才能建系,否则扣分.正确掌握点的坐标的求法是使用向量法的前提与关键(有时可借助几何关系向量运算求点的坐标).思考:此时能否利用B点坐标求出平面PBF的法向量求解.点关键,防陷阱垂直于平面的直线的方向向量,称为平面的法向量;一个平面的法向量有无数个,且它们互相平行.题目中若有平面的垂线可直接写出平面的法向量.易错①:用向量法求二面角时,要特别注意向量的夹角与所求角的关系.易错②:求出二面角的余弦值,需转化为二面角的正弦值.谢 谢 ! 展开更多...... 收起↑ 资源预览