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阶段提能(十四)　直线与圆
1．(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T4)求圆心在直线3x－y＝0上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程．
2．(北师大版选择性必修第一册P46复习题一C组T3)已知直线l与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0交于A，B两点，是否存在斜率为1的直线l使得以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
3．(苏教版选择性必修第一册P75复习题T16)设b为实数，若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点，求b的取值范围．
4．(人教B版选择性必修第一册P116练习B T4)已知直线x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0交于A，B两点．
(1)求线段AB的垂直平分线的方程；
(2)若|AB|＝2，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求过点P(4，4)的圆C的切线方程．
5．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)
[A]　 [B]　2
[C]　3 [D]　3
6．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
[A]　1 [B]　2
[C]　4 [D]　2
7．(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
[A]　1 [B]　2
[C]　3 [D]　4
8．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
[A]　1＋ [B]　4
[C]　1＋3 [D]　7
9．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
[A]　1 [B]　
[C]　 [D]　
10．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于直线y＝a对称的直线l与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围为________．
11．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
12．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
1/1阶段提能(十四)　直线与圆
1．(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T4)求圆心在直线3x－y＝0上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程．
[解]　由题意，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－3a)2＝r2，
则圆心(a，3a)到直线x－y＝0的距离d＝＝|a|．
依题意，
解得或
所以所求圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9．
2．(北师大版选择性必修第一册P46复习题一C组T3)已知直线l与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0交于A，B两点，是否存在斜率为1的直线l使得以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解]　存在．设直线l的方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为以AB为直径的圆恰好经过原点，
所以·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
所以2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0．
由
得x2＋(x＋b)2－2x＋4(x＋b)－4＝0，
整理得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0，
由题意Δ＝(2b＋2)2－4×2(b2＋4b－4)>0，
即b2＋6b－9<0(*)．
而x1＋x2＝－＝－b－1，x1x2＝，
所以b2＋4b－4＋b(－b－1)＋b2＝0，
所以b＝1或b＝－4，满足(*)式，
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－4．
3．(苏教版选择性必修第一册P75复习题T16)设b为实数，若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点，求b的取值范围．
[解]　曲线x＝即x2＋y2＝1(x≥0)，表示以原点O(0，0)为圆心，1为半径的半圆(位于y轴上及y轴右侧的部分)，
如图，当直线经过点A(0，－1)时，得b＝－1；
当直线经过点C(0，1)时，得b＝1；
当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得＝1，解得b＝(舍去)或b＝－，
由数形结合可得当直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点时，实数b的取值范围为(－1，1]∪{－}．
4．(人教B版选择性必修第一册P116练习B T4)已知直线x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0交于A，B两点．
(1)求线段AB的垂直平分线的方程；
(2)若|AB|＝2，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求过点P(4，4)的圆C的切线方程．
[解]　(1)依题意，所求直线过圆心且与x－y＋1＝0垂直，易得圆心C(2，1)，
所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3．
(2)圆心(2，1)到直线AB：x－y＋1＝0的距离
d＝＝．
所以圆的半径r＝＝2，
所以＝2，解得m＝1．
(3)由题意知点P(4，4)不在圆上，
①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－4)，即kx－y－4k＋4＝0，
由圆心到切线的距离等于半径2，
即＝2，解得k＝，
所以所求切线方程为5x－12y＋28＝0．
②当所求切线的斜率不存在时，过P点的直线方程为x＝4，圆心C到x＝4的距离为2，等于半径，故直线x＝4是圆C的切线．
综上，所求切线的方程为x＝4或5x－12y＋28＝0．
5．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)
A． B．2
C．3 D．3
D　[由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，
则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝3，故选D．]
6．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．2
C　[因为b是a，c的等差中项，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得
ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令得
故直线恒过点(1，－2)，设P(1，－2)．
将圆的方程化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，
设圆心为C，画出直线与圆的图象如图所示，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
|PC|＝1，|AC|＝，此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4．
故选C．]
7．(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3．设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D．易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝＝2，所以|BD|min＝2＝2＝2，即所求弦的长度的最小值为2，故选B．]
8．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合(图略)知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．]
9．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
A．1 B．
C． D．
B　[如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2×＝．故选B．]
10．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于直线y＝a对称的直线l与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围为________．
　[由题意知，点A(－2，3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2，2a－3)，则直线l的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0，所以圆心到直线l的距离小于半径，即≤1，整理可得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤．故a的取值范围为．]
11．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
2　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径r＝2，点C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2(答案不唯一)．]
12．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(写出其中任意一个即可)　[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为O1(3，4)，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，共有3条公切线，
如图，
当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设直线l的方程为y＝－x＋t(t＞0)，
O到直线l的距离d＝＝1，解得t＝，所以直线l的方程为y＝－x＋；
当切线为m时，设直线m的方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由题意
解得所以直线m的方程为y＝x－；
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]
【教用·备选题】
(2022·天津卷)若直线x－y＋m＝0与圆＋＝3相交所得的弦长为m，则m＝________．
2　[圆＋＝3的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线x－y＋m＝0的距离为＝，
由勾股定理可得＋＝3，
因为m>0，解得m＝2．]
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