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第5课时　椭圆及其性质
[考试要求]　1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 (范围、对称性、顶点、离心率)．2．掌握椭圆的简单应用．
考点一　椭圆的定义及应用
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的____，两焦点间的距离叫做椭圆的____，焦距的一半称为半焦距．
提醒：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．
[常用结论]
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ，
(1)△PF1F2的周长为2a＋2c；
(2)|PF1|max＝a＋c，
|PF1|min＝a－c；
(3)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时取最大值，最大值为bc．
(4)|PF1|·|PF2|≤＝a2．
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ．
[典例1]　(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)(多选)已知P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则(　　)
A．△PF1F2的周长为12
B．＝2
C．点P到x轴的距离为
D．·＝2
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)中动点M的轨迹满足椭圆定义|MC1|＋|MC2|＝16>8＝|C1C2|的形式，直接求出椭圆方程中的系数后写出方程即可；解决本例(2)的关键是将椭圆定义和余弦定理结合使用．
巩固迁移1　(1)已知圆M：(x－1)2＋y2＝16，N(－1，0)，P为圆M上的一个动点，l为线段NP的垂直平分线，与线段MP交于Q，则点Q的轨迹方程为(　　)
A．＝1 B．＋y2＝1
C．x2＋y2＝4 D．＝1
(2)(经典题)已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点二　椭圆的标准方程
椭圆的标 准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
图象
椭圆焦点 的位置 焦点在____上 焦点在____上
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
焦距 ____
异同点 相同点：都满足a2＝b2＋c2． 不同点：焦点的位置不同
提醒：椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看分母，焦点随着大的跑”．
[典例2]　求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2)经过两点(2，－)，；
(3)与椭圆＝1有相同离心率，且经过点(2，－)．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　待定系数法求椭圆的标准方程
(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
(2)根据已知条件用待定系数法求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先由题目条件确定方程的类型(焦点的位置)，再由条件确定方程的参数，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出标准方程．
(3)当椭圆焦点的位置不确定时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
巩固迁移2　(1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
(2)(人教A版选择性必修第一册P112练习T3改编)已知椭圆过点(3，0)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为________________．
考点三　椭圆的简单几何性质
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
图象
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为____；短轴B1B2的长为____
焦距 |F1F2|＝____
离心率 e＝＝∈__________
a，b，c的关系 c2＝______
[常用结论]
1．设P为椭圆上不同于长轴两端点的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则
①b≤|OP|2．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．
　离心率
[典例3]　(1)(2025·咸阳模拟)已知椭圆＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2025·杭州模拟)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)中，由焦点在y轴上可得t－4>10－t>0，由焦距为4，可得t的值．进而求出a＝，c＝2，利用离心率公式e＝可得解；解决本例(2)的关键是利用上顶点、右顶点、左焦点是等腰三角形的三个顶点构造a，c的齐次式，得出a与c的关系，进而求得e．
巩固迁移3　(2024·温州质检)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭圆C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆C的离心率为________．
　与椭圆有关的最值、范围问题
[典例4]　(多选)已知椭圆＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　)
A．的最大值为4
B．|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2]
C．不存在点P使PF1⊥PF2
D．|PB|的最大值为2
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　利用椭圆的几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上的点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
巩固迁移4　已知椭圆＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则·的取值范围为(　　)
A．[－16，0] B．[－8，0]
C．[0，8] D．[0，16]
1．(人教A版选择性必修第一册P107例1改编)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，则它的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．(多选)(人教A版选择性必修第一册P115习题改编)已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8，则下列说法正确的是(　　)
A．长轴长为10
B．短半轴长为6
C．焦点坐标可以是(0，4)
D．椭圆的标准方程可以是＝1
3．(2024·山东名校联考)已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则D的离心率是(　　)
A． B．
C． D．
4．(2024·宜宾市兴文县开学考试)椭圆＝1的焦距等于________．
1/1第5课时　椭圆及其性质
[考试要求]　1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 (范围、对称性、顶点、离心率)．2．掌握椭圆的简单应用．
考点一　椭圆的定义及应用
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
提醒：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．
【教用·备选资源】
椭圆的第三定义
椭圆方程为＝1(a>b>0)，点A与点B分别为椭圆长轴的两个端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，则kPA·kPB＝－＝e2－1．
[常用结论]
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ，
(1)△PF1F2的周长为2a＋2c；
(2)|PF1|max＝a＋c，
|PF1|min＝a－c；
(3)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时取最大值，最大值为bc．
(4)|PF1|·|PF2|≤＝a2．
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ．
[典例1]　(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)(多选)已知P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则(　　)
A．△PF1F2的周长为12
B．＝2
C．点P到x轴的距离为
D．·＝2
(1)D　(2)BCD　[(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，故M点的轨迹方程为＝1．故选D．
(2)由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故A选项错误；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝×6×＝2，故B选项正确；
设点P到x轴的距离为d，则＝|F1F2|·d＝×2d＝2，所以d＝，故C选项正确；
·＝||·||cos ∠F1PF2＝6×＝2，故D选项正确．故选BCD．]
反思领悟　本例(1)中动点M的轨迹满足椭圆定义|MC1|＋|MC2|＝16>8＝|C1C2|的形式，直接求出椭圆方程中的系数后写出方程即可；解决本例(2)的关键是将椭圆定义和余弦定理结合使用．
巩固迁移1　(1)已知圆M：(x－1)2＋y2＝16，N(－1，0)，P为圆M上的一个动点，l为线段NP的垂直平分线，与线段MP交于Q，则点Q的轨迹方程为(　　)
A．＝1 B．＋y2＝1
C．x2＋y2＝4 D．＝1
(2)(经典题)已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
(1)A　(2)8　[(1)∵圆M的方程为(x－1)2＋y2＝16，
∴点M(1，0)，半径r＝4．
∵线段PN的中垂线与线段PM相交于点Q，
∴|QN|＝|QP|，
∴|QM|＋|QN|＝|QM|＋|QP|＝|PM|．
∵点P是圆M上的动点，∴PM的长为圆M的半径4，
∴动点Q满足|QM|＋|QN|＝4，
即点Q的轨迹C是以M，N为焦点，2a＝4的椭圆，
∴a2＝4，c＝1，b2＝a2－c2＝3，
∴曲线C的方程为＝1．故选A．
(2)根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8．]
考点二　椭圆的标准方程
椭圆的标 准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
图象
椭圆焦点 的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
焦距 2c
异同点 相同点：都满足a2＝b2＋c2． 不同点：焦点的位置不同
提醒：椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看分母，焦点随着大的跑”．
[典例2]　求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2)经过两点(2，－)，；
(3)与椭圆＝1有相同离心率，且经过点(2，－)．
[解]　(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设其方程为＝1(a>b>0)，
∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1，解得a＝3，
∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若椭圆的焦点在y轴上，
设其方程为＝1(a>b>0)，
∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1，解得b＝3，
又2a＝3×2b，∴a＝9，
∴椭圆的标准方程为＝1．
综上，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＝1．
(2)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＝1．
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
(3)椭圆＝1的离心率e＝，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是＝1(a>b>0)，
∴解得
∴所求椭圆的标准方程为＝1．
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＝1(a>b>0)，
∴∴
∴椭圆的标准方程为＝1，
综上，所求椭圆的标准方程为＝1或＝1．
反思领悟　待定系数法求椭圆的标准方程
(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
(2)根据已知条件用待定系数法求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先由题目条件确定方程的类型(焦点的位置)，再由条件确定方程的参数，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出标准方程．
(3)当椭圆焦点的位置不确定时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
巩固迁移2　(1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
(2)(人教A版选择性必修第一册P112练习T3改编)已知椭圆过点(3，0)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为________________．
(1)B　(2)＝1或＝1　[(1)因为离心率e＝＝＝，解得＝，即b2＝a2，
A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1，A2，B为上顶点，所以B(0，b)．
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，
因为·＝－1，
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，
故椭圆C的方程为＝1．
故选B．
(2)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，＝，
所以c＝，
从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＝1．
当椭圆的焦点在y轴上时，
因为b＝3，＝，所以＝，所以a2＝27，
所以椭圆的标准方程为＝1．
综上，椭圆的标准方程为＝1或＝1．]
考点三　椭圆的简单几何性质
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
图象
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝＝∈(0，1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
[常用结论]
1．设P为椭圆上不同于长轴两端点的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则
①b≤|OP|2．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．
　离心率
[典例3]　(1)(2025·咸阳模拟)已知椭圆＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2025·杭州模拟)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(1)B　(2)B　[(1)由题意得t－4＞10－t＞0，可得7＜t＜10，
因为焦距为4，所以t－4－(10－t)＝4，解得t＝9，所以a＝，c＝2，
所以椭圆的离心率为＝＝．故选B．
(2)设椭圆E的上顶点、右顶点、左焦点分别为A，B，F，
则|AB|＝，|AF|＝＝a，|BF|＝a＋c，
依题意△ABF为等腰三角形，则|AB|＝|BF|，
所以＝a＋c，化简得b2＝c2＋2ac，又b2＋c2＝a2，
所以2c2＋2ac－a2＝0，即2e2＋2e－1＝0，
解得e＝，又0＜e＜1，所以e＝，
即椭圆E的离心率为．故选B．]
反思领悟　本例(1)中，由焦点在y轴上可得t－4>10－t>0，由焦距为4，可得t的值．进而求出a＝，c＝2，利用离心率公式e＝可得解；解决本例(2)的关键是利用上顶点、右顶点、左焦点是等腰三角形的三个顶点构造a，c的齐次式，得出a与c的关系，进而求得e．
巩固迁移3　(2024·温州质检)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭圆C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆C的离心率为________．
　[因为点M在椭圆C上，
所以|MF1|＋|MF2|＝2a，
则|MF1|＝2a－|MF2|(a－c≤|MF2|≤a＋c)，
所以|MF1|·|MF2|＝(2a－|MF2|)|MF2|＝＋a2，
所以当|MF2|＝a时，|MF1|·|MF2|有最大值a2，
当|MF2|＝a－c或|MF2|＝a＋c时，
|MF1|·|MF2|有最小值a2－c2．
因为|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，所以a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，
所以e2＝，所以离心率e＝．]
【教用·备选题】
已知F1，F2是椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，，则C的离心率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
A　　[在椭圆C：＝1(a>b>0)中，由椭圆的定义可得＝2a，
因为，
所以＝＝，在△PF1F2中，＝2c，
由余弦定理得＝＋－2cos ∠F1PF2，
即4c2＝＝a2，所以＝，
所以C的离心率e＝＝．
故选A．]
　与椭圆有关的最值、范围问题
[典例4]　(多选)已知椭圆＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　)
A．的最大值为4
B．|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2]
C．不存在点P使PF1⊥PF2
D．|PB|的最大值为2
AB　[依题意知，a＝4，b＝2，c＝2，当点P为短轴顶点时，max＝×2c×b＝4，故A正确；
由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确；
对于C，sin ∠F2BO＝＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；
对于D，设P(x0，y0)，
所以|PB|＝，
又＝1，所以＝，
所以|PB|＝＝
＝，
又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，
|PB|max＝＝，故D错误．
故选AB．]
反思领悟　利用椭圆的几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上的点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
巩固迁移4　已知椭圆＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则·的取值范围为(　　)
A．[－16，0] B．[－8，0]
C．[0，8] D．[0，16]
D　[法一：由题意知A(－4，0)，F (2，0)，设M(x0，y0)，
则·＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝＝＝＋2x0＋4＝(x0＋4)2，
因为－4≤x0≤4，
所以0≤·≤16．
法二：由题意知A(－4，0)，F (2，0)，
设M(x0，y0)，取线段AF的中点N，则N(－1，0)，
连接MN，如图，
则·
＝
＝＝－9＝－9＝－9＝＋2x0＋4＝(x0＋4)2，
因为－4≤x0≤4，
所以0≤·≤16．]
【教用·备选资源】
椭圆的蒙日圆及其几何性质
过椭圆＝1上任意不同两点M，N作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆O：x2＋y2＝a2＋b2，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：
性质1：PM⊥PN．
性质2：PO平分切点弦MN．
性质3：S△MON的最大值为，S△MON的最小值为．
[典例]　(多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：＝1的蒙日圆为C：x2＋y2＝a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则(　　)
A．椭圆Γ的离心率为
B．△MPQ面积的最大值为a2
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为a
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－
ABD　[依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝a2，得a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝＝＝，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以＝2×＝a，所以△MPQ面积的最大值为＝＝a2，故B正确；设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F，连接MF (图略)，因为c2＝a2－b2＝a2，所以＝＝＋2x0c＋c2＝a2＋2x0×a＋a2＝2a2＋ax0，又－a≤x0≤a，所以a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为，故C错误；由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A，D，则B，k1＝，k2＝，
又所以＝0，
所以＝·＝－，
所以k1k2＝－，故D正确．故选ABD．]
1．(人教A版选择性必修第一册P107例1改编)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，则它的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
D　[由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知c＝2，2a＝＝2，
所以a＝，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6，所以所求椭圆的标准方程为＝1．]
2．(多选)(人教A版选择性必修第一册P115习题改编)已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8，则下列说法正确的是(　　)
A．长轴长为10
B．短半轴长为6
C．焦点坐标可以是(0，4)
D．椭圆的标准方程可以是＝1
ACD　[由题意知2c＝8，即c＝4．又e＝＝0.8，所以a＝5，2a＝10，A正确；因为a2－b2＝c2，所以b2＝9，b＝3，B错误；若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为＝1，D正确；若椭圆的焦点在y轴上，则其中一个焦点坐标是(0，4)，椭圆的标准方程为＝1，C正确．故选ACD．]
3．(2024·山东名校联考)已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则D的离心率是(　　)
A． B．
C． D．
C　[法一：无论椭圆的焦点位于x轴还是y轴上，根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，△ABC是正三角形，
可得2b＝，即a2＝3b2，
故a2＝3(a2－c2)，2a2＝3c2，
则e2＝，所以离心率e＝．
法二：无论椭圆的焦点位于x轴还是y轴上，
根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，△ABC是正三角形，
得tan 60°＝＝，所以＝，
所以离心率e＝＝＝．]
4．(2024·宜宾市兴文县开学考试)椭圆＝1的焦距等于________．
4　[由椭圆的方程＝1可得a2＝10，b2＝6，
所以c＝＝＝2，所以椭圆的焦距为2c＝4．]
【教用·备选题】
1．(2024·湛江市赤坎区期末)如图，椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆相交于P，Q两点．若|PF1|＝3，|PQ|＝4，|F1Q|＝5，则椭圆C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
D　[设|PF2|＝x，则|F2Q|＝4－x，又因为＋|PQ|2＝|F1Q|2，故PF1⊥PQ，
又|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|，可得3＋x＝5＋(4－x)，解得x＝3，
∴a＝＝3，
c＝＝，∴b2＝，
∴椭圆C的方程为＝1，故选D．]
2．已知椭圆T：＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F且斜率为1的直线l与T交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x＋2y＝0上，则T的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
D　[如图，设，y2)，由题意可知直线AB的方程为y＝x－c，
线段AB的中点M是直线l与直线x＋2y＝0的交点，
联立解得
所以M，
另一方面，联立得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0．
易知Δ＞0，由根与系数的关系得x1＋x2＝＝c，解得a2＝2b2，
所以a2＝2(a2－c2)，故离心率e＝＝．故选D．]
3．圆锥曲线具有丰富的光学性质：将椭圆绕它的长轴旋转一周会形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点F1发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点F2．如图甲，椭圆C为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线l′表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)．由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为4c．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
(1)椭圆C的离心率为________．
(2)点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l．F2在l上的射影H在圆x2＋y2＝4上，则椭圆C的方程为________．
　
(1)　(2)＝1　[(1)设椭圆C的长轴长为2a(a＞0)，则由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1，
经过的路程为2a＋2a＝4a＝4c，
∴椭圆C的离心率e＝＝．
(2)如图，延长F2H，F1P，交于点F0，
在△PF2F0中，PH⊥F0F2，由反射角等于入射角，得
∠F2PH＝α＝∠F0PH，
则|PF2|＝|PF0|，且H为F2F0的中点，
因为点H在圆x2＋y2＝4上，所以|OH|＝2，
在△F1F2F0中，|OH|＝|F1F0|＝(|PF1|＋|PF0|)＝(|PF1|＋|PF2|)＝2，
则|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，故a＝2，由于e＝＝，故c＝，b2＝a2－c2＝4－2＝2，
所以椭圆C的方程为＝1．]
课后习题(五十四)　椭圆及其性质
1．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．长轴长为 B．焦距为
C．短轴长为 D．离心率为
D　[把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1，所以a＝，b＝，c＝，
则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选D．]
2．(多选)(苏教版选择性必修第一册P124复习题T3改编)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列说法正确的是(　　)
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
C．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
AD　[当m≠0，且n≠0时，由mx2＋ny2＝1，得＝1，若m>n>0，则0<<，∴C是椭圆，且焦点在y轴上，故A正确，B错误；若m＝n>0，则x2＋y2＝，故C是圆，半径为，C错误；若m＝0，n>0，则y2＝，∴y＝±，则C是两条直线，D正确．故选AD．]
3．(多选)(苏教版选择性必修第一册P93习题3.1(2)T13改编)如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则(　　)
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以为＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
ACD　[圆柱的底面半径是，直径是2，所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，短轴长2b＝2，b＝，则c＝＝，离心率e＝＝．以椭圆的中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为y轴、x轴建立平面直角坐标系(图略)，可得椭圆的方程为＝1．椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－．故选ACD．]
4．(人教A版选择性必修第一册P112练习T4(2)改编)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是________．
＝1或＝1　[由题意知a＝4，e＝，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7．因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是＝1或＝1．]
5．(2025·郑州模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长为2，点M在椭圆上，若|MF|的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为(　　)
A．3 B．4
C．1 D．2
D　[依题意，椭圆短轴长为2，得b＝，则a2－c2＝b2＝3，
又|MF|的最大值是最小值的3倍，即a＋c＝3(a－c)，所以a＝2c，
所以a＝2，c＝1，则其焦距为2c＝2．故选D．]
6．(2025·西安市未央区模拟)已知椭圆C：＝1(0A． B．
C．2 D．
D　[由题意知该椭圆的焦点在x轴上，如图所示．
由题意|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF1|＝6－2c，
由余弦定理得，
cos ∠F1PF2＝＝，
即＝，即c2－5c＋6＝0，又因为c＝<3，
则c＝2，由a2－b2＝c2，所以b2＝5，即b＝．故选D．]
7．(多选)(2024·崇左市大新县期末)已知曲线＝1表示椭圆，则下列说法正确的是(　　)
A．m的取值范围为(4，16)
B．若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(10，16)
C．若m＝6，则该椭圆的焦距为4
D．若该椭圆的离心率为，则m＝7
BC　[由题意 m∈(4，10)∪(10，16)，A错误；
若该椭圆的焦点在y轴上，则m－4＞16－m＞0 10＜m＜16，B正确；
若m＝6，则＝1，故c＝＝2，故该椭圆的焦距为4，C正确；
若该椭圆的离心率为，则1－＝或1－＝，解得m＝7或m＝13，D错误．故选BC．]
8．(2024·湖北孝感校联考模拟)某广场的一个椭球水景雕塑，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，F1，F2分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点F2的一条弦，且△PQF1的周长为3．若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为(　　)
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
B　[根据题意，画出该椭球的过横截面圆心的纵截面示意图如图，
根据椭圆的定义，△PQF1的周长为|PQ|＋|PF1|＋|QF1|＝4a＝3×2c，
即2a＝3c，①
由该椭球横截面的最大直径为2米，可知2b＝2，得b＝1．
又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝c2＋1，②
①②联立可得c＝，a＝，所以该椭球的高为2a＝ 米．故选B．]
9．(2025·长沙模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且＝2·＝0，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
C　[连接NF2，设|NF1|＝n，则|MF1|＝2n，|MF2|＝2a－2n，|NF2|＝2a－n，
∵·＝0，
∴MF2⊥MN，
在Rt△MNF2中，|MN|2＋|MF2|2＝|NF2|2，即(3n)2＋(2a－2n)2＝(2a－n)2，
∴9n2＋4a2－8an＋4n2＝4a2－4an＋n2，
∴12n2＝4an，则n＝，
|＝|＝，
在Rt△MF1F2中，|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即＝4c2，
∴36c2＝20a2，即e2＝＝，
又∵e∈(0，1)，∴e＝．
故选C．]
10．(2024·上海市徐汇区月考)长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是________．
＝1或＝1　[由长轴的长是2a＝4，得a＝2，由焦距是2c＝2，得c＝1，
所以b＝＝，所以椭圆的标准方程是＝1或＝1．]
11．(2024·济南质检)已知椭圆＝1(a>b>0)的右焦点为F (c，0)，上顶点为A(0，b)，若直线x＝上存在一点P满足()·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为________．
　[取AP的中点Q，则＝)，
所以()·＝2·＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a．
因为点P在直线x＝上，
所以|FP|≥－c，即a≥－c，
所以－1，所以e2＋e－1≥0，
解得e≥或e≤．
又012．(2024·上海市闵行区期末)已知椭圆＋y2＝1(a＞1)的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B，直线l过点B且与x轴垂直，点P是椭圆上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D．
(1)若E是椭圆的上顶点，且△AEF是直角三角形，求椭圆的标准方程；
(2)若a＝2，∠PAB＝45°，求△PAF的面积；
(3)判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
[解]　(1)由题意，A(－a，0)，F (c，0)(c＞0)，E(0，1)，
∵∠AEF＝90°，故·＝0，
∴ac＝1．
又a2＝c2＋1，∴a2＝，∴椭圆的标准方程为＋y2＝1．
(2)当a＝2时，椭圆方程为＋y2＝1，
由对称性，不妨设点P在x轴的上方，则直线AP的方程为y＝x＋2，
代入椭圆方程，得5x2＋16x＋12＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝－，∴P．
∴S△PAF＝|AF|·|yP|＝．
(3)以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明：设P(x0，y0)，则＝1，a2＝c2＋1，直线AP的方程为y＝(x＋a)，
∴D，BD的中点M，当直线PF的斜率不存在时，方程为x＝c；
当直线PF的斜率存在时，直线PF的方程为y＝(x－c)，即y0(x－c)－(x0－c)y＝0，经检验x＝c满足y0(x－c)－(x0－c)y＝0，故直线PF的方程为y0(x－c)－(x0－c)y＝0．
点M到直线PF的距离
d＝
＝·|y0|
＝·|y0|＝＝|MB|，
∴以BD为直径的圆与直线PF相切．证毕．
1/1

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