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第7课时　双曲线
[考试要求]　1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)．3．了解双曲线的简单应用．考点一　双曲线的定义及其应用
双曲线的定义
一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的______等于非零常数(____|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．
提醒：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹不存在．
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
[常用结论]
双曲线的焦点三角形
设＝1(a>0，b>0)，P是双曲线上任意一点，F1，F2分别为其左、右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成的△PF1F2(如图所示)称为焦点三角形．设∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|·|PF2|＝；
＝．
[典例1]　(1)(易错题)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)题设条件涉及动点M到两定点C1，C2的距离，求动点M的轨迹方程，要考虑应用双曲线的定义求解，但要注意是否有“绝对值”，没有则是双曲线的一支．本例(2)为与双曲线两焦点有关的问题，常利用正弦、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
巩固迁移1　(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)(2024·天津卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：
(1)当0(2)当e>1时，该点的轨迹为双曲线．
①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．
②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±．
[典例]　(人教A版选择性必修第一册P113例6)动点M(x，y)与定点F (4，0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
应用体验　已知双曲线＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上的一点，定点A(9，2)，则|MA|＋|MF2|的最小值为________．
考点二　双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
图象
标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0)
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的关系 c2＝______
[典例2]　(1)(2024·黄山期末)双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝2，且点P(，3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．x2－＝1
(2)经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)中双曲线的焦点在x轴上，设出其方程为＝1(a>0，b>0)．再由点P在双曲线上，结合＝2及c2＝a2＋b2求出a2＝3，b2＝9得解，即“先定型，再定量”．本例(2)中不好确定焦点位置，可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解．
巩固迁移2　(1)(人教A版选择性必修第一册P124练习T2改编)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)过点()，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程为(　　)
A．－y2＝1 B．＝1
C．x2－＝1 D．＝1
(2)(2025·河北廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映，怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口的直径是8，瓶颈高是6，则该双曲线的标准方程是(　　)
A．＝1 B．－y2＝1
C．＝1 D．＝1
考点三　双曲线的几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图象
性质 焦点 ______________________ _______________________
焦距 __________________
范围 ________，或______；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R
对称性 对称轴：______；对称中心：____
顶点 ______________________ _______________________
轴 实轴：线段________，长：____；虚轴：线段B1B2，长：____，实半轴长：__，虚半轴长：__
离心率 e＝＝∈____________
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝______ (c>a>0，c>b>0)
[常用结论]
(1)离心率e＝＝，e越大，双曲线的“张口”越大．
(2)双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为．
(3)同支的焦点弦中最短的为通径，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(4)若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)．
　渐近线
[典例3]　(1)(2025·八省联考)双曲线x2－＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±3x D．y＝±4x
(2)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　(1)求双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令＝0，即得两渐近线方程±＝0．
(2)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)．
巩固迁移3　(2025·吴忠模拟)写出一个与双曲线x2－＝1有相同渐近线，且焦点在y轴上的双曲线方程________．
　双曲线的离心率
[典例4]　(1)(2025·长春市绿园区模拟)已知直线y＝x是双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2024·九省联考)设双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)由y＝x是＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，可得＝，即a＝b，再由e＝＝可得解．本例(2)可由题目条件提供的双曲线的几何关系转化为a，b，c的方程，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程，解方程可得e的值．
巩固迁移4　(2024·江门月考)设双曲线＝1(a＞b＞0)的离心率为e，若双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则e的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
1．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝(　　)
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不对
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(人教A版选择性必修第一册P124练习T2(1)改编)顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，离心率e＝的双曲线的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(人教A版选择性必修第一册P127练习T3改编)已知直线y＝x与双曲线＝1(a>0)相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为－9，则双曲线的离心率e＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T8改编)与椭圆＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的渐近线方程为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1/1第7课时　双曲线
[考试要求]　1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)．3．了解双曲线的简单应用．
考点一　双曲线的定义及其应用双曲线的定义
一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
提醒：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹不存在．
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
【教用·备选资源】
双曲线的第三定义
双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，点A与点B分别为双曲线的两顶点，P为双曲线上异于A，B的任意一点，则有kPA·kPB＝＝e2－1．
[常用结论]
双曲线的焦点三角形
设＝1(a>0，b>0)，P是双曲线上任意一点，F1，F2分别为其左、右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成的△PF1F2(如图所示)称为焦点三角形．设∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|·|PF2|＝；
＝．
[典例1]　(1)(易错题)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________．
(1)x2－＝1(x≤－1)　(2)　[(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B．
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|
＝|MB|．
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，又|C1C2|＝6，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|．
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8．
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝2|PF2|＝4，c2＝a2＋b2＝4，
所以cos ∠F1PF2＝
＝＝．]
【教用·备选题】
母题探究
1．将本例(2)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
[解]　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵·＝0，
∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
＝|PF1|·|PF2|＝2．
2．将本例(2)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”．则△F1PF2的面积为________．
2　[不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2．]
反思领悟　本例(1)题设条件涉及动点M到两定点C1，C2的距离，求动点M的轨迹方程，要考虑应用双曲线的定义求解，但要注意是否有“绝对值”，没有则是双曲线的一支．本例(2)为与双曲线两焦点有关的问题，常利用正弦、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
巩固迁移1　(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)(2024·天津卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(1)B　(2)C　[(1)如图，连接ON，
由题意可得|ON|＝1，
且N为MF1的中点，
又O为F1F2的中点，
所以|MF2|＝2．
因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，
由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||
＝|MF2|＝2<|F1F2|，
所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．故选B．
(2)由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得tan ∠PF2F1＝＝2，根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝＝|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，又＝8，所以a2＝2，所以|F1F2|2＝＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40．又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为＝1．故选C．]
平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：
(1)当0(2)当e>1时，该点的轨迹为双曲线．
①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．
②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±．
[典例]　(人教A版选择性必修第一册P113例6)动点M(x，y)与定点F (4，0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[解]　如图所示，设d是点M到直线l：x＝的距离，
根据题意，动点M的轨迹就是集合P＝．
由此得＝．
将上式两边平方，并化简，得9x2＋25y2＝225，
即＝1．
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆．
应用体验　已知双曲线＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上的一点，定点A(9，2)，则|MA|＋|MF2|的最小值为________．
　[由题意，得a＝3，b＝4，则c＝＝＝5，所以e＝＝．设M到定直线x＝＝的距离为d，由双曲线的第二定义知，
＝e＝，
∴d＝|MF2|，
∴|MA|＋|MF2|＝|MA|＋d，
如图，可知(|MA|＋d)min＝xA－＝9－＝．]
考点二　双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
图象
标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0)
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2
[典例2]　(1)(2024·黄山期末)双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝2，且点P(，3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．x2－＝1
(2)经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________．
(1)C　(2)＝1　[(1)由题意设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，
因为点P(，3)在双曲线C上，所以＝1(a>0，b>0)，
因为离心率e＝2，所以＝2，得c＝2a，
所以c2＝4a2，则a2＋b2＝4a2，所以b2＝3a2，
所以＝1，得a2＝3，则b2＝9，
所以双曲线的标准方程为＝1．故选C．
(2)设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
将P，Q两点坐标代入得
解得
∴双曲线的标准方程为＝1．]
反思领悟　本例(1)中双曲线的焦点在x轴上，设出其方程为＝1(a>0，b>0)．再由点P在双曲线上，结合＝2及c2＝a2＋b2求出a2＝3，b2＝9得解，即“先定型，再定量”．本例(2)中不好确定焦点位置，可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解．
巩固迁移2　(1)(人教A版选择性必修第一册P124练习T2改编)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)过点()，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程为(　　)
A．－y2＝1 B．＝1
C．x2－＝1 D．＝1
(2)(2025·河北廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映，怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口的直径是8，瓶颈高是6，则该双曲线的标准方程是(　　)
A．＝1 B．－y2＝1
C．＝1 D．＝1
(1)C　(2)D　[(1)由双曲线C：＝1(a>0，b>0)过点()，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得
解得
故双曲线C的标准方程为x2－＝1．
(2)由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4，3)在该双曲线上．
设该双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
则解得
故该双曲线的标准方程是＝1．]
考点三　双曲线的几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图象
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a，或x≥a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
[常用结论]
(1)离心率e＝＝，e越大，双曲线的“张口”越大．
(2)双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为．
(3)同支的焦点弦中最短的为通径，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(4)若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)．
　渐近线
[典例3]　(1)(2025·八省联考)双曲线x2－＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±3x D．y＝±4x
(2)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．
(1)C　(2)4x2－y2＝1　[(1)由题意知，a＝1，b＝3，所以双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±3x．故选C．
(2)法一：由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设＝1(a>0，b>0)，则＝1且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；
②若双曲线的焦点在y轴上，则可设＝1(a>0，b>0)，则＝1，且＝2，此时无解．
综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1．
法二：由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线经过点(1，)，
∴λ＝4×12－()2＝1，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1．]
反思领悟　(1)求双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令＝0，即得两渐近线方程±＝0．
(2)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)．
巩固迁移3　(2025·吴忠模拟)写出一个与双曲线x2－＝1有相同渐近线，且焦点在y轴上的双曲线方程________．
－x2＝1(答案不唯一)　[双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，所求双曲线的焦点在y轴上，
则＝，不妨取a＝，b＝1，故所求双曲线的方程为－x2＝1(答案不唯一)．]
　双曲线的离心率
[典例4]　(1)(2025·长春市绿园区模拟)已知直线y＝x是双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2024·九省联考)设双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．
(1)D　(2)D　[(1)双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
由直线y＝x是双曲线的一条渐近线，则＝，所以b＝a，
c＝＝＝a，
则离心率e＝＝．故选D．
(2)由双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝，所以四边形AF1BF2为平行四边形，
令|F1A|＝|F2B|＝m，
则|F1B|＝|F2A|＝2m，
由双曲线的定义可知＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即＝＝m＝2a，＝＝4a，
·＝·cos ∠AF2B＝4a×2a cos ∠AF2B＝4a2，
则cos ∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，
则有cos ∠F2BF1＝＝＝－，
即＝－，即＝－，则e2＝7，由e>1，故e＝．
故选D．]
链接·2025高考试题
(2025·全国一卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．2
D　[依题意知2b＝×2a，又c2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋(a)2＝8a2，即c＝2a，故e＝2.故选D.]
反思领悟　本例(1)由y＝x是＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，可得＝，即a＝b，再由e＝＝可得解．本例(2)可由题目条件提供的双曲线的几何关系转化为a，b，c的方程，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程，解方程可得e的值．
巩固迁移4　(2024·江门月考)设双曲线＝1(a＞b＞0)的离心率为e，若双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则e的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
B　[双曲线＝1(a＞b＞0)的渐近线方程为y＝±x，
因为双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，所以0<<，所以1<1＋<，
设双曲线的半焦距为c，则离心率e＝＝∈，故选B．]
链接·2025高考试题
(2025·天津卷)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，则双曲线的离心率e＝(　　)
A．2 B．5
C． D．
A　[由题意知c＝，所以抛物线方程为y2＝4cx.因为|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，|F1F2|＝2c，所以|PF1|＋|PF2|＝6c，又点P在双曲线上且在第一象限，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3c＋a，|PF2|＝3c－a，如图所示，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为P′，因为点P在抛物线上，所以|PF2|＝|PP′|＝xP＋c＝3c－a，所以xP＝2c－a，yP＝＝＝2，把点P的坐标代入抛物线方程，可得(2)2＝4c(2c－a)，化简得＝2.故选A.
]
【教用·备选题】
1．(2024·福建福州模拟预测)已知双曲线E：＝1(a>0)，过E的右顶点A且与一条渐近线平行的直线交y轴于点B，△OAB的面积为2，则E的焦距为(　　)
A．　　　B．2　　　C．4　　　D．4
D　[如图，由题意可得，A(a，0)，且直线AB与双曲线的一条渐近线平行，所以kAB＝，
则可得直线AB的方程为y＝(x－a)，令x＝0，可得y＝－2，即B(0，－2)，
所以|OA|＝a，|OB|＝2，则S△OAB＝|OA|·|OB|＝×a×2＝2，解得a＝2，
所以c2＝a2＋b2＝4＋4＝8，即c＝2，则E的焦距为2c＝4．故选D．]
2．在几何学中，单叶双曲面是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面．由于有良好的稳定性和漂亮的外观，单叶双曲面常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔．已知某发电厂的冷却塔的立体图如图所示，塔的总高度为150 m，塔顶直径为80 m，塔的最小直径(喉部直径)为60 m，喉部标高(标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离)为110 m，则该双曲线的离心率约为(精确到0.01)(　　)
A．2.14 B．1.81
C．1.73 D．1.41
B　[建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
根据题意，可得2a＝60，所以a＝30，由塔的总高度为150 m，塔顶直径为80 m，喉部标高为110 m，可得点A(40，40)在该双曲线上，则＝1，可得b2＝，所以c2＝a2＋b2＝302＋＝，可得e2＝＝∈(3，4)，所以e∈(，2)，结合选项，可得B项符合题意．故选B．]
1．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝(　　)
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不对
B　[根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8 |PF2|＝1或17．又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17．故选B．]
2．(人教A版选择性必修第一册P124练习T2(1)改编)顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，离心率e＝的双曲线的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
B　[由顶点在x轴上，可设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)．因为两顶点间的距离是8，e＝，所以a＝4，c＝5，b＝3，所以双曲线的标准方程为＝1．]
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则(　　)
A．∠A1MA2＝
B．|MA1|＝2|MA2|
C．C的离心率为
D．当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8
ACD　[根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边形，因为∠NA1M＝，所以∠A1MA2＝.故A正确．
设M(x0＞0)，根据|OM|＝c，得＝c2，解得x0＝a，
故M(a，b)，N(－a，－b)，所以∠MA2A1＝，又因为∠A1MA2＝，所以|MA2|＝|MA1|，故B错误．
在Rt△MA1A2中，|MA2|＝b，|A1A2|＝2a，∠A1MA2＝，
所以tan ∠A1MA2＝＝＝，即＝2，
故e＝＝，故C正确．
当a＝时，b＝2，则＝＝2××2×2＝8，故D正确．故选ACD.]
3．(人教A版选择性必修第一册P127练习T3改编)已知直线y＝x与双曲线＝1(a>0)相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为－9，则双曲线的离心率e＝________．
　[联立得x2－1＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝＝＝－9，解得a2＝6．经验检，a2＝6符合题意，
所以e＝＝＝＝＝．]
4．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T8改编)与椭圆＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的渐近线方程为________．
y＝±x　[依题意，双曲线的两焦点坐标分别是F1(－5，0)，F2(5，0)，由双曲线的离心率e＝，可得＝，解得a＝4，所以b＝3，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．]
【教用·备选题】 1．(2024·岳阳市平江县开学考试)已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，P是双曲线上一点且||PF1|－|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为(　　) A．＝1　　　　　 B．＝1 C．＝1 D．＝1 C　[由双曲线的定义可得c＝3，2a＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，且双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的方程为＝1，故选C．] 2．已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，实轴长为4，则双曲线的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1或＝1 D．＝1或＝1 C　[因为实轴长2a＝4，即a＝2， 若双曲线的焦点在x轴上，则＝，b＝a＝2，则双曲线方程为＝1， 若双曲线的焦点在y轴上，则＝，b＝a＝，则双曲线方程为＝1．故选C．] 3．(2024·赤峰市红山区开学考试)与椭圆＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 B　[∵椭圆＝1的焦点为(±3，0)， ∴双曲线的焦点在x轴上，且c＝3， ∵e＝，∴a＝2，∵c2＝a2＋b2，∴b2＝9－4＝5， ∴双曲线的方程为＝1．故选B．] 4．(2025·四川绵阳模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 B　[由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为＝1．故选B．] 5．(2025·孝感市孝南区模拟)过点(2，2)且与椭圆9x2＋3y2＝27有相同焦点的双曲线的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 D　[由椭圆9x2＋3y2＝27，得＝1， 所以椭圆的焦点在y轴上， 且c＝＝，即上焦点为(0，)， 设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)， 则解得a2＝2，b2＝4， 故双曲线的方程为＝1．故选D．] 6．(2024·西安市莲湖区二模)已知直线y＝kx与双曲线C：＝1(a>0，b>0)相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b(O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x C　[设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m， 取双曲线的右焦点F′，连接AF′，BF′， 所以四边形AF′BF为平行四边形，所以|AF′|＝|BF|＝m，|BF′|＝|AF|＝3m， 设A在第一象限，得3m－m＝2a，即m＝a， 由平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和， 可得(2b)2＋(2c)2＝2(a2＋9a2)，所以c2＝3a2， 则b2＝c2－a2＝2a2，即＝， 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选C．] 7．(2024·北京市东城区期末)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，一条渐近线的方程为y＝x，则C的方程为__________． x2－＝1　[由题意可设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)， 由焦点为(－2，0)和(2，0)可得a2＋b2＝4， 由双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，可得＝，解得a＝1，b＝． 所以双曲线的方程为x2－＝1．] 8．已知双曲线C：x2－＝1(b>0)． (1)若双曲线C的一条渐近线的方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程； (2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值． [解]　(1)因为双曲线C：x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx， 而它的一条渐近线的方程为y＝2x， 所以b＝2， 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1． (2)因为PF1⊥PF2， 所以＝|PF1|·|PF2|， 因为△PF1F2的面积为9， 所以|PF1|·|PF2|＝18， 又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2， 所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝40， 又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， 所以c2＝10， 由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10， 所以b＝3．
课后习题(五十六)　双曲线
1．(苏教版选择性必修第一册P107习题3.2(2)T5，9改编)中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＝1有相同的焦距，双曲线C的一条渐近线的方程为x－y＝0，则C的方程为(　　)
A．－y2＝1或y2－＝1
B．x2－＝1或y2－＝1
C．－y2＝1或－x2＝1
D．x2－＝1或－x2＝1
A　[椭圆＝1的半焦距c＝＝2，则C的半焦距c′＝2．∵C的一条渐近线的方程为x－y＝0，∴可设C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程，为＝1．当λ>0时，c′＝＝2，得λ＝1，则C的方程为－y2＝1；当λ<0时，c′＝＝2，得λ＝－1，则C的方程为y2－＝1．综上，C的方程为－y2＝1或y2－＝1．]
2．(多选)(人教B版选择性必修第一册P157习题2－6B组T4)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，一条渐近线过点(2)，则下列结论正确的是(　　)
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线C与双曲线＝1有相同的渐近线
C．若F到双曲线C的渐近线的距离为2，则双曲线C的方程为＝1
D．若直线l：x＝(c为双曲线C的半焦距)与渐近线围成的三角形的面积为4，则双曲线C的焦距为6
BCD　[由题意知，直线y＝x过点(2)，则＝2·，得a＝b，所以双曲线C的离心率e＝＝＝，故A错误；双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故B正确；不妨取双曲线C的一条渐近线方程为x＋y＝0，由F (c，0)到渐近线的距离为2，可得＝2，得c＝2，
则有得所以双曲线C的方程为＝1，故C正确；在y＝±x中，取x＝，得y＝±，则直线l与渐近线围成的三角形的面积S＝··＝4，得＝2，结合a2＋b2＝c2，a＝b，得c＝3，所以双曲线C的焦距为2c＝6，故D正确．故选BCD．]
3．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
6　[设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1＞2，故|PF2|＝6．]
4．(人教B版选择性必修第一册P156习题2－6AT3改编)已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，它的焦点是椭圆＝1的长轴的端点，则此双曲线的标准方程为________．
＝1　[依题意，设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
由题意得
解得a＝4，b＝3，所以双曲线的标准方程为＝1．]
5．(2024·新余开学考试)椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到C1的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线C2的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
A　[根据题意可知椭圆方程中的a＝13，∵＝，∴c＝5，
根据双曲线的定义可知曲线C2为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8，
∴虚轴长为2＝6，∴曲线C2的标准方程为＝1 ．故选A．]
6．(多选)(2024·永州月考)已知双曲线C：＝1，则下列说法正确的是(　　)
A．直线y＝x＋1与双曲线C有两个交点
B．双曲线C与＝1有相同的渐近线
C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D．双曲线的焦点坐标为(－13，0)，(13，0)
BC　[双曲线C：＝1，可得渐近线的方程y＝±x，且焦点坐标为(±，0)，
A中，因为直线y＝x＋1与双曲线C的其中一条渐近线平行，所以直线y＝x＋1与双曲线只有一个交点，所以A不正确；
B中，双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，与C的渐近线相同，所以B正确；
C中，其中一个焦点(，0)，其中一条渐近线方程为3x＋2y＝0，所以焦点到渐近线的距离为d＝＝3，所以C正确；D中，双曲线的焦点坐标为(±，0)，所以D不正确．
故选BC．]
7．(2024·广州月考)我们把形如C1：＝1(a>0，b>0)和C2：＝1(a>0，b>0)的两个双曲线叫做共轭双曲线．已知C1与C2互为共轭双曲线，若C1与C2的离心率分别为e1，e2，且a＞b，e1e2＝，则它们的渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
B　[C1：＝1(a>0，b>0)，C2：＝1(a>0，b>0)，
则e1＝，e2＝，e1e2＝，
则＝，即2a2－5ab＋2b2＝0，解得a＝2b或b＝2a，
又a＞b，则a＝2b，故它们的渐近线方程为y＝±x＝±x．
故选B．]
8．(2024·泰安期末)已知焦点为F1，F2的双曲线C的离心率为，点P为C上一点，且满足2|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为2，则双曲线C的实轴长为(　　)
A．2 B．
C． D．2
B　[依题意，设|PF2|＝2m＞0，则|PF1|＝3m，故|PF1|－|PF2|＝m＝2a(a为双曲线的参数)，
所以|PF2|＝4a，|PF1|＝6a，故cos ∠F1PF2＝＝，
而＝，则c＝a，则cos ∠F1PF2＝＝，∠F1PF2∈(0，π)，
所以sin ∠F1PF2＝，故＝|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2＝2，
则24a2×＝4，解得a＝，故双曲线C的实轴长为2a＝．
故选B．]
9．(多选)(2024·兰州月考)已知双曲线C：＝1，则(　　)
A．m的取值范围是(－6，3)
B．m＝1时，C的渐近线方程为y＝±x
C．C的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)
D．C可以是等轴双曲线
ACD　[对于选项A，因为C：＝1表示双曲线，所以(m＋6)(3－m)＞0，解得－6＜m＜3，所以选项A正确；对于选项B，当m＝1时，双曲线方程为＝1，
其渐近线方程为y＝±x＝±x，所以选项B错误；
对于选项C，由选项A得m＋6＞0，3－m＞0，所以双曲线C的焦点在x轴上，设C的半焦距为c(c＞0)，
则c2＝m＋6＋3－m＝9，解得c＝3，故其焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，所以选项C正确；
对于D，若C为等轴双曲线，则3－m＝m＋6，解得m＝－∈(－6，3)，所以选项D正确．
故选ACD．]
10．(2024·锦州市凌河区校级模拟)双曲线λx2＋y2＝1(λ∈R)的焦点坐标为__________．
　[因为双曲线的方程为λx2＋y2＝1(λ∈R)，所以λ＜0，
则y2－＝1，所以双曲线的焦点在y轴上，且c2＝1－，
则双曲线λx2＋y2＝1(λ∈R)的焦点坐标为，
故答案为．]
11．(2024·长沙开学考试)双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为________．
　[因为双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝x，
所以＝，所以双曲线的离心率e＝＝．
故答案为．]
12．(2025·合肥模拟)已知双曲线C：＝1．
(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；
(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，求|PA|的最小值．
[解]　(1)由题可设所求双曲线的方程为＝λ(λ≠0)，①当λ>0时，方程为＝1，
令4λ＝得λ＝，
即双曲线方程为＝1；
②当λ<0时，方程为＝1，
令－3λ＝得λ＝－3，
即双曲线方程为＝1．
综上，所求双曲线的标准方程为＝1或＝1．
(2)设P点的坐标为(x0，y0)(x0≥2)，则满足＝1，
|PA|＝＝
＝
＝
＝．
则当x0＝时，|PA|有最小值为．
1/1

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