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第6课时　直线与椭圆
[考试要求]　1．理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法．2．会借助方程的思想解决直线与椭圆相交的综合问题．
考点一　直线与椭圆的位置关系
1．点P(x0，y0)与椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内＜1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外＞1．
2．直线与椭圆的位置关系的判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交 Δ>0；直线与椭圆相切 Δ＝0；直线与椭圆相离 Δ<0．
　
[常用结论]
椭圆上一点处的切线方程
点P(x0，y0)在椭圆＝1(a＞b＞0)上，则椭圆在点P处的切线方程为＝1．
[典例1]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
[解]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0．③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝＋144．
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
反思领悟　(1)本例研究直线和椭圆的位置关系，一般将直线与椭圆的方程联立，消元后利用判别式Δ与0的关系进行判断．
(2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点与椭圆的位置关系来判断直线和椭圆的位置关系．
巩固迁移1　(1)(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线mx－y－2m＋1＝0(m∈R)与椭圆＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．随着m取值的变化而变化
(2)(2025·衡阳模拟)已知直线kx＋y＋2k＝0与椭圆＝1相切，则k的值为(　　)
A．2 B．
C．±2 D．±
(1)C　(2)C　[(1)由直线mx－y－2m＋1＝0，得m(x－2)－y＋1＝0，
联立解得
∴直线mx－y－2m＋1＝0(m∈R)过定点(2，1)，
代入＝1，有＝＝＜1，
∴点(2，1)在椭圆＝1的内部，
则直线mx－y－2m＋1＝0(m∈R)与椭圆＝1的位置关系是相交．故选C．
(2)依题意，联立消去y得(4＋3k2)x2＋12k2x＋12k2－12＝0，因为直线kx＋y＋2k＝0与椭圆＝1相切，
所以Δ＝(12k2)2－4×(4＋3k2)×(12k2－12)＝0，
化简整理得k2－4＝0，所以k＝±2．故选C．]
考点二　弦长及中点弦问题
1．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝＝|x2－x1|＝
或|AB|＝＝|y2－y1|＝，k为直线的斜率且k≠0．
特别地，过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径．无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为，通径是过焦点的直线截椭圆所得弦长中最短的．
2．中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．
(2)点差法：若直线l与椭圆C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B的坐标代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得k＝－·．
　弦长问题
[典例2]　(2024·承德二模)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点到右焦点的距离是3，且椭圆C的离心率是，过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，过左焦点且与直线l垂直的直线l′与椭圆交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求|AB|＋|MN|的取值范围．
[解]　(1)由题意得解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＝1．
(2)由(1)可知，左焦点F (－1，0)，
当直线l的斜率不存在或者斜率为0时，|AB|＋|MN|＝＋2a＝3＋4＝7；
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l：y＝k(x＋1)，直线l′：y＝－(x＋1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
联立整理得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
此时Δ＝144(k2＋1)>0恒成立，可得k∈R，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
因此|AB|＝＝·＝，
同理可得|MN|＝，
所以|AB|＋|MN|＝
＝
＝7
＝7－，
由于12k2＋≥24，当且仅当k2＝1时等号成立，则≤|AB|＋|MN|<7，
综上所述，|AB|＋|MN|的取值范围为．
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4.
(1)求C的方程．
(2)过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为，求|AB|.
解：(1)由2a＝4，得a＝2.
由题意得e＝＝，则c＝a＝，又b2＝a2－c2，所以b＝.
所以C的方程为＝1.
(2)由题意得l的斜率存在，设l：y＝kx－2，代入＝1，消去y并化简得(1＋2k2)x2－8kx＋4＝0，
由Δ＝16(2k2－1)＞0，得k2＞，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
S△OAB＝×2×|x2－x1|＝＝＝，解得k2＝.
所以|AB|＝|x2－x1|＝＝.
反思领悟　本例(2)中，直线和椭圆相交求弦长时，常联立方程，利用根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2，再利用弦长公式求解；一般不用求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解．但要注意涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在的特殊情形．
巩固迁移2　(人教A版选择性必修第一册P114练习T2改编)已知过点(0，1)的直线与椭圆x2＋＝1交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是(　　)
A．(，2) B．[，2)
C．(，2] D．[，2]
D　[由02＋<1，得点(0，1)在椭圆内，若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1，联立椭圆方程，
整理得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0，且Δ＝4k2＋4(2＋k2)＞0，
所以xA＋xB＝－，xAxB＝－，
则|AB|＝＝2·＝2∈[，2)，
若直线AB的斜率不存在，则|AB|为长轴长，即2，
综上，|AB|∈[，2]．
故选D．]
【教用·备选题】
已知M，N分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM|＝3|FN|，且点P在椭圆E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若过焦点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：为定值．
[解]　(1)由|FM|＝3|FN|，可得a＋c＝3(a－c)，解得a＝2c，
又因为a2＝b2＋c2，所以b＝c，
因为点P在椭圆E上，
所以＝1，解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆E的标准方程为＝1．
(2)证明：当l与x轴重合时，|AB|＝|CD|＝4，
所以＝7；
当l不与x轴重合时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1，
由 整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
故|AB|＝
＝
＝12×．
圆心O到直线l的距离为，则＝4－，
所以＝＋4－＝7，即为定值．
　中点弦问题
[典例3]　直线l过点M(2，1)且与椭圆x2＋4y2＝16相交于A，B两点，若M为弦AB的中点，则直线l的斜率为(　　)
A．－ B．
C．－1 D．1
A　[法一(方程组法)：易知直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－1＝k(x－2)．
由得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝．
又M为弦AB的中点，
所以＝＝2，
解得k＝－，且满足Δ>0．
故选A．
法二(点差法)：将M(2，1)代入＝1得＝<1，故点M在椭圆内．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为M(2，1)为弦AB的中点，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．
又A，B两点在椭圆上，所以＝＝16，
两式相减，得＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
所以＝－＝－＝－，
即kAB＝－．故选A．]
反思领悟　中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，但在用“点差法”时，要检验直线与椭圆是否相交，用“根与系数的关系”时，前提条件是“Δ>0”．
巩固迁移3　(2024·遵义播州区一模)已知椭圆C：＝1，过点P的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
B　[由＝＜1，可得点P在椭圆C内，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为P，可得x1＋x2＝1，y1＋y2＝3，
又＝＝1，两式相减可得
＝0，
即＝0，即kAB＝＝－1，
可得直线AB的方程为y－＝－，即x＋y－2＝0，
坐标原点O到直线AB的距离d＝＝．故选B．]
考点三　直线与椭圆的综合问题
[典例4]　(2025·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P到直线x＝4的距离与点P到点F (1，0)的距离之比为常数2．记点P的轨迹为C，曲线C的上顶点为B．
(1)推导C的标准方程；
(2)过点B的直线与C相交于另一点A．若△ABF的面积为，求直线AB的方程．
[解]　(1)设P(x，y)，由题意可得＝2，
化简可得3x2＋4y2＝12，即＝1．
所以C的标准方程为＝1．
(2)由(1)可得B(0，)，设直线AB的方程为x＝t(y－)，
联立
可得(3t2＋4)y2－6t2y＋9t2－12＝0．设A(m，n)，
则n＝，即n＝，
所以m＝t＝－，
即A．
设直线AB与x轴的交点为D，
D点在直线x＝t(y－)上，令y＝0，可得x＝－t，即D(－t，0)．
由椭圆方程可得F (1，0)，
则S△ABF＝S△DBF－S△ADF＝|DF|·(yB－yA)＝(1＋t)·
＝(1＋t)·＝＝，
所以4＋4t＝3t2＋4，即3t2＝4t，解得t＝0或t＝．
所以直线AB的方程为x＝0或x＝(y－)，
即直线AB的方程为x＝0或x－4y＋4＝0．
链接·2025高考试题
(2025·天津卷)已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P为直线x＝a上一点，且直线PF的斜率为，△PFA的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，求证：PF平分∠AFB.
[解]　(1)∵PF的斜率为，
∴|PA|＝|FA|，
∴S△PFA＝×|PA|×|FA|＝×(a＋c)2＝，
得a＋c＝3，
又＝，∴a＝2，c＝1，则b＝，
∴椭圆的方程为＝1.
(2)证明：由(1)知F(－1，0)，P(2，1)，则直线PF的方程为y＝(x＋1)，
易知直线PB的斜率存在，设PB的方程为y－1＝k(x－2)，
由得(4k2＋3)x2－8k(2k－1)x＋8(2k2－2k－1)＝0，
∵PB与椭圆仅有一个交点，
∴Δ＝64k2(2k－1)2－32(4k2＋3)(2k2－2k－1)＝0，解得k＝－，
∴xB＝－＝1，则yB＝，
∴B，
∴直线BF的斜率为＝.
∵tan 2∠PFA＝＝，∴∠BFA＝2∠PFA，
即PF平分∠AFB.
链接·2025高考试题
(2025·上海卷)已知椭圆Γ：＝1(a＞)，M(0，m)(m＞0)，A是Γ的右顶点．
(1)若Γ的一个焦点是(2，0)，求Γ的离心率e；
(2)若a＝4，且Γ上存在一点P，满足＝2，求m的值；
(3)若线段AM的垂直平分线l的斜率为2，l与Γ交于C，D两点，∠CMD为钝角，求a的取值范围．
[解]　(1)由已知得a2－5＝22，所以a2＝9.
所以a＝3，又c＝2，
所以e＝.
(2)当a＝4时，Γ：＝1，则A(4，0)，
因为＝2，所以＝2()，其中O为坐标原点，
则＝＝(4，0)＋(0，m)＝，
故P.
又P在Γ上，所以＝1，
又m＞0，
所以m＝.
(3)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题知A(a，0)，M(0，m)，则kAM＝－，
故kl＝＝2，即a＝2m.
直线l过线段AM的中点，即，则l：y－＝2(x－m)，即l：y＝2x－m.
联立
消去y得(5＋16m2)x2－24m3x＋9m4－20m2＝0，
消去x得4(5＋16m2)y2＋60my－275m2＝0，
由∠CMD为钝角知，＝(x1，y1－m)·(x2，y2－m)＝x1x2＋(y1－m)(y2－m)＝x1x2＋y1y2－m(y1＋y2)＋m2＝－m·＋m2＝＜0，
即25(4m4－11m2)<0，又m>0，所以0又a＝2m，且a>，所以故a的取值范围为().
反思领悟　1．求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求、整体代入的方法．
2．设直线方程的两种方式
(1)正设：如果直线过y轴上的定点(0，b)，且斜率存在，那么可设直线方程为y＝kx＋b；
(2)反设：如果直线过x轴上的定点(a，0)，且斜率不为0，那么可设直线方程为x＝ty＋a．
这两种方程都有自己的优点和缺点，注意区分使用．直线反设，常用情景：
①直线过x轴上的定点；②核心条件转化后的式子中含有y1＋y2或y1y2；③需要讨论斜率不存在的情况．
巩固迁移4　(2025·江苏泰州模拟)已知l1，l2是过点(0，2)的两条互相垂直的直线，且l1与椭圆Γ：＋y2＝1相交于A，B两点，l2与椭圆Γ相交于C，D两点．
(1)求直线l1的斜率k的取值范围；
(2)若线段AB，CD的中点分别为M，N，证明直线MN经过一个定点，并求出此定点的坐标．
[解]　(1)根据题意可知直线l1，l2的斜率均存在且不为0，
设直线l1，l2分别为y＝kx＋2，y＝－x＋2，
联立得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ＝(16k)2－4×12(4k2＋1)>0，得4k2>3，则k<－或k>，
同理联立得x2－x＋12＝0，由Δ>0，得4>3，则－所以k的取值范围为．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，
所以x1＋x2＝－，
则xM＝＝－，
所以yM＝kxM＋2＝－＋2＝，
则M，
同理N，则直线MN的方程为y－＝，
化简整理得y＝x＋，因此直线MN经过定点．
1．(2024·江西期末)直线＝1与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
C　[因为直线＝1过点(a，0)，(0，b)，
而(a，0)，(0，b)为椭圆＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，
故直线＝1与椭圆＝1(a>b>0)相交．故选C．]
2．已知P(1，1)为椭圆＝1内一定点，经过点P引椭圆的一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在直线的方程为________．
x＋2y－3＝0　[法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去y得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
所以x1＋x2＝．
又因为x1＋x2＝2，所以＝2，解得k＝－．
经检验，k＝－满足题意．
故此弦所在直线的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0．
法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其斜率为k，弦所在直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，①
＝1，②
①－②得＝0．
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＋y1－y2＝0．
又x1－x2≠0，所以k＝＝－．
经检验，k＝－满足题意．
所以此弦所在直线的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0．]
3．(2024·大庆市让胡路区开学考试)椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中F2(，0)，O为原点．椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为2．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点P(0，1)且斜率为2的直线l交椭圆于A，B两点，求△OAB的面积．
[解]　(1)设椭圆的半焦距为c(c＞0)，则c＝，
由椭圆的定义知，2a＝2，即a＝，所以b2＝a2－c2＝1，
故椭圆的标准方程为＋y2＝1，离心率为＝＝．
(2)由题意知，直线l的方程为y＝2x＋1，联立得13x2＋12x＝0，
解得x1＝0，x2＝－，所以y1＝1，y2＝－＋1＝－，
不妨设A(0，1)，B，
则|AB|＝＝，
而点O(0，0)到直线y＝2x＋1的距离为d＝＝，
所以S△OAB＝|AB|·d＝＝．
【教用·备选题】 1．(多选)(2025·河北邯郸模拟)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＝1，则下列结论正确的是(　　) A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2 B．若C与l有且仅有两个公共点，则<2 C．若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个 D．若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个 BCD　[联立消去y得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则Δ＝12． 对于A，令Δ＝12≥0，则有－2≤m≤2，A错误； 对于B，令Δ＝12>0，则有<2，B正确； 对于C，令直线l与椭圆C相切， 则Δ＝12＝0， 即m＝±2，直线y＝x＋3与y＝x－2的距离d＝＝5，即椭圆上的点到直线l的距离的最大值为5，这样的点仅有1个，C正确； 对于D，如图，直线y＝x－与y＝x－2和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，D正确．故选BCD． ] 2．(2025·安康模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)，过点M(x0，y0)作倾斜角为的直线与C交于A，B两点，当M为线段AB的中点时，直线OM(O为坐标原点)的斜率为－，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以两式相减得＝0， 即＝－， 又 所以＝－， 整理得＝－，又kAB ＝tan ＝1＝，kOM＝＝－， 所以1＝－×(－3)，所以＝， 所以椭圆C的离心率e＝＝＝＝．故选D．] 3．(2025·广州模拟)已知点A，B是椭圆＝1上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点M(m，0)的距离相等，则实数m的取值范围为(　　) A．　　　　　 B．(－1，1) C． D．(－2，2) B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，线段AB的中点为G(x0，y0)， 则两式相减得＝0， 所以＝－， 所以＝－， 所以＝－， 因为M(m，0)，|MA|＝|MB|，G是AB的中点，所以MG⊥AB，所以kGM＝－， 即＝，所以4x0－4m＝3x0，所以x0＝4m， 因为－4＜x0＜4，所以－4＜4m＜4，所以－1＜m＜1， 即实数m的取值范围为(－1，1)．故选B．] 4．(2024·南京市鼓楼区期末)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，·＝0． (1)求C的离心率； (2)若射线AF1交椭圆C于点B，且AB＝，求a的值． [解]　(1)依题意可得上顶点A(0，b)，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)， 所以＝(－c，－b)，＝(c，－b)， 又·＝0， 所以·＝－c2＋(－b)2＝0，即b2＝c2，即a2－c2＝c2， 所以a2＝2c2，所以离心率e＝＝． (2)由(1)可得b＝c，a＝c，则椭圆C的方程为＝1， 直线AF1的方程为y＝x＋b＝x＋c， 联立整理可得3x2＋4cx＝0，Δ>0， 解得x＝0或x＝－c，即xB＝－c， 则yB＝－c，即B，A(0，c)， 所以|AB|＝·c＝c＝， 解得c＝，所以a＝1． 5．(2025·青岛模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，椭圆C的离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F作斜率为的直线交椭圆C于P，Q两点，求弦PQ中点的坐标． [解]　(1)因为椭圆C的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，所以c＝1，① 因为椭圆C的离心率为，所以＝，② 又b2＝a2－c2，③ 联立①②③，解得a＝2，b＝， 则椭圆C的方程为＝1． (2)设PQ的中点为M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 所以此时kPQ＝＝， 因为P，Q两点在椭圆＝1(a>b>0)上， 所以 两式相减可得＝0， 整理得＝－＝－·＝－＝， 则＝－2，过点F且斜率为的直线方程为y＝， 因为M(x0，y0)在直线上， 所以y0＝，又＝－2，解得x0＝－1，y0＝． 所以PQ中点的坐标为．
课后习题(五十五)　直线与椭圆
1．(人教A版选择性必修第一册P114练习 T2改编)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A． B．
C． D．
C　[由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，
所以椭圆右焦点的坐标为(，0)，
则直线l的方程为y＝x－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y得5x2－8x＋8＝0，
Δ＝(－8)2－4×5×8＝32＞0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|AB|＝·
＝＝．
即弦AB的长为．]
2．(多选)(苏教版选择性必修第一册P125复习题T15改编)已知椭圆＋y2＝1，斜率为k且不经过原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为，则直线l的方程为x＋2y－2＝0
C．若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
D．若直线l过椭圆焦点，则1<|AB|<4
BD　[由题意，a＝2，b＝1．对于A，设，M(x0，y0)，则＝＝1，两式作差可得＝－(y1＋y2)(y1－y2)，∴＝－＝－，则kAB·kOM＝－≠－1，故A错误；对于B，若点M的坐标为，则kAB＝－，则直线l的方程为y－＝－(x－1)，即x＋2y－2＝0，故B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，则kOM＝－，故OM所在直线的方程为y＝－x，很显然点M的坐标不可能为，故C错误；对于D，易知过椭圆焦点的弦中，通径最短，为＝1，长轴最长，为4，
由直线l的斜率存在且不过原点，得1<|AB|<4，故D正确．故选BD．]
3．(人教B版选择性必修第一册P173习题2－8AT4改编)若直线y＝kx＋2与椭圆＝1没有公共点，则实数k的取值范围是________．
　[把y＝kx＋2代入＝1，消去y并整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意得Δ＝(12k)2－4×(2＋3k2)×6＝72k2－48<0，解得－故实数k的取值范围是．]
4．(人教A版选择性必修第一册P145复习参考题3T7改编)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为坐标原点)，求直线l的方程．
[解]　(1)由题意可得解得
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1．
(2)由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
则Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48>0，且y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝＝＝，
所以S△ABO＝|OP|·|y1－y2|＝×1×＝＝．
设t＝，则t≥＝，
整理得(3t－1)(t－3)＝0，解得t＝3或t＝(舍去)，则m＝±．
故直线l的方程为x＝±y＋1，即x±y－1＝0．
5．(2024·葫芦岛期末)已知直线l：(a＋2)x＋(1－a)y－(a＋5)＝0，椭圆C：＝1，则l与C的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．相交或相切
D　[由直线l：(a＋2)x＋(1－a)y－(a＋5)＝0，得2x＋y－5＋a(x－y－1)＝0，
联立解得
∴直线l过定点P(2，1)，代入椭圆C：＝1，
有＝1，可知点P在椭圆上，则直线l与椭圆C的位置关系为相切或相交．
故选D．]
6．(2024·铜川三模)已知原点为O，椭圆C：＝1(a＞b＞0)与直线l：x－y＋1＝0交于A，B两点，线段AB的中点为M，若直线OM的斜率为－，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
B　[依题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则M，
直线l与椭圆C交于A，B两点，
则
两式相减可得－＝，
∴－＝1×，即a2＝4b2，即a2＝4(a2－c2)，故＝．
故选B．]
7．(2024·济南莱芜区月考)已知椭圆＋y2＝1，点P是椭圆上的任意一点，则P到直线x－y＋＝0的距离的最大值是(　　)
A． B．
C． D．
A　[根据题意，联立则5x2＋8x＋16＝0，
则Δ＝(8)2－4×5×16＝0，
所以直线x－y＋＝0与椭圆＋y2＝1相切，且在椭圆上方，
设与直线x－y＋＝0平行的椭圆的另一条切线方程为x－y＋m＝0(m≠)，联立
则5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
令Δ＝0，即64m2－4×5(4m2－4)＝0，解得m＝(舍去)或m＝－，
则x－y－＝0，故两切线之间的距离d＝＝，
即P到直线x－y＋＝0的距离的最大值是．
故选A．]
8．(2024·渭南大荔县期末)已知直线l：mx－y＋1＝0与椭圆C：＋y2＝1交于A，B两点，当|AB|取最大值时，m的值为(　　)
A．± B．±
C．± D．±
C　[法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y整理得(1＋4m2)x2＋8mx＝0，解得x1＝0，x2＝，
则y1＝1，y2＝，则A(0，1)，B，
所以|AB|＝
＝8
＝8
＝8
＝8，所以当＝，即m＝±时，|AB|取最大值．故选C．
法二：直线l：mx－y＋1＝0过点(0，1)，又椭圆C：＋y2＝1的上顶点为(0，1)，不妨设，y0)，则＝，
|AB|2＝＋(y0－1)2＝－3＋，
∴当y0＝－时，|AB|有最大值，此时x0＝±，即B，
∴m＝kAB＝±．]
9．(2024·南昌市东湖区期末)已知直线x－2y＋1＝0与椭圆＋y2＝1交于A，B两点，则|AB|＝________．
　[联立x－2y＋1＝0与＋y2＝1，得2x2＋2x－3＝0，Δ＝4＋4×2×3＝28>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，x1x2＝－，
故|AB|＝·＝＝．]
10．(2025·临沂模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，直线l与C交于A，B两点，直线y＝－2x与l的交点恰好为线段AB的中点，则l的斜率为________．
　[∵离心率e＝＝，∴＝，
∴a2＝2b2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，
∴直线l的斜率k＝，直线y＝－2x的斜率为－2＝＝，
由两式相减可得＝0，
∴··＝0，
∴·k·＝0，∴·k×(－2)＝0，
∴＝0，∴k＝．]
11．(2024·北京市西城区开学考试)已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率e＝，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线l过点(－1，0)，且与椭圆相交于不同的两点A，B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段AB中点的纵坐标为，求直线l的方程．
[解]　(1)由题意可知2a＝4，e＝＝，得c＝，又b2＝a2－c2，解得b2＝1．
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1．
(2)由题意可知直线l的斜率存在，设l：y＝k(x＋1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消y得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，Δ＝48k2＋16>0，
由根与系数的关系得
设AB中点的坐标为(x0，y0)，
所以x0＝＝，
所以y0＝k(x0＋1)＝＝，
解得k＝，所以AB中点的坐标为，
故直线l的方程为y－＝，即x－2y＋1＝0．
12．(2024·兰州市皋兰县期末)已知椭圆C：＝1，直线l：y＝x＋m(其中m＜0)与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点，O为坐标原点，|OD|＝．
(1)求m的值；
(2)求△OAB的面积．
[解]　(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立消去y得5x2＋6mx＋3m2－6＝0．
由Δ＝36m2－20(3m2－6)＞0，且m＜0，可得－则x1＋x2＝－，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝－＋2m＝，
故点D的坐标为，
又因为|OD|＝＝，
解得m＝－1或m＝1(舍去)，
所以m的值为－1．
(2)由(1)可知x1＋x2＝，x1x2＝－，y1＋y2＝－，直线l的方程为y＝x－1，
则y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－，
可得|y1－y2|
＝
＝＝，
由椭圆方程可知a＝，b＝，c＝＝1，
由直线l：y＝x－1与x轴的交点为椭圆C的右焦点F (1，0)，
则S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝×|OF|×|y2－y1|＝×1×＝，
所以△OAB的面积为．
1/1第6课时　直线与椭圆
[考试要求]　1．理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法．2．会借助方程的思想解决直线与椭圆相交的综合问题．
考点一　直线与椭圆的位置关系
1．点P(x0，y0)与椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内__1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外__1．
2．直线与椭圆的位置关系的判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交 Δ__0；直线与椭圆相切 Δ__0；直线与椭圆相离 Δ__0．
　
[常用结论]
椭圆上一点处的切线方程
点P(x0，y0)在椭圆＝1(a＞b＞0)上，则椭圆在点P处的切线方程为＝1．
[典例1]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　(1)本例研究直线和椭圆的位置关系，一般将直线与椭圆的方程联立，消元后利用判别式Δ与0的关系进行判断．
(2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点与椭圆的位置关系来判断直线和椭圆的位置关系．
巩固迁移1　(1)(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线mx－y－2m＋1＝0(m∈R)与椭圆＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．随着m取值的变化而变化
(2)(2025·衡阳模拟)已知直线kx＋y＋2k＝0与椭圆＝1相切，则k的值为(　　)
A．2 B．
C．±2 D．±
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点二　弦长及中点弦问题
1．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝＝|x2－x1|＝
或|AB|＝＝|y2－y1|＝，k为直线的斜率且k≠0．
特别地，过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径．无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为，通径是过焦点的直线截椭圆所得弦长中最短的．
2．中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．
(2)点差法：若直线l与椭圆C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B的坐标代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得k＝－·．
　弦长问题
[典例2]　(2024·承德二模)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点到右焦点的距离是3，且椭圆C的离心率是，过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，过左焦点且与直线l垂直的直线l′与椭圆交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求|AB|＋|MN|的取值范围．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(2)中，直线和椭圆相交求弦长时，常联立方程，利用根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2，再利用弦长公式求解；一般不用求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解．但要注意涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在的特殊情形．
巩固迁移2　(人教A版选择性必修第一册P114练习T2改编)已知过点(0，1)的直线与椭圆x2＋＝1交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是(　　)
A．(，2) B．[，2)
C．(，2] D．[，2]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　中点弦问题
[典例3]　直线l过点M(2，1)且与椭圆x2＋4y2＝16相交于A，B两点，若M为弦AB的中点，则直线l的斜率为(　　)
A．－ B．
C．－1 D．1
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，但在用“点差法”时，要检验直线与椭圆是否相交，用“根与系数的关系”时，前提条件是“Δ>0”．
巩固迁移3　(2024·遵义播州区一模)已知椭圆C：＝1，过点P的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　直线与椭圆的综合问题
[典例4]　(2025·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P到直线x＝4的距离与点P到点F (1，0)的距离之比为常数2．记点P的轨迹为C，曲线C的上顶点为B．
(1)推导C的标准方程；
(2)过点B的直线与C相交于另一点A．若△ABF的面积为，求直线AB的方程．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　1．求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求、整体代入的方法．
2．设直线方程的两种方式
(1)正设：如果直线过y轴上的定点(0，b)，且斜率存在，那么可设直线方程为y＝kx＋b；
(2)反设：如果直线过x轴上的定点(a，0)，且斜率不为0，那么可设直线方程为x＝ty＋a．
这两种方程都有自己的优点和缺点，注意区分使用．直线反设，常用情景：
①直线过x轴上的定点；②核心条件转化后的式子中含有y1＋y2或y1y2；③需要讨论斜率不存在的情况．
巩固迁移4　(2025·江苏泰州模拟)已知l1，l2是过点(0，2)的两条互相垂直的直线，且l1与椭圆Γ：＋y2＝1相交于A，B两点，l2与椭圆Γ相交于C，D两点．
(1)求直线l1的斜率k的取值范围；
(2)若线段AB，CD的中点分别为M，N，证明直线MN经过一个定点，并求出此定点的坐标．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2024·江西期末)直线＝1与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
2．已知P(1，1)为椭圆＝1内一定点，经过点P引椭圆的一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在直线的方程为________．
3．(2024·大庆市让胡路区开学考试)椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中F2(，0)，O为原点．椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为2．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点P(0，1)且斜率为2的直线l交椭圆于A，B两点，求△OAB的面积．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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