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第3课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[考试要求]　1．会推导两角差的余弦公式．2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
考点一　两角和与差的三角公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝sin αcos_β－cos_αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝．
[典例1]　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　)
A．－3m B．－
C． D．3m
(2)已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝，则tan β的值为________．
(1)A　(2)3　[(1)因为cos (α＋β)＝m，
所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m即cos αcos β＝－m，
从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m．
故选A．
(2)tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝3．]
反思领悟　本例(1)根据两角和的余弦可求cos αcos β，sin αsin β的关系，结合tan αtan β可求前者，进而求得cos (α－β)．本例(2)关键是分清T(α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知，谁是待求的．此类题目的解题方法可总结为“对照公式，缺什么求什么”．
巩固迁移1　(1)计算：＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)(2024·全国甲卷)已知＝，则tan ＝(　　)
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
(1)B　(2)B　[(1)
＝
＝
＝．
(2)因为＝，
所以＝，解得tan α＝1－，
所以tan ＝＝2－1．
故选B．]
考点二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
1．两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β．
(2)cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β．
(3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β)．
(4)tan αtan β＝1－＝－1．
2．辅助角公式
a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝．
[典例2]　(1)(2024·吉林五校联考)已知sin ＋cos α＝，则sin ＝(　　)
A． B．
C． D．－
(2)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan A tan B的值为(　　)
A． B．
C． D．
(3)＝________．
(4)已知函数f (x)＝sin x－3cos x，不等式f (x)≤a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
(1)C　(2)B　(3)4　(4)[，＋∞)　[(1)由题意得sin ＋cos α＝sin αcos －cos αsin ＋cos α＝sin α＋cos α＝sin ＝．
令t＝α＋，则α＝t－，sin t＝，
所以sin ＝sin
＝sin ＝cos 2t＝1－2sin2t＝．
(2)在△ABC中，∵C＝120°，∴tanC＝－．
∵A＋B＝π－C，∴tan (A＋B)＝－tan C＝．
∴tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)，
又∵tan A＋tan B＝，
∴tan A tan B＝．
(3)原式＝
＝
＝
＝＝4．
(4)f (x)＝sin x－3cos x
＝sin (x－φ)(其中tan φ＝－3)，
sin (x－φ)∈[－]，
所以f (x)∈[－]，
故a≥．]
反思领悟　三角函数公式的活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同、角之间的关系，创造条件逆用公式．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
(3)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
巩固迁移2　(1)(2025·苏州模拟)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°等于(　　)
A．cos 12° B．－cos 12°
C．－ D．
(2)(2025·合肥模拟)已知sin α＋cos α＝，则sin 等于(　　)
A．± B．
C．－ D．－
(3)(2025·山东济南模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(cos 15°＋sin 15°，cos 15°－sin 15°)，则tan α＝(　　)
A．2－ B．2＋
C． D．
(1)D　(2)C　(3)C　[(1)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°＝cos (24°＋36°)＝cos 60°＝．
(2)∵sin α＋cos α＝，
∴sin ＝，
∴sin ＝，
∴sin ＝－sin ＝－sin
＝－．
(3)由正切函数的定义得
tan α＝＝
＝＝tan(45°－15°)＝．]
【教用·备选题】
1．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
B　　[由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan (A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝．故选B．]
2．设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
D　[a＝cos50°cos 127°＋cos 40°cos 37°
＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°
＝cos (50°－127°)＝cos (－77°)＝cos 77°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)
＝sin 56°－cos 56°
＝sin (56°－45°)＝sin 11°，
c＝＝＝cos239°－sin239°
＝cos78°＝sin 12°．
因为当0°≤x≤90°时，函数y＝sin x单调递增，
所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a>c>b．故选D．]
考点三　角的变换问题
[典例3]　(2024·邵阳期末)若sin α＋cos α＝1，则cos ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
B　[由于sin α＋cos α＝2sin ＝1，
故sin ＝，
故cos ＝cos ＝sin
＝sin ＝．
故选B．]
反思领悟　(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋α＝，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＝等．
巩固迁移3　(1)(2024·常州期末)已知α∈，若cos ＝，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈，则cos (2α－β)＝________．
(1)D　(2)　[(1)因为α∈，可得α－∈，
又cos ＝>，
所以α－∈，sin ＝，
则sin α＝sin ＝sin cos
＝＝．
故选D．
(2)因为α，β∈，所以α－β∈，
又因为sin (α－β)＝，
所以cos (α－β)＝，因为cos α＝，所以sin α＝，cos (2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β)＝．]
1．(2024·北京怀柔区期末)sin 75°cos 15°－cos 75°sin 15°＝(　　)
A． B．
C．0 D．1
A　[sin 75°cos 15°－cos 75°sin 15°＝sin(75°－15°)＝sin 60°＝．故选A．]
2．(2024·海口期末)已知cos αsin β＝，tan α＝3tan β，则sin (α－β)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
C　[因为tan α＝3tan β，则＝，
即sin αcos β＝3sin βcos α＝，
则sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝＝．
故选C．]
3．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝________．
2　[(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2．]
4．若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________．
2　[tan ＝tan (α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．]
【教用·备选题】
1．(2024·南宁青秀区期末)已知sin (α－β)＝＝2，则sin αsin β＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
C　[因为＝＝＝＝2，
由于sin (α－β)＝，所以sin αsin β＝－．故选C．]
2．(多选)(2024·宿迁期中)已知角A，B，C是斜三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有(　　)
A．sin (A＋B)＝sin C
B．sin ＝sin
C．若sin A＞sin B，则A＞B
D．tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C
ACD　[在△ABC中，有A＋B＋C＝π，sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故A正确；
sin ＝sin ＝cos ，B错误；
由正弦定理得sin A＞sin B a＞b A＞B，故C正确；
斜三角形ABC中，A＋B＝π－C，
∴tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C，
又tan (A＋B)＝，
∴＝－tan C，
整理得tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C，故D正确．
故选ACD．]
3．(2025·锦州模拟)已知α，β为锐角，且cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β的值为________．
　[∵0<α<，0<β<，∴0＜α＋β＜π．
由cos (α＋β)＝－，得sin (α＋β)＝＝＝．
又cosα＝，∴sin α＝．
∴cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝＝．]
4．(2024·福州鼓楼区期末)在平面直角坐标系中，以Ox轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别交单位圆于A，B两点．已知点A的横坐标为，点B的纵坐标为．
(1)求sin (α＋β)；
(2)求2α－β的值．
[解]　由三角函数的定义，可得cos α＝，sin β＝，
因为α为锐角，β为钝角，
所以sin α＝＝＝，
cosβ＝－＝－＝－．
(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝－．
(2)因为α为锐角，且cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，
sin2α＝2sin αcos α＝2×＝，
所以<2α<π，
因为β为钝角，所以－<2α－β<，
所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝＝－，
所以2α－β＝－．
课后习题(二十六)　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．(人教A版必修第一册P220练习T5改编)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则(　　)
A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1
C　[由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，所以tan (α－β)＝－1，故选C．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P220练习T3改编)下列计算正确的是(　　)
A．sin 15°－cos 15°＝－
B．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝
C．sin cos ＝－
D．sin 105°＝
ABD　[对于A，sin 15°－cos 15°＝sin 15°cos 60°－cos 15°sin 60°＝sin (15°－60°)＝sin (－45°)＝－，故A正确；对于B，sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝，故B正确；对于C，sin cos ＝2＝2sin ＝2sin ＝－，故C错误；对于D，sin 105°＝sin (60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝＝，故D正确．故选ABD．]
3．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(2)改编)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝______．
　[∵tan 60°＝tan (10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝tan 10°tan 50°，∴原式＝tan 10°·tan 50°＋tan 10°tan 50°＝．]
4．(苏教版必修第二册P55例3改编)已知sin θ＋sin ＝1，则cos ＝________．
　[法一：由题知，sin θ＋sin ＝sin θ＋sin θ＋cos θ＝sin θ＋cos θ＝1，于是sin θ＋cos θ＝cos cos θ＋sin sin θ＝cos ＝．
法二：sin θ＋sin ＝sin ＋＝sin cos －cos sin ＋sin cos ＋cos sin ＝2sin cos ＝sin ＝1，从而cos ＝cos ＝sin ＝．]
5．(2024·北京东城区期末)cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
C　[cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°＝cos (30°＋15°)＝cos 45°＝．
故选C．]
6．(2024·遵义期末)已知tan α＝2tan β，sin (α－β)＝t，则sin αcos β＝(　　)
A．－2t B．2t
C．－t D．t
B　[因为tan α＝2tan β，
所以sin αcos β＝2sin βcos α，
因为sin (α－β)＝sin αcos β－sin βcos α＝sin α·cos β＝t，
则sin αcos β＝2t．故选B．]
7．(2024·德州期末)已知＝－1，则tan ＝(　　)
A． B．3
C．－ D．－3
A　[由＝－1，得cos α＝sin α－cos α，得2cos α＝sin α，
所以tan α＝2，所以tan ＝＝＝．
故选A．]
8．(多选)(2024·德州德城区月考)下列式子化简正确的是(　　)
A．cos 52°sin 82°－sin 52°sin 8°＝
B．cos 15°－sin 15°＝
C．＝
D．tan 32°＋tan 28°＋tan 32°tan 28°＝
ABD　[cos 52°sin 82°－sin 52°sin 8°＝cos 52°sin 82°－sin 52°cos 82°＝sin (82°－52°)＝sin 30°＝，A正确；cos 15°－sin 15°＝2cos (15°＋30°)＝2cos 45°＝，B正确；＝＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝，C错误；
因为tan (28°＋32°)＝＝，
所以tan 32°＋tan 28°＝tan 32°tan 28°，
tan 32°＋tan 28°＋tan 32°tan 28°＝，D正确．
故选ABD．]
9．(2024·沈阳期末)已知锐角α，β，且满足cos α＝，sin (β－α)＝，则sin β＝________．
　[因为α，β是锐角，所以0<α<，0<β<，又cos α＝且sin2α＋cos2α＝1，
所以sinα＝，－<－α<0，－<β－α<，sin (β－α)＝，
所以cos (β－α)＝＝，
sinβ＝sin [(β－α)＋α]＝sin (β－α)cos α＋cos (β－α)·sin α＝＝．]
10．(2024·台州期末)已知α，β∈，sin (α－β)＝，cos αcos β＝，则tan (α－β)＝________，cos (α＋β)＝________．
2　[由sin (α－β)＝，可得sin αcos β－cos αsin β＝，
两边分别除以cos αcos β＝，则tan α－tan β＝，
因为α，β∈，则α－β∈，
故cos (α－β)＝＝，
展开得cosαcos β＋sin αsin β＝，
因为cos αcos β＝，代入得sin αsin β＝，两式相除得tan α·tan β＝，
tan (α－β)＝＝＝2，
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＝．]
11．(2024·北海期末)已知角α，β∈(0，π)，tan (α＋β)＝，cos β＝．
(1)求的值；
(2)求tan (2α＋β)的值．
[解]　因为α，β∈(0，π)，tan (α＋β)＝，cos β＝，
所以sin β＝，tan β＝，
所以tan α＝tan (α＋β－β)＝＝＝－．
(1)＝＝＝－．
(2)tan (2α＋β)＝tan (α＋β＋α)
＝＝＝．
12．(2024·天水秦州区月考)已知sin α＝－，α∈．
(1)求cos 的值；
(2)若sin (α＋β)＝－，β∈，求β的值．
[解]　(1)由sin2α＋cos2α＝1，sinα＝－，
α∈，可得cos α＝，
所以cos ＝cos αcos －sin αsin ＝＝．
(2)由α∈，β∈，可得α＋β∈，
故cos (α＋β)＝＝．
从而cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝＝，
由β∈，可得β＝．
1/1第3课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[考试要求]　1．会推导两角差的余弦公式．2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
考点一　两角和与差的三角公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos (α－β)＝__________________________________________；
(2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝__________________________________________；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝__________________________________________；
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝__________________________________________；
(5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝．
[典例1]　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　)
A．－3m B．－
C． D．3m
(2)已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝，则tan β的值为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)根据两角和的余弦可求cos αcos β，sin αsin β的关系，结合tan αtan β可求前者，进而求得cos (α－β)．本例(2)关键是分清T(α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知，谁是待求的．此类题目的解题方法可总结为“对照公式，缺什么求什么”．
巩固迁移1　(1)计算：＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)(2024·全国甲卷)已知＝，则tan ＝(　　)
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
考点二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
1．两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β．
(2)cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β．
(3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β)．
(4)tan αtan β＝1－＝－1．
2．辅助角公式
a sin α＋b cos α＝__________________，其中sin φ＝，cos φ＝．
[典例2]　(1)(2024·吉林五校联考)已知sin ＋cos α＝，则sin ＝(　　)
A． B．
C． D．－
(2)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan A tan B的值为(　　)
A． B．
C． D．
(3)＝________．
(4)已知函数f (x)＝sin x－3cos x，不等式f (x)≤a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　三角函数公式的活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同、角之间的关系，创造条件逆用公式．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
(3)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
巩固迁移2　(1)(2025·苏州模拟)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°等于(　　)
A．cos 12° B．－cos 12°
C．－ D．
(2)(2025·合肥模拟)已知sin α＋cos α＝，则sin 等于(　　)
A．± B．
C．－ D．－
(3)(2025·山东济南模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(cos 15°＋sin 15°，cos 15°－sin 15°)，则tan α＝(　　)
A．2－ B．2＋
C． D．
考点三　角的变换问题
[典例3]　(2024·邵阳期末)若sin α＋cos α＝1，则cos ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋α＝，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＝等．
巩固迁移3　(1)(2024·常州期末)已知α∈，若cos ＝，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈，则cos (2α－β)＝________．
1．(2024·北京怀柔区期末)sin 75°cos 15°－cos 75°sin 15°＝(　　)
A． B．
C．0 D．1
2．(2024·海口期末)已知cos αsin β＝，tan α＝3tan β，则sin (α－β)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
3．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝________．
4．若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________．
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