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阶段提能(七)　三角函数的图象与性质
1．(湘教版必修第一册P208T18)已知y＝a－b cos 的最大值为6，最小值为－2，求实数a，b的值．
[解]　由题意，－1≤cos ≤1，
当b>0时，∴
当b<0时，∴
故a＝2，b＝4或a＝2，b＝－4．
2．(人教B版必修第三册P66T8)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，写出与之对应的一个函数解析式．
[解]　由题图可以看出A＝＝，
B＝＝，
T＝2＝，
∴|ω|＝＝．
当ω>0时，函数的解析式为y＝sin ，
∵在函数图象上，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z．
∵|φ|<π，∴φ＝，∴y＝sin ．
当ω<0时，函数的解析式为y＝－sin ，
∵在函数图象上，
∴－φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝－2kπ，k∈Z．
∵|φ|<π，∴φ＝．
∴y＝－sin ．
综上，所求的一个函数解析式为y＝sin 或y＝－sin ．
3．(人教A版必修第一册P255T21)已知函数f (x)＝sin ＋sin ＋cos x＋a的最大值为1．
(1)求常数a的值；
(2)求函数f (x)的单调递减区间；
(3)求使f (x)≥0成立的x的取值集合．
[解]　(1)因为函数f (x)＝sin ＋sin ＋cos x＋a＝sin x cos ＋cos x sin ＋sin x·cos －cos x sin ＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a＝2sin ＋a，由f (x)的最大值为1，则2＋a＝1，a＝－1．
(2)由(1)知，f (x)＝2sin －1，由正弦曲线知，＋2kπ≤x＋＋2kπ，k∈Z，即＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数f (x)的单调递减区间为，k∈Z．
(3)因为f (x)≥0，所以2sin －1≥0，sin ，则＋2kπ≤x＋＋2kπ，k∈Z，解得2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以使f (x)≥0成立的x的取值集合为．
4．(北师大版必修第二册P75C组T2)某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m时就是安全的．
(1)若有以下几个函数模型：y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)，y＝A sin ωt＋K，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式；
(2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
[解]　(1)函数y＝A sin ωt＋K可以更好地刻画y与t之间的对应关系．
不妨令A>0，ω>0，
根据题表数据可得∴
易得最小正周期T＝15－3＝12，
∴|ω|＝＝，又ω>0，
∴ω＝，
∴y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意知y≥4.5＋7，
即3sin t＋10≥11.5(0≤t≤24)，
∴sin t≥，0≤t≤24，
∴t∈(k∈Z)，
∴t∈[12k＋1，12k＋5](k∈Z)，
又∵0≤t≤24，∴k＝0，1，
∴t∈[1，5]∪[13，17]，
∴该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
5．(2024·上海卷)下列函数中，最小正周期是2π的是(　　)
A．y＝sin x＋cos x B．y＝sin x cos x
C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sin2x－cos2x
A　[对于A，y＝sinx＋cos x＝sin ，其最小正周期为2π，A正确；对于B，y＝sin x cos x＝sin 2x，其最小正周期为π，B错误；对于C，y＝sin2x＋cos2x＝1，为常值函数，不存在最小正周期，C错误；对于D，y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，其最小正周期为π，D错误．故选A．]
6．(2024·天津卷)已知函数f (x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在的最小值为(　　)
A．－ B．－
C．0 D．
A　[f (x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π，得ω＝，
即f (x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈，sin 2x∈，
所以f (x)min＝－．
故选A．]
7．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
D　[由题意得＝，解得ω＝2，易知x＝是f (x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f (x)＝sin ＝sin ，f＝＝sin ＝．故选D．]
8．(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　)
A．f (x)与g(x)有相同的零点
B．f (x)与g(x)有相同的最大值
C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴
BC　[A选项，令f (x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f (x)的零点，
令g(x)＝sin ＝0，解得x＝，k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f (x)，g(x)的零点不同，A选项错误；
B选项，显然f (x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；
C选项，f (x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质，f (x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
g(x)的图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
显然f (x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．
故选BC．]
9．(2023·天津卷)已知函数f (x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为(　　)
A．f (x)＝sin x B．f (x)＝cos x
C．f (x)＝sin x D．f (x)＝cos x
B　[对于A，f (x)＝sin x，最小正周期为＝4，因为f (2)＝sin π＝0，所以函数f (x)＝sin x的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f (x)＝cos x，最小正周期为＝4，因为f (2)＝cos π＝－1，所以函数f (x)＝cos x的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin x和y＝cos x的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D．故选B．]
10．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f (x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　)
A．1 B．
C． D．3
A　[由函数的最小正周期T满足＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3，
又因为函数图象关于点中心对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2，
所以ω＝－k，k∈Z，
所以ω＝，f (x)＝sin ＋2，
所以f＝sin ＋2＝1．
故选A．]
11．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________．
－　[对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点，所以ω＋φ＝2π．　①
由题知|AB|＝xB－xA＝，又y＝，则两式相减，得ω(xB－xA)＝，
即ω＝，解得ω＝4．
代入①，得φ＝－，所以f (π)＝sin ＝－sin ＝－．]
12．(2023·北京卷)已知函数f (x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ．
(1)若f (0)＝－，求φ的值．
(2)若f (x)在区间上单调递增，且f＝1，再从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f (x)存在，求ω，φ的值．
条件①：f＝；②：f＝－1；③：f (x)在上单调递减．
[解]　(1)因为f (x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，所以f (0)＝sin (ω·0)cos φ＋cos (ω·0)sin φ＝sin φ＝－，因为|φ|<，所以φ＝－．
(2)因为f (x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin (ωx＋φ)，所以f (x)的最大值为1，最小值为－1．
若选条件①：因为f (x)＝sin (ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以f＝无解，故条件①不能使函数f (x)存在．
若选条件②：因为f (x)在上单调递增，且f＝1，f＝－1，
所以＝＝π，所以T＝2π，ω＝＝1，所以f (x)＝sin (x＋φ)．
又因为f＝－1，所以sin ＝－1，
所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z．
因为|φ|<，所以φ＝－．所以ω＝1，φ＝－．
若选条件③：因为f (x)在上单调递增，在上单调递减，所以f (x)在x＝－处取得最小值－1，即f＝－1．以下与条件②相同．
【教用·备选题】
1．(经典题)下列区间中，函数f (x)＝7sin 单调递增的区间是(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
A　[法一(常规求法)：令－＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．取k＝0，则－≤x≤．因为?，所以区间是函数f (x)的单调递增区间．故选A．
法二(判断单调性法)：当0＜x＜时，－＜x－＜，所以f (x)在上单调递增，故A正确；当＜x＜π时，＜x－＜，所以f (x)在上不单调，故B不正确；当π＜x＜时，＜x－＜，所以f (x)在上单调递减，故C不正确；当＜x＜2π时，＜x－＜，所以f (x)在上不单调，故D不正确．故选A．]
2．(2024·上海市闵行区月考)已知x∈[0，π]，则函数f (x)＝sin x＋sin 的值域是________．
[－1，2]　[f (x)＝sin x＋sin
＝sin x＋cos x＝2sin ，
∵x∈[0，π]，
∴x＋∈，
∴sin ∈，
∴f (x)∈[－1，2]．]
3．(经典题)已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________．
－　[法一：由题图可知T＝＝(T为f (x)的最小正周期)，即T＝π，取ω>0，所以＝π，即ω＝2，
故f (x)＝2cos (2x＋φ)．点可看作“五点(画图)法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，
即f (x)＝2cos ，
所以f＝2cos ＝－．
法二：由题意知，T＝＝(T为f (x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2．又点在函数f (x)的图象上，所以2cos ＝0，所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－，所以f (x)＝2cos ，所以f＝2cos ＝－2cos ＝－．]
1/1阶段提能(七)　三角函数的图象与性质
1．(湘教版必修第一册P208T18)已知y＝a－b cos 的最大值为6，最小值为－2，求实数a，b的值．
2．(人教B版必修第三册P66T8)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，写出与之对应的一个函数解析式．
3．(人教A版必修第一册P255T21)已知函数f (x)＝sin ＋sin ＋cos x＋a的最大值为1．
(1)求常数a的值；
(2)求函数f (x)的单调递减区间；
(3)求使f (x)≥0成立的x的取值集合．
4．(北师大版必修第二册P75C组T2)某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m时就是安全的．
(1)若有以下几个函数模型：y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)，y＝A sin ωt＋K，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式；
(2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
5．(2024·上海卷)下列函数中，最小正周期是2π的是(　　)
[A]　y＝sin x＋cos x [B]　y＝sin x cos x
[C]　y＝sin2x＋cos2x [D]　y＝sin2x－cos2x
6．(2024·天津卷)已知函数f (x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在的最小值为(　　)
[A]　－ [B]　－
[C]　0 [D]　
7．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　)
[A]　－ [B]　－
[C]　 [D]　
8．(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　)
[A]　f (x)与g(x)有相同的零点
[B]　f (x)与g(x)有相同的最大值
[C]　f (x)与g(x)有相同的最小正周期
[D]　f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴
9．(2023·天津卷)已知函数f (x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为(　　)
[A]　f (x)＝sin x [B]　f (x)＝cos x
[C]　f (x)＝sin x [D]　f (x)＝cos x
10．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f (x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　)
[A]　1 [B]　
[C]　 [D]　3
11．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________．
12．(2023·北京卷)已知函数f (x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ．
(1)若f (0)＝－，求φ的值．
(2)若f (x)在区间上单调递增，且f＝1，再从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f (x)存在，求ω，φ的值．
条件①：f＝；②：f＝－1；③：f (x)在上单调递减．
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