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第6课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
[考试要求]　1．结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
考点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
[典例1]　(1)(2022·浙江卷)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(2)(苏教版必修第一册P224本章测试T9)将函数y＝sin x图象上每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为(　　)
A．y＝sin 　　　　　 B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
(1)D　(2)C　[(1)y＝2sin ＝2sin 3，故选D．
(2)将函数y＝sin x的图象上每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin 2＝sin 的图象．故选C．]
反思领悟　(1)对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向．
(2)注意两种变换顺序的区别：先平移再伸缩，平移的量是|φ|个单位长度；先伸缩再平移，平移的量是(ω>0)个单位长度．
巩固迁移1　(多选)为了得到函数y＝－cos 的图象，只要将函数y＝－cos x的图象(　　)
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
AC　[将函数y＝－cos x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝－cos 5x的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝－cos 5＝－cos 的图象，故A正确，B错误；将函数y＝－cos x的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到y＝－cos 的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得到y＝－cos 的图象，故C正确，D错误．故选AC．]
【教用·备选题】
1．(2025·福建武夷山模拟)把y＝sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移个单位长度，得到y＝f (x)的图象， 则(　　)
A．f (x)＝sin
B．f (x)＝sin
C．f (x)＝sin
D．f (x)＝sin
C　[把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，可得函数y＝sin 2x的图象，再把所得图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin ＝sin 的图象，所以f (x)＝sin ．故选C．]
2．(2025·开封模拟)设ω>0，将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
D　[将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，
故为函数y＝sin 的周期的整数倍，即＝(k∈N*)，则ω＝12k(k∈N*)，故当k＝1时，ω取得最小值12．]
3．要得到函数y＝cos 的图象，可以把函数y＝sin 的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
D　[函数y＝cos
＝sin
＝sin
＝sin ，
所以只需将y＝sin 的图象向左平移个单位长度就可以得到y＝cos 的图象．]
考点二　确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
1．简谐运动的有关概念
y＝A sin (ωx ＋φ)(A>0， ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2．用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时找的五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
[典例2]　(1)(人教A版必修第一册P241习题5.6T4改编)函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝______，φ＝________．
(2)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式为____________．
(1)2　－　(2)f (x)＝sin 　[(1)由题图可知，＝＝，得ω＝2．
又函数的图象过点，f (x)＝2sin (2x＋φ)，故2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，得φ＝2kπ－，k∈Z，
∵－＜φ＜，∴φ＝－．
(2)由题图可知A＝，
法一：＝＝，所以T＝π，故ω＝2，
因此f (x)＝sin (2x＋φ)，
又对应五点法作图中的第三个点，
因此2×＋φ＝π，
所以φ＝，故f (x)＝sin ．
法二：以x＝为第二个“零点”，为最小值点，列方程组
解得故f (x)＝sin ．]
反思领悟　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b．确定函数的最大值M和最小值m，则
A＝，b＝．
(2)求ω．确定函数的最小正周期T，则ω＝．
(3)求φ．常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
巩固迁移2　(2024·西安期末)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．A＝1
B．ω＝1　
C．f ＝2
D．f (x)的最小正周期为
C　[由题图可知A＞1，故A错误；
由题图知，＝＝，所以T＝π，ω＝＝＝2，故B，D错误；
因为图象过点，且在单调递减区间上，
所以sin ＝0，
即＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
解得φ＝2kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝，即f (x)＝A sin ，
又图象过点(0，1)，所以A sin ＝1，即A＝2，
所以f (x)＝2sin ，
所以f＝2sin ＝2，故C正确．
故选C．]
考点三　三角函数的图象与性质的综合应用
　图象与性质的综合应用
[典例3]　已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2．
(1)求f (x)的解析式；
(2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)求f (x)图象的对称轴方程及单调递增区间．
[解]　(1)因为函数f (x)的最小正周期是π，
所以ω＝2．
又因为当x＝时，f (x)取得最大值2，
所以A＝2，2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
解得φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f (x)＝2sin ．
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈．
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f (x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象如图所示．
(3)由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，
所以f (x)图象的对称轴为直线x＝，k∈Z．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f (x)的单调递增区间为(k∈Z)．
链接·2025高考试题
(2025·天津卷)已知f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)在上单调递增，且x＝为f(x)图象的一条对称轴，是f(x)图象的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　)
A．－ B．－
C．－1 D．0
A　[因为f(x)在上单调递增且x＝为f(x)图象的一条对称轴，所以，f＝sin ＝1，得0＜ω≤2，且ω＋φ＝＋2k1π(k1∈Z)　①.因为是f(x)图象的一个对称中心，所以f＝sin ＝0，得ω＋φ＝k2π(k2∈Z)　②，由①②得ω＝－2＋4(k2－2k1)(k1，k2∈Z)，结合0＜ω≤2，得ω＝2，则φ＝＋2k1π(k1∈Z)，又－π＜φ＜π，所以φ＝，故f(x)＝sin .当x∈时，2x＋∈，所以f(x)的最小值为f＝sin ＝－.故选A.]
反思领悟　本例(2)作y＝2sin 的简图关键是列表时通过变量代换z＝2x＋计算点的坐标．本例(3)关键是将2x＋视为一个整体，利用换元法和数形结合思想求解．
巩固迁移3　(2024·郑州市月考)某同学用“五点法”画函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝A sin (ωx＋φ) 0 3 0 0
(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f (x)的解析式(直接写出结果即可)；
(2)根据表格中的数据作出f (x)在一个周期内的图象；
(3)求函数f (x)在区间上的值域．
[解]　(1)由题表知A＝3，＝＝，所以T＝π，ω＝＝2，
2×＋φ＝，∴φ＝－，
∴f (x)＝3sin ，则数据补全如下表．
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝A sin (ωx＋φ) 0 3 0 －3 0
(2)由(1)可知，f (x)在一个周期内的图象如图所示．
(3)令t＝2x－，x∈，
则t∈，
∴f (x)最值可转化为y＝3sin t在t∈上的最值，
y＝sin x在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴y＝3sin t在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴y＝3sin t的最小值为3sin ＝－3，最大值为3sin ＝，
当t＝－时，x＝－；
当t＝－时，x＝－．
故当x＝－时，f (x)max＝；当x＝－时，f (x)min＝－3．
∴函数f (x)在区间上的值域为．
　三角函数模型的应用
[典例4]　(2024·郑州期末)如图，这是一半径为4.8 m的水轮示意图，水轮圆心O距离水面2.4 m，已知水轮每60 s逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时(图中点P0)开始计时，则(　　)
A．点P距离水面的高度h(m)与t(s)之间的函数关系式为h＝4.8sin
B．点P第一次到达最高点需要10 s
C．在水轮转动的一圈内，有10 s的时间，点P距离水面的高度不低于4.8 m
D．当水轮转动50 s时，点P在水面下方，距离水面2.4 m
D　[设点P距离水面的高度h和t的函数解析式为h＝A sin (ωt＋φ)＋B，
由题意知，A＝4.8，B＝2.4，T＝60，所以ω＝＝，
所以h＝4.8sin ＋2.4，
当t＝0时，h＝0，所以4.8sin φ＋2.4＝0，解得sin φ＝－，
又因为|φ|＜，所以φ＝－，
所以h＝4.8sin ＋2.4，选项A错误；
令t－＝，解得t＝20，所以点P第一次到达最高点需要20 s，选项B错误；
令4.8sin ＋2.4≥4.8，其中0≤t≤60，解得10≤t≤30，
所以在水轮转动的一圈内，有20 s的时间，点P距离水面的高度不低于4.8 m，选项C错误；
当t＝50时，h＝4.8sin ＋2.4＝－2.4，所以点P在水面下方，距离水面2.4 m，选项D正确．
故选D．]
反思领悟　三角函数模型在实际应用问题中的求解方法
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应关系，建立三角函数关系式．
(2)与角度有关的呈周期性变化问题常转化为三角函数模型，求解时需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，另外，利用三角函数模型解决问题时，若已知条件中没有坐标系，需要先建立直角坐标系．
巩固迁移4　据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为______元．
6 000　[作出函数简图如图，三角函数模型为y＝A sin (ωx＋φ)＋B，由题意知A＝×(9 000－5 000)＝2 000，
B＝×(9 000＋5 000)＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝．将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，
∴φ＝0，
故f (x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
∴f (7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000(元)．
故7月份的出厂价格为6 000元．]
与三角函数有关的零点(或与三角函数有关的方程的根)的个数或零点的和的问题，常结合三角函数图象，利用数形结合思想直观求解．
[典例]　(多选)若关于x的方程2cos2x－sin2x＝－m在区间上有且只有一个解，则m的值可能为(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
AC　[2cos2x－sin2x＝－m，整理可得cos ＝－，令t＝2x＋，因为x∈，则t∈．
所以cos t＝－在区间上有且只有一个解，即y＝cos t的图象和直线y＝－只有1个交点．
由图可知，－＝1或0≤－<，解得m＝－2或－1反思领悟　本例中方程有且只有一解实质是y＝cos 的图象与直线y＝－在上只有一个交点，画出y＝cos 的简图，结合图象利用数形结合可直观求解．
应用体验　(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
C　[因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示．
由图可知，两函数图象有6个交点．故选C．]
【教用·备选题】
(2025·广州模拟)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)，其中A>0，ω>0，0<φ<π，函数f (x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若将函数f (x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
[解]　(1)由题意知函数f (x)的最小正周期为2×＝，
解得ω＝4，
又函数f (x)在x＝处取到最小值－2，
则A＝2，且f＝－2，
即＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0，可得φ＝，
所以f (x)＝2sin ．
(2)函数f (x)＝2sin 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得y＝2sin 的图象，
再向左平移个单位长度，
可得g(x)＝2sin ＝2cos 2x的图象，
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)因为方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，
作出函数g(x)＝2cos 2x，x∈的图象，如图所示．
由图可知－2解得－4所以m的取值范围为－41．(2024·娄底涟源市期末)将函数f (x)＝3sin 的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则y＝g(x)的解析式是(　　)
A．g(x)＝3sin
B．g(x)＝3sin
C．g(x)＝－3sin
D．g(x)＝3sin
C　[函数f (x)＝3sin 的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)＝3sin ＝3sin ＝3sin ＝－3sin 的图象．
故选C．]
2．(2024·北京石景山区期末)函数y＝A sin (ωx－φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则其解析式为(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝sin
B　[由题图可得，函数的最大值为2，最小值为－2，故A＝2，
又＝＝，故T＝＝π，解得ω＝2，
所以y＝2sin (2x－φ)，因为函数图象过点，
所以2sin ＝2，则－φ＝2kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝－2kπ＋(k∈Z)，因为0＜φ＜π，所以k＝0时，φ＝，
故y＝2sin ．故选B．]
3．(2024·大连期末)将函数f (x)＝sin 2x图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴为(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝
A　[函数f (x)＝sin 2x图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin 2＝sin 的图象，
令2x－＝kπ＋，k∈Z，则x＝kπ＋，k∈Z，
令k＝－1，则x＝－．故选A．]
4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f (t)＝2sin ，其中f (t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m．
1　[当t＝12时，f (12)＝2sin ＝2sin ＝1．]
【教用·备选题】
1．(2024·北京东城区期末)将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于点(φ，0)对称，则|φ|的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
A　[将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin ＝sin ＝－sin 的图象，
令2x＋＝kπ，k∈Z，则x＝kπ－，k∈Z，因为y＝－sin 的图象关于点(φ，0)对称，
令k＝0，则|φ|的最小值为．故选A．]
2．(2024·成都期末)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是(　　)
A．函数f (x)的最小正周期是π
B．函数f (x)的图象关于直线x＝对称
C．函数f (x)的图象关于点对称
D．函数f (x)在区间上单调递增
D　[设函数f (x)的最小正周期为T，则由函数图象可得T＝，
解得T＝＝π，故A正确；所以ω＝2，又由函数图象可得A＝2，
所以f (x)＝2sin (2x＋φ)，
由f ＝2sin ＝2，可得sin ＝1，
所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|＜，
所以φ＝－，可得f (x)＝2sin ，
由于f ＝2，可得函数f (x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；
由f ＝2sin ＝0，故C正确；
若x∈，可得2x－∈，
因为＜＜，
所以函数f (x)在区间上不单调递增，故D错误．故选D．]
3．(苏教版必修第一册P217习题7.4T5)如图，摩天轮的半径为40 m，点O距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每30 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．
(1)试确定在时刻t(单位：min)时点P距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70 m
[解]　(1)设在时刻t(单位：min)时点P距离地面的高度为h(单位：m)，以点O为原点，过点O且与地面平行的直线为t轴，过点O且垂直于t轴的直线为h轴，建立平面直角坐标系Oth，如图，
设h＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
易知A＝40，最小正周期T＝30，b＝50，则|ω|＝＝，又ω>0，所以ω＝，
当t＝0时，h＝10，则40sin φ＋50＝10，
则sin φ＝－1，故φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以h＝40sin ＋50(k∈Z，t≥0)，
即h＝40sin ＋50(t≥0)．
所以t时刻点P距离地面的高度h＝40sin ＋50(t≥0)．
(2)令40sin ＋50>70，
得sin >，
则故摩天轮转动的一圈内，有10 min的时间点P距离地面超过70 m．
课后习题(二十九)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
1．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上所有的点(　　)
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D　[因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos的图象．故选D．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P249习题5.7T2改编)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t s时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝2sin 确定，以t为横坐标，h为纵坐标，则下列说法正确的是(　　)
A．小球在开始振动时的位置是(0，)
B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2 cm
C．经过2 s小球往复运动一次
D．每秒钟小球能往复振动次
ABD　[当t＝0时，h＝2sin ＝，故小球在开始振动时的位置是(0，)，A正确；由解析式可得振幅A＝2，故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2 cm，B正确；易得函数的最小正周期T＝2π，故小球往复运动一次需2π s，C错误；由周期可得频率为，即每秒钟小球能往复振动次，D正确．故选ABD．]
3．(人教B版必修第三册P71复习题A组T15改编)如图，某摩天轮最高点距离地面的高度为120 m，转盘直径为110 m，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30 min．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是(　　)
A．H＝55cos ＋65(0≤t≤30)
B．H＝55sin ＋65(0≤t≤30)
C．H＝－55cos ＋65(0≤t≤30)
D．H＝－55sin ＋65(0≤t≤30)
B　[根据题意，设H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(0≤t≤30)，因为该摩天轮最高点距离地面的高度为120 m，转盘直径为110 m，所以该摩天轮最低点距离地面的高度为10 m，所以解得因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30 min，所以最小正周期T＝＝30，解得ω＝，因为t＝0时，H(0)＝10，所以10＝55sin φ＋65，即sin φ＝－1，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，取k＝0，此时φ＝－，所以H(t)＝55sin ＋65(0≤t≤30)．故选B．]
4．(人教B版必修第三册P50练习A T2改编)函数y＝f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图，其中A>0，ω>0，|φ|<，则f＝________．
　[由题图知A＝，最小正周期T＝＝π，∴|ω|＝＝2，又ω>0，∴ω＝2．又图象过点，且－是函数的上升零点，
∴－×2＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝，∴f (x)＝sin ，则f＝sin ＝sin ＝．]
5．(2024·天津中学月考)音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝·sin ωt．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为(　　)
A．200 B．400
C．200π D．400π
D　[由题图可得，ω>0，T＝4×＝，
即＝，则ω＝400π．故选D．]
6．(2024·西安新城区期末)将函数f (x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝g(x)的图象，则g(x)＝(　　)
A．－3cos 2x B．3cos 2x
C．－3sin D．3sin
B　[将函数f (x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，
可得y＝sin 2＝sin ＝cos 2x的图象，
再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得g(x)＝3cos 2x的图象．
故选B．]
7．(2025·福州模拟)已知P是半径为3 cm的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向做圆周运动，角速度为 rad/s．如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系Oxy，若∠P0Ox＝，则点P的纵坐标y关于时间t(单位：s)的函数关系式为(　　)
A．y＝3sin B．y＝3sin
C．y＝3sin D．y＝3sin
D　[设点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为y＝A sin ，由题意可得A＝3，φ＝－， t s时，射线OP可视为角的终边，则y＝3sin ．故选D．]
8．(多选)(2024·桂林期末)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则(　　)
A．A＝2
B．ω＝2
C．φ＝－
D．将函数f (x)图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度(纵坐标不变)得到的函数图象关于y轴对称
AC　[对于A，因为f (x)＝A sin (ωx＋φ)，由题图知A＝＝2，故A正确；
对于B，设函数的最小正周期为T，由题图知T＝＝，解得T＝，则ω＝＝3，故B错误；
对于C，由题图知函数图象经过点，
则2sin ＝0，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，
因为|φ|<，得φ＝－，故C正确；
对于D，由A，B，C得f (x)＝2sin ，将函数f (x)＝2sin 图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度(纵坐标不变)得到函数y＝2sin＝2sin ＝－2sin 的图象，不是偶函数，图象不关于y轴对称，故D错误．
故选AC．]
9．(2024·泸州龙马潭区期末)已知将函数f (x)＝sin x cos x＋cos2x－的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则g(x)在上的值域为________．
　[将函数f (x)＝sinx cos x＋cos2x－＝sin2x＋＝sin 的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)＝sin ＝－sin 2x 的图象，
在上，2x∈，sin 2x∈，
∴－sin 2x∈，
故g(x)在上的值域为．]
10．(2025·北京丰台区模拟)将函数f (x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．
　[将函数f (x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，
可得g(x)＝cos (2x＋2φ)的图象，由函数g(x)的图象关于原点对称，
可得g(0)＝cos 2φ＝0，所以2φ＝＋kπ，k∈N，φ＝，k∈N，当k＝0时，φ＝．]
11．(2024·渭南韩城市期末)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示．
(1)求f (x)的解析式；
(2)先将f (x)图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，最后将图象向上平移1个单位长度后得到g(x)的图象，求函数g(x)在x∈上的最大值．
[解]　(1)由题图得A＝2，＝＝，即T＝＝π，
∴ω＝2，∴f (x)＝2cos (2x＋φ)，
∵f＝2cos ＝2，
∴cos ＝1，∴＋φ＝2kπ，k∈Z，
又∵|φ|＜π，∴φ＝－，
∴f (x)＝2cos ．
(2)由题意得g(x)＝f＋1＝×2cos＋1，
化简得g(x)＝－cos 2x＋1，
当x∈时，2x∈，当2x＝π，即x＝时，g(x)有最大值，最大值为g＝－(－1)＋1＝2．
12．(2025·齐齐哈尔建华区模拟)某同学用“五点法”画函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
f (x) 0 2 0 －2 0
(1)根据以上表格中的数据求函数f (x)的解析式；
(2)将函数f (x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．当x∈时，关于x的方程g(x)＝a恰有两个实数根，求实数a的取值范围．
[解]　(1)由题表中数据可得A＝2，因为＝＝，所以T＝π，则ω＝＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝，则φ＝－，所以f (x)＝2sin ．
(2)将f (x)＝2sin 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数y＝2sin 的图象，
再将y＝2sin 的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，
则g(x)＝2sin ＝2sin ＝2cos x，
如图，当x∈时，方程g(x)＝a恰有两个实数根，等价于函数g(x)＝2cos x，x∈的图象与直线y＝a有两个交点，
所以实数a的取值范围为[，2)．
1/1第6课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
[考试要求]　1．结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
考点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
[典例1]　(1)(2022·浙江卷)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(2)(苏教版必修第一册P224本章测试T9)将函数y＝sin x图象上每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为(　　)
A．y＝sin 　　　　　 B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　(1)对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向．
(2)注意两种变换顺序的区别：先平移再伸缩，平移的量是|φ|个单位长度；先伸缩再平移，平移的量是(ω>0)个单位长度．
巩固迁移1　(多选)为了得到函数y＝－cos 的图象，只要将函数y＝－cos x的图象(　　)
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
考点二　确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
1．简谐运动的有关概念
y＝A sin (ωx ＋φ)(A>0， ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ________ __
2．用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时找的五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝A sin (ωx＋φ) __ A 0 ____ 0
[典例2]　(1)(人教A版必修第一册P241习题5.6T4改编)函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝______，φ＝________．
(2)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式为____________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b．确定函数的最大值M和最小值m，则
A＝，b＝．
(2)求ω．确定函数的最小正周期T，则ω＝．
(3)求φ．常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
巩固迁移2　(2024·西安期末)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．A＝1
B．ω＝1　
C．f ＝2
D．f (x)的最小正周期为
考点三　三角函数的图象与性质的综合应用
　图象与性质的综合应用
[典例3]　已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2．
(1)求f (x)的解析式；
(2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)求f (x)图象的对称轴方程及单调递增区间．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(2)作y＝2sin 的简图关键是列表时通过变量代换z＝2x＋计算点的坐标．本例(3)关键是将2x＋视为一个整体，利用换元法和数形结合思想求解．
巩固迁移3　(2024·郑州市月考)某同学用“五点法”画函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝A sin (ωx＋φ) 0 3 0 0
(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f (x)的解析式(直接写出结果即可)；
(2)根据表格中的数据作出f (x)在一个周期内的图象；
(3)求函数f (x)在区间上的值域．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　三角函数模型的应用
[典例4]　(2024·郑州期末)如图，这是一半径为4.8 m的水轮示意图，水轮圆心O距离水面2.4 m，已知水轮每60 s逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时(图中点P0)开始计时，则(　　)
A．点P距离水面的高度h(m)与t(s)之间的函数关系式为h＝4.8sin
B．点P第一次到达最高点需要10 s
C．在水轮转动的一圈内，有10 s的时间，点P距离水面的高度不低于4.8 m
D．当水轮转动50 s时，点P在水面下方，距离水面2.4 m
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　三角函数模型在实际应用问题中的求解方法
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应关系，建立三角函数关系式．
(2)与角度有关的呈周期性变化问题常转化为三角函数模型，求解时需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，另外，利用三角函数模型解决问题时，若已知条件中没有坐标系，需要先建立直角坐标系．
巩固迁移4　据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为______元．
与三角函数有关的零点(或与三角函数有关的方程的根)的个数或零点的和的问题，常结合三角函数图象，利用数形结合思想直观求解．
[典例]　(多选)若关于x的方程2cos2x－sin2x＝－m在区间上有且只有一个解，则m的值可能为(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例中方程有且只有一解实质是y＝cos 的图象与直线y＝－在上只有一个交点，画出y＝cos 的简图，结合图象利用数形结合可直观求解．
应用体验　(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
1．(2024·娄底涟源市期末)将函数f (x)＝3sin 的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则y＝g(x)的解析式是(　　)
A．g(x)＝3sin
B．g(x)＝3sin
C．g(x)＝－3sin
D．g(x)＝3sin
2．(2024·北京石景山区期末)函数y＝A sin (ωx－φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则其解析式为(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝sin
3．(2024·大连期末)将函数f (x)＝sin 2x图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴为(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝
4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f (t)＝2sin ，其中f (t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m．
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