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　平面向量的数量积的运算、化简及数量积的应用问题等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择题、填空题的形式出现，难度较低，属于基础题．交汇命题时，一般与三角函数、解析几何等相结合考查，主要考查运算求解能力、推理论证能力等．
　(2024·新高考Ⅰ卷T3)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．－1
C．1 D．2
[阅读与思考]　法一(向量法＋坐标法)：因为b⊥(b－4a)，
所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b．
因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，
所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，
所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D．
法二(坐标法)：因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，
所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4)．
因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，
所以2×2＋x(x－4)＝0，即(x－2)2＝0，
解得x＝2，故选D．
归纳总结：平面向量的数量积运算的常用公式：|a|＝，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
　本题源自人教A版教材必修第二册P60复习参考题6T8．教材习题和高考题都考查平面向量数量积的应用及向量的坐标运算，难度相当．
试题评价：本题以向量的坐标运算为载体，考查向量的垂直关系，属于课程学习情境，考查内容源于教材，面向全体考生，试题立足基本概念和方法，属于简单题目，试题设置能让考生增强自信心，有利于考生正常发挥．
附：(人教A版必修第二册P60复习参考题6T8)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)．当λ为何值时，a＋λb与a垂直？
第1课时　平面向量的概念及线性运算
[考试要求]　1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
考点一　平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度为0的向量，记作0．
3．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任意向量平行．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
提醒：解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件．
[典例1]　(1)(2024·广西期末)关于向量a，b，下列命题中，正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若|a|>|b|，则a>b
D．若a＝－b，则a∥b
(2)(2024·广安月考)设a，b都是非零向量，下列四个条件，使＝成立的充要条件是(　　)
A．a与b同向
B．a＝2b
C．a∥b且|a|＝|b|
D．a＝b
(1)D　(2)A　[(1)选项A，两个向量的模相等，但是方向不确定，所以不一定相等，A错误；
选项B，若b＝0，则b与任意向量共线，而a与c的方向不确定，B错误；
选项C，两个向量不能比较大小，C错误；
选项D，若a＝－b，则a∥b，D正确．
故选D．
(2)分别表示与a，b同向的单位向量，
若使得＝，则根据向量相等的条件可知，a与b必须方向相同，
故使其成立的充要条件是a与b同向．故选A．]
反思领悟　解决此类问题应特别注意以下几点：
(1)a，b为非零向量，a∥b时，有a与b方向相同或相反两种情形；
(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b| / a＝±b；
(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；
(4)对于任意非零向量a，是与a同向的单位向量．
巩固迁移1　(1)(2024·惠州期末)下列命题中正确的是(　　)
A．零向量没有方向
B．共线向量一定是相等向量　
C．若λ为实数，则向量a与λa方向相同
D．单位向量的模都相等
(2)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是(　　)
A．＝　　　 B．＝
C．＝ D．＝
(1)D　(2)D　[(1)零向量的方向是任意的，A错误；共线向量的模不一定相等，B错误；
当λ＝0时，C显然错误；单位向量的模都为1，D正确．故选D．
(2)根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与不平行，所以A，B均错误，与平行，但方向相反，所以与不相等，只有与方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以C错误，D正确．]
考点二　平面向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 三角形法则 平行四边形法则 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 几何意义 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
提醒：首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
　向量加、减法的几何意义
[典例2]　设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．
20，4　[当a，b同向共线时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20；当a，b反向共线时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4．当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，即4<|a＋b|<20．所以|a＋b|的最大值为20，最小值为4．]
反思领悟　||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是共线的非零向量时，等号成立．
巩固迁移2　在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则||＝________．
2　[如图所示，设菱形ABCD的对角线的交点为O．＝＝．∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，
又∵AB＝2，∴OB＝1．
在Rt△AOB中，AO＝＝，
∴||＝2||＝2，即||＝2．]
　向量的线性运算
[典例3]　(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
B　[因为点D在边AB上，BD＝2DA，如图所示，
所以＝2，
即＝2()，
所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．
故选B．]
反思领悟　向量的线性运算类似于代数多项式运算．
巩固迁移3　(多选)如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量表示正确的是(　　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
AD　[对于A，因为D是AB的中点，所以＝，
因为＝，
所以＝，所以A正确；
对于B，由三角形法则得，＝＝＝－，所以B不正确；
对于C，＝＝，所以C不正确；
对于D，因为D是AB的中点，
所以＝，所以D正确．
故选AD．]
　根据向量线性运算求参数
[典例4]　(2025·安阳模拟)已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2－μ2等于(　　)
A．－ B．
C． D．
A　[如图，在矩形ABCD中，
＝)，
在△DAO中，
＝)，
∴＝
＝＝，
∴λ＝，μ＝－，
∴λ2－μ2＝＝－．]
反思领悟　本例关键是用向量表示出，进行比较求λ，μ．
巩固迁移4　已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＝0成立的实数x的取值集合为(　　)
A．{0} B．
C．{－1} D．{0，－1}
C　[因为＝，
所以x2＋x＝0，
即＝－x2－(x－1)，
因为A，B，C三点共线，
所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，
解得x＝0或x＝－1．
当x＝0时，x2＋x＝＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去．故x＝－1．]
【教用·备选题】
(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　)
A．＝－
B．＝
C．＝－
D．＝
ABC　[∵AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，
∴＝＝－＝－，A正确；
∵＝3，
∴＝＝－，
∴＝＝＝＋，又F为AE的中点，
∴＝＝，B正确；
＝＝－
＝－，C正确；
＝＝－＝－，D错误．
故选ABC．]
考点三　向量共线定理的应用
向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一存在．
[常用结论]
(1)中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1．
[典例5]　(1)(2024·福州市鼓楼区期末)如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝＋m，则实数m的值为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(人教A版必修第二册P16练习T3改编)设两个非零向量a与b不共线．
①若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
②试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
(1)D　[因为＝，所以＝5，所以＝＋5m，
因为P，B，N三点共线，所以＋5m＝1，解得m＝．
故选D．]
(2)[解]　①证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5．
∴共线．
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
②∵ka＋b和a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b．
∵a，b是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1．
反思领悟　本例(1)观察到P，B，N三点共线，所以要将转化为．
本例(2)①A，B，D三点共线 与共线且有公共点．本例(2)②求k的依据是a∥b a＝λb(b≠0)．
巩固迁移5　(1)(2024·襄阳期末)已知向量a，b不共线，且向量a＋λb与(λ＋1)a＋2b共线，则实数λ的值为(　　)
A．－2或－1 B．－2或1
C．－1或2 D．1或2
(2)(2025·浙江模拟)已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
(1)B　(2)C　[(1)∵a，b不共线，∴a＋λb≠0，又a＋λb与(λ＋1)a＋2b共线，
∴存在μ，使(λ＋1)a＋2b＝μa＋μλb，
∴解得λ＝－2或1．故选B．
(2)＝＝e1＋2e2＋(－3e1＋2e2)＝－2e1＋4e2＝－，
则A，C，D三点共线．其余选项可逐一排除．
故选C．]
1．(2024·汕尾期末)＝(　　)
A． B．
C． D．
A　[＝＝．故选A．]
2．(2024·泉州期末)在△ABC中，＝3，则＝(　　)
A． B．
C． D．
D　[因为在△ABC中，＝3，
所以＝＝＝)＝．故选D．]
3．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．1 B．
C． D．
D　[如图，在Rt△ABD中，BD＝BA＝1，
∴＝．
∵＝＝，
∴2＝，
即＝．
故λ＋μ＝＝．故选D．]
4．在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，找出存在下列关系的向量：
(1)共线向量：________；
(2)方向相反的向量：________；
(3)模相等的向量：________．
(1)a与d，b与e　(2)a与d，b与e　(3)a，c，d　[观察图形， a∥d，b∥e，因此a与d是共线向量，并且方向相反；b与e是共线向量，并且方向相反，显然|a|＝，|c|＝，|d|＝，因此a，c，d的模相等．]
【教用·备选题】
1．(2024·成都期末)已知为两个不共线的向量，且a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，则下列向量与2a＋b共线的是(　　)
A．－5e1＋e2 B．e1＋2e2
C．4e1＋10e2 D．10e1＋4e2
C　[因为a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，则2a＋b＝2e1＋5e2，
结合向量共线定理可知，4e1＋10e2＝2(2e1＋5e2)，选项C符合．故选C．]
2．(2024·浦东新区校级期末)化简()－()＝________．
　[()－()＝＝．]
课后习题(三十二)　平面向量的概念及线性运算
1．(人教A版必修第二册P23习题6.2T9改编)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是(　　)
A．＝
B．与共线
C．与是相反向量
D．＝||
D　[＝，故D错误．]
2．(人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．
　[∵λa＋b与a＋2b共线，
∴存在实数μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b),
∴∴]
3．(湘教版必修第二册P11例5改编)已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
b－a　－a－b　[如图，
＝＝＝b－a，
＝＝－
＝－a－b．]
4．(北师大版必修第二册P82习题2－1A组T2改编)一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1 m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角α，继续按直线方向前进1 m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角α，然后继续按直线方向前进1 m，……，按此方法继续操作下去．
(1)作图说明当α＝45°时，最少转向几次可以使赛车的位移为零？
(2)按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的情况．
[解]　记出发点为A．
(1)当α＝45°时，如图1，赛车行进路线构成一个正八边形，赛车所行驶的路程是8 m，最少转向7次可使赛车的位移为零．
(2)当α＝120°时，如图2，赛车行进路线构成一个正三角形，赛车所行驶的路程为3 m，转向2次可使赛车回到出发点；
当α＝90°时，如图3，赛车行进路线构成一个正方形，赛车所行驶的路程为4 m，转向3次可使赛车回到出发点；
当α＝60°时，如图4，赛车行进路线构成一个正六边形，赛车所行驶的路程为6 m，转向5次可使赛车回到出发点(答案不唯一)．
5．(多选)(2024·宜春丰城市期末)已知平面向量a，b，c，下列四个命题不正确的是(　　)
A．若|a|＝0，则a＝0
B．单位向量都相等
C．方向相反的两个非零向量一定共线
D．若a，b满足|a|>|b|，且a与b同向，则a>b
BD　[对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确；
对于B，单位向量的模为1，但是方向不一定相同，故B错误；
对于C，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故C正确；
对于D，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故D错误．故选BD．]
6．(2024·乐山期末)四边形ABCD中，＝，则下列结论中错误的是(　　)
A．||＝||一定成立
B．＝一定成立
C．＝一定成立
D．＝一定成立
D　[由＝知，四边形ABCD为平行四边形，所以||＝||，A正确；
根据平行四边形法则知，＝，B正确；
平行四边形ABCD中，＝，C正确；
由＝≠，D错误．故选D．]
7．(2024·邢台期末)在△ABC中，(＋k)∥，则k＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
B　[因为(＋k)∥，所以＋k＝λ，又＝，所以＋k＝－λ＋λ，
所以解得k＝－1．故选B．]
8．(2024·凉山州期末)在△ABC中，BC边上的中线为AD，点O满足＝3，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．－
C　[由题意可知，＝，如图所示：
所以＝＝－＝－＋＝，
即＝．
故选C．]
9．(2024·枣庄质检)已知D为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C．若＝x＋y，则x－y的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
C　[因为A关于点O的对称点为C，
所以＝－，
又＝x＋y，
所以＝x－y，
又因为A，B，D三点共线，
所以x－y＝1．
故选C．]
10．(2024·杭州市西湖区期末)化简：＝________．
a－b　[＝＝＝a－b．]
11．(2024·德兴市期末)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋λb，＝a＋b，＝a－2b．若A，C，D三点共线，则实数λ＝________．
－7　[由题意可得：＝＝3a＋(λ＋1)b，
又＝a－2b，
A，C，D三点共线，所以＝，
解得λ＝－7．]
12．(2024·吉安期末)在平行四边形ABCD中，＝2，2＝，AE和BF交于点P．
(1)若＝x＋(1－x)，求x的值；
(2)求的值．
[解]　(1)根据题意得＝x＋(1－x)＝＋(1－x)，
结合＝，
且∥，可得＝，所以x＝．
(2)由(1)可得＝，则＝，即＝．
因为＝，即＝，
所以)＝)，整理得＝3，即＝3，可得＝＝5．
1/1　平面向量的数量积的运算、化简及数量积的应用问题等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择题、填空题的形式出现，难度较低，属于基础题．交汇命题时，一般与三角函数、解析几何等相结合考查，主要考查运算求解能力、推理论证能力等．
　(2024·新高考Ⅰ卷T3)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．－1
C．1 D．2
[阅读与思考]　法一(向量法＋坐标法)：因为b⊥(b－4a)，
所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b．
因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，
所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，
所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D．
法二(坐标法)：因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，
所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4)．
因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，
所以2×2＋x(x－4)＝0，即(x－2)2＝0，
解得x＝2，故选D．
归纳总结：平面向量的数量积运算的常用公式：|a|＝，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
　本题源自人教A版教材必修第二册P60复习参考题6T8．教材习题和高考题都考查平面向量数量积的应用及向量的坐标运算，难度相当．
试题评价：本题以向量的坐标运算为载体，考查向量的垂直关系，属于课程学习情境，考查内容源于教材，面向全体考生，试题立足基本概念和方法，属于简单题目，试题设置能让考生增强自信心，有利于考生正常发挥．
附：(人教A版必修第二册P60复习参考题6T8)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)．当λ为何值时，a＋λb与a垂直？
第1课时　平面向量的概念及线性运算
[考试要求]　1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
考点一　平面向量的概念
1．向量：既有大小又有____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__．
2．零向量：长度为__的向量，记作0．
3．单位向量：长度等于________长度的向量．
4．平行向量：方向____或____的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任意向量____．
5．相等向量：长度相等且方向____的向量．
6．相反向量：长度相等且方向____的向量．
提醒：解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件．
[典例1]　(1)(2024·广西期末)关于向量a，b，下列命题中，正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若|a|>|b|，则a>b
D．若a＝－b，则a∥b
(2)(2024·广安月考)设a，b都是非零向量，下列四个条件，使＝成立的充要条件是(　　)
A．a与b同向
B．a＝2b
C．a∥b且|a|＝|b|
D．a＝b
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　解决此类问题应特别注意以下几点：
(1)a，b为非零向量，a∥b时，有a与b方向相同或相反两种情形；
(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；
(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；
(4)对于任意非零向量a，是与a同向的单位向量．
巩固迁移1　(1)(2024·惠州期末)下列命题中正确的是(　　)
A．零向量没有方向
B．共线向量一定是相等向量　
C．若λ为实数，则向量a与λa方向相同
D．单位向量的模都相等
(2)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是(　　)
A．＝　　　 B．＝
C．＝ D．＝
考点二　平面向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 三角形法则 平行四边形法则 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 几何意义 a－b＝____________
数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向____； 当λ<0时，λa的方向与a的方向____； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝__________； (λ＋μ)a＝__________； λ(a＋b)＝__________
提醒：首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
　向量加、减法的几何意义
[典例2]　设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是共线的非零向量时，等号成立．
巩固迁移2　在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则||＝________．
　向量的线性运算
[典例3]　(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　向量的线性运算类似于代数多项式运算．
巩固迁移3　(多选)如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量表示正确的是(　　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
　根据向量线性运算求参数
[典例4]　(2025·安阳模拟)已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2－μ2等于(　　)
A．－ B．
C． D．
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反思领悟　本例关键是用向量表示出，进行比较求λ，μ．
巩固迁移4　已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＝0成立的实数x的取值集合为(　　)
A．{0} B．
C．{－1} D．{0，－1}
考点三　向量共线定理的应用
向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________．
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一存在．
[常用结论]
(1)中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1．
[典例5]　(1)(2024·福州市鼓楼区期末)如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝＋m，则实数m的值为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(人教A版必修第二册P16练习T3改编)设两个非零向量a与b不共线．
①若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
②试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
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反思领悟　本例(1)观察到P，B，N三点共线，所以要将转化为．
本例(2)①A，B，D三点共线 与共线且有公共点．本例(2)②求k的依据是a∥b a＝λb(b≠0)．
巩固迁移5　(1)(2024·襄阳期末)已知向量a，b不共线，且向量a＋λb与(λ＋1)a＋2b共线，则实数λ的值为(　　)
A．－2或－1 B．－2或1
C．－1或2 D．1或2
(2)(2025·浙江模拟)已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
1．(2024·汕尾期末)＝(　　)
A． B．
C． D．
2．(2024·泉州期末)在△ABC中，＝3，则＝(　　)
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．1 B．
C． D．
4．在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，找出存在下列关系的向量：
(1)共线向量：________；
(2)方向相反的向量：________；
(3)模相等的向量：________．
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