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　三角形中的高线、中线、角平分线
　在解三角形的高考试题中，往往涉及三角形的高线、中线与角平分线，解决此类问题除了应用正弦定理、余弦定理外，还要恰当地使用其几何性质．
题型一　三角形中的高线
[典例1]　(2025·福州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin ＝c sin B．
(1)求角C；
(2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　高线问题的处理策略
(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC．
(2)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD．
(3)a＝c·cos B＋b·cos C．
题型二　三角形中的中线
1．中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)．
推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，BC＝2BD，cos B＝，联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)．
2．向量法：＝(b2＋c2＋2bc cos ∠BAC)．
[典例2]　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为AC边上的中线，BD＝2，且a cos C－2b cos B＋c cos A＝0，则△ABC的面积为(　　)
A．2 B．
C． D．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　处理中线问题的一般策略
(1)运用中线长定理．
(2)向量法：如图，＝(b2＋c2＋2bc cos ∠BAC)．推导过程：由＝)，
得＝)2＝＋＋||·||·cos ∠BAC，
所以＝(b2＋c2＋2bc cos ∠BAC)．
题型三　三角形中的角平分线
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
1．角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD．
2．内角平分线定理：AD为△ABC的∠BAC的平分线，则＝．
推导过程：在△ABD中，＝，
在△ACD中，＝，所以＝，
该推论也可以由两三角形面积之比得证，即＝＝．
3．等面积法：
因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
所以c·AD sin b·AD sin ＝bc sin ∠BAC，
所以(b＋c)AD＝2bc cos ，
整理得：AD＝(角平分线长公式)．
[典例3]　(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　解答角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法．本例法一用的等面积法：因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以c·AD sin b·AD sin ＝bc·sin ∠BAC，整理得AD＝(角平分线长公式)．这一结论在做选择、填空题时可直接使用．
1/1　三角形中的高线、中线、角平分线
　在解三角形的高考试题中，往往涉及三角形的高线、中线与角平分线，解决此类问题除了应用正弦定理、余弦定理外，还要恰当地使用其几何性质．
题型一　三角形中的高线
[典例1]　(2025·福州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin ＝c sin B．
(1)求角C；
(2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值．
[解]　(1)由已知A＋B＋C＝π，
所以b sin ＝b sin ＝b cos ，
所以b cos ＝c sin B，
由正弦定理得sin B cos ＝sin C sin B，
因为B，C∈(0，π)，
则sin B>0，0<<，cos >0，
所以cos ＝sin C，
则cos ＝2sin cos ，
所以sin ＝，所以＝，则C＝．
(2)由S△ABC＝c·2＝ab sin C，
得ab＝4c，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，
即c2≥4c，因为c>0，则c≥4，
当且仅当a＝b＝c＝4时取等号，
此时△ABC面积的最小值为4．
反思领悟　高线问题的处理策略
(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC．
(2)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD．
(3)a＝c·cos B＋b·cos C．
题型二　三角形中的中线
1．中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)．
推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，BC＝2BD，cos B＝，联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)．
2．向量法：＝(b2＋c2＋2bc cos ∠BAC)．
[典例2]　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为AC边上的中线，BD＝2，且a cos C－2b cos B＋c cos A＝0，则△ABC的面积为(　　)
A．2 B．
C． D．
C　[由射影定理知a cos C＋c cos A＝2b cos B＝b，
∴cos ∠ABC＝．∵0<∠ABC<π，
∴∠ABC＝．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC a2＋c2－ac＝9，
由中线长定理知a2＋c2＝2(BD2＋AD2)，
即a2＋c2＝2×＝，
∴ac＝，
∴S△ABC＝ac sin ∠ABC＝＝．故选C．]
反思领悟　处理中线问题的一般策略
(1)运用中线长定理．
(2)向量法：如图，＝(b2＋c2＋2bc cos ∠BAC)．推导过程：由＝)，
得＝)2＝＋＋||·||·cos ∠BAC，
所以＝(b2＋c2＋2bc cos ∠BAC)．
题型三　三角形中的角平分线
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
1．角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD．
2．内角平分线定理：AD为△ABC的∠BAC的平分线，则＝．
推导过程：在△ABD中，＝，
在△ACD中，＝，所以＝，
该推论也可以由两三角形面积之比得证，即＝＝．
3．等面积法：
因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
所以c·AD sin b·AD sin ＝bc sin ∠BAC，
所以(b＋c)AD＝2bc cos ，
整理得：AD＝(角平分线长公式)．
[典例3]　(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．
2　[如图，记AB＝c，AC＝b，BC＝a．
法一：由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，解得b＝1＋(舍负)．由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，可得×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，解得AD＝＝＝2．
法二：由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，解得b＝1＋(舍负)．由正弦定理可得＝＝，解得sin B＝，sin C＝．因为1＋>>2，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°．
又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，则AD＝AB＝2．]
反思领悟　解答角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法．本例法一用的等面积法：因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以c·AD sin b·AD sin ＝bc·sin ∠BAC，整理得AD＝(角平分线长公式)．这一结论在做选择、填空题时可直接使用．
进阶训练(五)　三角形中的高线、中线、角平分线
1．(2025·咸阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b＝c．
(1)求A；
(2)若b＝3，c＝，求△ABC中BC边上高线的长．
[解]　(1)因为a cos B＋b＝c，
由正弦定理可得sin A cos B＋sin B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A，
所以sin B＝sin B cos A，
又00，
所以cos A＝，
因为0(2)由已知及余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋3－2×3×＝3，
所以a＝，设△ABC中BC边上的高线长为h，
所以S△ABC＝bc sin A＝ah，解得h＝．
2．(2024·福建九地市质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin C＝c sin B，C＝．
(1)求B的大小；
(2)若△ABC的面积为，求BC边上中线的长．
[解]　(1)∵a sin C＝c sin B，
∴由正弦定理，得sin A sin C＝sin C sin B，
∵00，∴sin A＝sin B，
∵0∵A＋B＋C＝π，且C＝，∴B＝．
(2)依题意得＝ab sin C，
∵A＝B，∴a＝b，
∴＝a2sin ＝，解得a＝，
设边BC的中点为D，则CD＝，
在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝3＋－2×cos ＝，∴AD＝，
∴BC边上中线的长为．
3．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan B＝．
(1)若tan B＝，求tan C的值；
(2)已知中线AM交BC于点M，角平分线AN交BC于点N，且AM＝3，MN＝1，求△ABC的面积．
[解]　(1)∵tan B＝，∴＝，
∴
∴sin A＝或sin A＝1，
当sin A＝时，tan A＝，
tan C＝－tan (A＋B)＝－＝－2；
当sin A＝1时，∵0∴tan C＝＝2．
综上所述，tan C的值为－2或2．
(2)∵tan B＝＝，
∴sin B(2－cos A)＝sin A cos B，
∴sin C＝2sin B，即c＝2b，
由角平分线定理可得，
＝＝＝2，∴BN＝2CN，
又MN＝1，BM＝CM，∴BM＝3，CN＝2，
由中线长定理可知，2(AM2＋BM2)＝b2＋c2，
∴b2＝，∠BAC＝，
∴S△ABC＝bc＝b×2b＝b2＝．
4．(2024·湖南长沙长郡中学二模)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，且4cos C＝b－c sin A．
(1)求A；
(2)已知AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若AM＝，求△ABC的周长．
[解]　(1)根据题意可得a cos C＋c sin A＝b，
由正弦定理得sin A cos C＋sin A sin C＝sin B，
又sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A·sin C，
故sin A sin C＝cos A sin C，
又sin C≠0，所以sin A＝cos A，则tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2)因为S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，
所以bc sin ∠BAC＝AM·c·sin ∠BAM＋AM·b·sin ∠CAM，
又因为AM平分∠BAC，所以∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝，
所以bc×＝c×b×，
则bc＝(b＋c)，即bc＝(b＋c)，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC，得16＝b2＋c2－bc，
所以16＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－(b＋c)，
解得b＋c＝2(负值舍去)，
故△ABC的周长为2＋4．
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