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滚动测试卷(二)　第一～四章
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·山东聊城三模)“a＋b<－2，且ab>1”是“a<－1，且b<－1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B　[若a<－1，且b<－1，根据不等式的加法和乘法法则可得a＋b<－2，且ab>1，即必要性成立；
当a＝－3，b＝－时，满足a＋b<－2，且ab>1，但是b＝－>－1，故充分性不成立，
所以“a＋b<－2，且ab>1”是“a<－1，且b<－1”的必要不充分条件．
故选B．]
2．(2024·广东茂名一模)已知cos (α＋π)＝－2sin α，则＝(　　)
A．－1 B．－
C． D．
D　[由cos (α＋π)＝－2sin α，得cos α＝2sin α，则tan α＝，
所以＝＝tan2α＋tanα＝＝．故选D．]
3．(2024·北京东城二模)在△ABC中，A＝，C＝，b＝，则a＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
D　[由题意可得：B＝π－A－C＝，
由正弦定理＝，可得a＝＝＝2．
故选D．]
4．(2024·河北保定二模)函数f (x)＝cos 2x的部分图象大致为(　　)
A．　　 B．
C．　　　 D．
A　[设g(x)＝，则g(－x)＝＝＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
设h(x)＝cos 2x，可知h(x)为偶函数，
所以f (x)＝cos 2x为奇函数，则B，C错误，
易知f (0)＝0，所以A正确，D错误．
故选A．]
5．已知角α∈，记实数x＝logsin αα，y＝logcos αsin α，z＝logαtan α，则x，y，z的大小关系正确的是(　　)
A．xC．zA　[依题意<1<α<<，则有0α，因此logsin αα<0，0logαα＝1，所以x6．(2024·江西赣州二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a2－1＝c(c－1)，则A＝(　　)
A． B．
C． D．
A　[由a2－1＝c(c－1)，得a2－1＝c2－c，即c2－a2＝c－1，
又因为b＝1，上式可化为b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理的推论得cos A＝，
所以cos A＝，
又因为A∈(0，π)，所以A＝．
故选A．]
7．(2024·贵州黔东南二模)已知0<α<β<π，且sin (α＋β)＝2cos (α＋β)，sin αsin β－3cos αcos β＝0，则tan (α－β)＝(　　)
A．－1 B．－
C．－ D．
C　[∵sin αsin β－3cos αcos β＝0，
∴sin αsin β＝3cos αcos β，
∴tan αtan β＝3，①
∵sin (α＋β)＝2cos (α＋β)，
∴tan (α＋β)＝2 ＝2 ＝2，
∴tan α＋tan β＝－4，②
由①②解得或
∵0<α<β<π，∴tan α∴∴tan (α－β)＝＝－．故选C．]
8．(2024·山东临沂二模)已知函数f (x)＝sin (2x＋φ)图象的一个对称中心为，则(　　)
A．f (x)在区间上单调递增
B．x＝是f (x)图象的一条对称轴
C．f (x)在上的值域为
D．将函数f (x)图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称
D　[由题意可得2×＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋kπ(k∈Z)，
又|φ|<，故φ＝－，即f (x)＝sin ．
对于A项，当x∈时，2x－∈，
由函数y＝sin x在上不单调递增，
故f (x)在区间上不单调递增，故A错误；
对于B项，当x＝时，2x－＝，
由x＝不是函数y＝sin x图象的对称轴，
故x＝不是f (x)图象的对称轴，故B错误；
对于C项，当x∈时，2x－∈，
则f (x)∈，故C错误；
对于D项，将函数f (x)图象上的所有点向左平移个单位长度后，
可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象，
该函数图象关于y轴对称，故D正确．故选D．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024·湖北武汉二模)下列说法正确的是(　　)
A．若ac2>bc2，则a>b
B．的最小值为2
C． a>b，m>0，<
D．的最小值为2
AD　[对于A，若ac2>bc2，则a>b，A正确；
对于B，≥2或≤－2，因为和0的大小关系不确定，故B错误；
对于C，若a>b，m>0，则＝＝，而m(b－a)<0，但是a(a＋m)与0的大小关系不能确定，故C错误；
对于D，≥2，当且仅当＝，即sinx＝0时取等号，D正确．
故选AD．]
10．已知函数f (x)＝sin x·cos x，则(　　)
A．f (x)是奇函数
B．f (x)的最小正周期为2π
C．f (x)的最小值为－
D．f (x)在上单调递增
AC　[f (x)＝sin x·cos x＝sin 2x，函数的定义域为R，
对于A项，f (－x)＝－sin 2x＝－f (x)，所以函数f (x)是奇函数，故A正确；
对于B项，函数f (x)的最小正周期为＝π，故B错误；
对于C项，函数f (x)的最小值为－，故C正确；
对于D项，当x∈时，2x∈[0，π]，函数f (x)不单调，f (x)在上单调递增，在上单调递减，故D错误．
故选AC．]
11．(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝．则(　　)
A．双曲正弦函数是增函数
B．双曲余弦函数是增函数
C．双曲正切函数是增函数
D．tanh(x＋y)＝
ACD　[对于A，令f (x)＝sinh x＝，则f′(x)＝>0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；
对于B，令g(x)＝cosh x＝，则g′(x)＝，由选项A知，g′(x)为增函数，又g′(0)＝＝0，故当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；
对于C，tanh x＝＝＝＝＝1－，
由y＝e2x＋1在R上单调递增，且y＝e2x＋1>1，
故tanh x＝1－是增函数，故C正确；
对于D，由选项C知tanh x＝，则
tanh(x＋y)＝，
＝
＝
＝
＝＝，
故tanh(x＋y)＝，故D正确．
故选ACD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024·湖南衡阳三模)已知集合A＝{a，a＋1}，集合B＝{x∈N|x2－x－2≤0}，若A B，则a＝________．
0或1　[由x2－x－2≤0，得(x＋1)(x－2)≤0，解得－1≤x≤2，
因为x∈N，所以x＝0，1，2，
所以B＝{0，1，2}，
因为A＝{a，a＋1}，且A B，
所以a＝0或a＝1．]
13．(2024·四川遂宁三模)曲线y＝x2＋ax在点P(1，b)处切线的斜率为3，则实数a＝________．
1　[y＝x2＋ax的导数为y′＝2x＋a，
可得曲线y＝x2＋ax在点P(1，b)处切线的斜率为2×1＋a＝3，
解得a＝1．]
14．(2024·河南三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝60°，c＝7，若a－b＝3，D为AB中点，则CD＝________．
　[由余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a－b)2＋ab，将a－b＝3，c＝7代入解得ab＝40，
因为＝)，所以＝＝＝，所以CD＝．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2025·南阳模拟)已知0<α<π，且cos ＝．
(1)求cos α的值；
(2)求tan 2α的值．
[解]　(1)由cos ＝，得sin
＝±＝±，
∵0<α<π，∴<α＋<．
而cos＝>0，则<α＋<，
可得sin ＝．
∴cos α＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝．
(2)由0<α<π，得sin α>0．
由(1)可知cos α＝，则sin α＝＝，
∴tan α＝＝，
故tan 2α＝＝＝．
16．(15分)(2024·北京三模)在△ABC中，＝，cosA＝．
(1)求证△ABC为等腰三角形；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求b的值．
条件①：B＝；条件②：△ABC的面积为；条件③：AB边上的高为3．
[解]　(1)在△ABC中，＝，cos A＝，设a＝5m，b＝m，m>0，
根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得25m2＝10m2＋c2－2c×m×，
整理得c2－2mc－15m2＝0，
因为c>0，解得c＝5m，所以a＝c，
所以△ABC为等腰三角形．
(2)若选择条件①：若B＝，由(1)可知a＝c，则A＝C＝，
所以cos A＝cos ＝cos ＝cos cos －sin sin ＝≠，
所以△ABC不存在．
若选择条件②：在△ABC中，由cos A＝ sin A＝，
由(1)c＝5m，b＝m，m>0，
所以S△ABC＝bc sin A＝m×5m×＝m2＝，
解得m＝1，即b＝．
若选择条件③：在△ABC中，由AB边上的高为3，得b sin A＝3，
由cos A＝ sin A＝，解得b＝．
17．(15分)(2025·深圳龙岗区校级模拟)如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝．C是扇形圆弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC＝α．
(1)将矩形ABCD的面积S表示成关于α的函数f (α)的形式；
(2)求f (α)的最大值，及此时的角α．
[解]　(1)依题意，在Rt△OBC中，∠OBC＝，
所以AD＝BC＝OC sin ∠POC＝sin α，OB＝OC cos ∠POC＝cos α，
在Rt△OAD中，∠OAD＝，∠POQ＝，则OA＝AD，
因此AB＝OB－OA＝cos α－sin α，
所以S＝AB·BC＝sin α(cos α－sin α)＝sin αcos α－sin2α
＝(sin2α＋cos 2α－1)＝sin ，
所以f (α)＝sin ．
(2)由(1)知，当0<α<时，<2α＋<，
所以当2α＋＝，即α＝时，＝1，
所以当α＝时，f (α)max＝．
18．(17分)(2024·上海闵行区期末)如图，某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20 km/h送快件到C处，已知∠CBD＝120°，∠ADB＝30°，sin ∠ABD＝sin A，BD＝10 km，CD＝5 km．
(1)求△BCD的面积；
(2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速50 km/h，问汽车能否先到达C处？
[解]　(1)在△BCD中，BD＝10 km，CD＝5 km，∠CBD＝120°，
由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD cos 120°，即475＝BC2＋102－20BC·，
整理得BC2＋10BC－375＝0，解得BC＝15(BC＝－25不符合题意，舍去)．
所以S△BCD＝BC·BD sin 120°＝×15×10×＝(km2)．
(2)因为在△ABD中，sin ∠ABD＝sin A，所以AD＝BD＝10(km)，
由AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos 30°＝300＋100－2×10×10×＝100，得AB＝10 km．
公司派车沿大路AD→DC追赶，行驶的路程为AD＋DC＝(10＋5)km，
汽车的平均时速50 km/h，所以公司的车到达C点所需时间t1＝＝<，
快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20 km/h送快件到C处，
所需时间t2＝＝＝，可知t2－t1＞＝，
结合25 min＝ h＝ h＜ h，可知汽车能在快递小哥到达之前先到达C处．
19．(17分)已知函数f (x)＝x－a ln x－b(a，b∈R，a≠0)．
(1)若a＝b＝1，求f (x)的极值；
(2)若f (x)≥0，求ab的最大值．
[解]　(1)当a＝b＝1时，f (x)＝x－ln x－1，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1－＝，
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f (x)单调递减，
x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f (x)单调递增，
所以当x＝1时，f (x)取得极小值，极小值为f (1)＝0，无极大值．
(2)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝(a≠0)，
当a<0时，f′(x)>0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
x趋向于0时，f (x)趋向于－∞，与f (x)≥0矛盾，不合题意．
当a>0，x∈(0，a)时，f′(x)<0，f (x)在(0，a)上单调递减，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f (x)在(a，＋∞)上单调递增，
当x＝a时，f (x)取得最小值，最小值为f (a)＝a－a ln a－b≥0，
即a－a ln a≥b，
则ab≤a2－a2ln a，
令g(x)＝x2－x2ln x(x>0)，
g′(x)＝2x－2x ln x－x＝x－2x ln x＝x(1－2ln x)，
当x∈(0，)时，g′(x)>0，g(x)在x∈(0，)上单调递增，
x∈(，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)在x∈(，＋∞)上单调递减，
所以当x＝时，g(x)取得最大值，最大值为g()＝e－＝，
即当a＝，b＝时取等号，此时f (x)＝x－ln x－，f (x)min＝f ()＝0，满足f (x)≥0，故ab的最大值为．
1/1滚动测试卷(二)　第一～四章
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·山东聊城三模)“a＋b<－2，且ab>1”是“a<－1，且b<－1”的(　　)
[A]　充分不必要条件 [B]　必要不充分条件
[C]　充要条件 [D]　既不充分也不必要条件
2．(2024·广东茂名一模)已知cos (α＋π)＝－2sin α，则＝(　　)
[A]　－1 [B]　－
[C]　 [D]　
3．(2024·北京东城二模)在△ABC中，A＝，C＝，b＝，则a＝(　　)
[A]　1 [B]　
[C]　 [D]　2
4．(2024·河北保定二模)函数f (x)＝cos 2x的部分图象大致为(　　)
[A]　　　 [B]　
[C]　　　　 [D]　
5．已知角α∈，记实数x＝logsin αα，y＝logcos αsin α，z＝logαtan α，则x，y，z的大小关系正确的是(　　)
[A]　x[C]　z6．(2024·江西赣州二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a2－1＝c(c－1)，则A＝(　　)
[A]　 [B]　
[C]　 [D]　
7．(2024·贵州黔东南二模)已知0<α<β<π，且sin (α＋β)＝2cos (α＋β)，sin αsin β－3cos αcos β＝0，则tan (α－β)＝(　　)
[A]　－1 [B]　－
[C]　－ [D]　
8．(2024·山东临沂二模)已知函数f (x)＝sin (2x＋φ)图象的一个对称中心为，则(　　)
[A]　f (x)在区间上单调递增
[B]　x＝是f (x)图象的一条对称轴
[C]　f (x)在上的值域为
[D]　将函数f (x)图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024·湖北武汉二模)下列说法正确的是(　　)
[A]　若ac2>bc2，则a>b
[B]　的最小值为2
[C]　 a>b，m>0，<
[D]　的最小值为2
10．已知函数f (x)＝sin x·cos x，则(　　)
[A]　f (x)是奇函数
[B]　f (x)的最小正周期为2π
[C]　f (x)的最小值为－
[D]　f (x)在上单调递增
11．(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝．则(　　)
[A]　双曲正弦函数是增函数
[B]　双曲余弦函数是增函数
[C]　双曲正切函数是增函数
[D]　tanh(x＋y)＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024·湖南衡阳三模)已知集合A＝{a，a＋1}，集合B＝{x∈N|x2－x－2≤0}，若A B，则a＝________．
13．(2024·四川遂宁三模)曲线y＝x2＋ax在点P(1，b)处切线的斜率为3，则实数a＝________．
14．(2024·河南三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝60°，c＝7，若a－b＝3，D为AB中点，则CD＝________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2025·南阳模拟)已知0<α<π，且cos ＝．
(1)求cos α的值；
(2)求tan 2α的值．
16．(15分)(2024·北京三模)在△ABC中，＝，cosA＝．
(1)求证△ABC为等腰三角形；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求b的值．
条件①：B＝；条件②：△ABC的面积为；条件③：AB边上的高为3．
17．(15分)(2025·深圳龙岗区校级模拟)如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝．C是扇形圆弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC＝α．
(1)将矩形ABCD的面积S表示成关于α的函数f (α)的形式；
(2)求f (α)的最大值，及此时的角α．
18．(17分)(2024·上海闵行区期末)如图，某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20 km/h送快件到C处，已知∠CBD＝120°，∠ADB＝30°，sin ∠ABD＝sin A，BD＝10 km，CD＝5 km．
(1)求△BCD的面积；
(2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速50 km/h，问汽车能否先到达C处？
19．(17分)已知函数f (x)＝x－a ln x－b(a，b∈R，a≠0)．
(1)若a＝b＝1，求f (x)的极值；
(2)若f (x)≥0，求ab的最大值．
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