资源简介

第8课时　直线与双曲线的位置关系
[考试要求]　1．理解直线与双曲线的位置关系，掌握其判断方法．2．会解决简单的直线与双曲线相关的综合问题．
考点一　直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系的判断方法
(1)代数法：将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项的系数是否为零，否则容易漏解．
(2)数形结合法：判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率之间的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系．
[典例1]　(1)(2025·上海模拟)已知直线l：x＝ty＋2和双曲线C：y2－x2＝8，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
(1)D　(2)　[(1)联立直线l和双曲线C的方程得消去x并整理得(1－t2)y2－4ty－12＝0，
∵直线l：x＝ty＋2和双曲线C：y2－x2＝8的上支交于不同的两点，
∴
解得－∴t的取值范围为．故选D．
(2)由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．]
反思领悟　将直线方程代入双曲线方程，消元得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
巩固迁移1　(2025·合肥模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且双曲线C过点(－2，3)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋3与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值．
[解]　(1)由题意得解得
∴双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)由得(3－k2)x2－6kx－12＝0．
由题意得，∴k＝±2．
当3－k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线y＝±x平行，
此时直线l与双曲线C只有一个公共点，
∴k＝±2或k＝±．
考点二　直线与双曲线相交的有关问题
　弦长问题
[典例2]　如图，过双曲线2x2－y2＝6的左焦点F1，作倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则|AB|＝________．
　[设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)．
由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．
因为直线AB的倾斜角是30°，且直线AB过左焦点，所以直线AB的方程是y＝(x＋3)，
联立，得方程组消去y，得5x2－6x－27＝0，解得x1＝3，x2＝－，
分别代入直线AB的方程，得y1＝2，y2＝，
所以A，B的坐标分别为(3，2)，，
所以|AB|＝
＝＝．]
反思领悟　解答弦长问题，可联立直线与双曲线方程，消元转化为关于x(或y)的一元方程，解方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解，或利用弦长公式求解．
巩固迁移2　过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则下列不满足条件的直线l为(　　)
A．x＝ B．x＋2y－1＝0
C．x－y－＝0 D．x＋y－＝0
B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率不存在时，设其方程为x＝，
由得y＝±2，
∴|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－)，
由得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0．
当2－k2＝0时，不符合题意，
当2－k2≠0时，Δ＝16k2＋16>0，x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝·
＝·
＝·
＝＝4，
解得k＝±．
此时直线l的方程为x±y－＝0．
综上，满足条件的直线l的方程为x＝或x±y－＝0，故选B．]
　“中点弦”问题
[典例3]　已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．x－y＋1＝0
A　[设以点A(2，3)为中点的双曲线的弦的端点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
可得＝＝2，两式相减可得2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，且x1＋x2＝4，y1＋y2＝6，
则弦所在直线的斜率k＝＝＝＝，
可得弦所在直线的方程为y－3＝(x－2)，
即4x－3y＋1＝0．经验证，符合题意．故选A．]
反思领悟　解答“中点弦”问题，常常采用“点差法”求解，即设出弦的两端点坐标后，代入曲线方程并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就能将中点和直线斜率联系起来，借用中点公式可求得斜率，但一定要注意用点差法求直线方程后需验证直线与圆锥曲线是否相交．
巩固迁移3　(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
D　[结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·．
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x重合，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D．]
考点三　双曲线中的最值(范围)问题
[典例4]　(1)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
(2)设P是双曲线＝1上一点，M，N分别是两圆(x－5)2＋y2＝4和(x＋5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　)
A．6 B．9
C．12 D．14
(1)A　(2)B　[(1)由题意＝1，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝－3<0，即－1<0，解得－(2)如图所示，设双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则点F1(－5，0)为圆(x＋5)2＋y2＝1的圆心，点F2(5，0)为圆(x－5)2＋y2＝4的圆心，当|PM|－|PN|取最大值时，点P在该双曲线的左支上，由双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝6．由圆的几何性质得|PM|≤|PF2|＋2，|PN|≥|PF1|－1，所以|PM|－|PN|≤|PF2|－|PF1|＋3＝6＋3＝9．故选B．]
反思领悟　本例(1)利用“代数法”求范围，即利用题目条件，引入变量构建关系式，借助曲线中的不等关系·<0求解；本例(2)利用“几何法”求最值，结合图象可知，题目中待求量|PM|－|PN|有明显的几何特征，可考虑用双曲线的定义|PF2|－|PF1|＝6结合圆的几何性质等知识确定极端位置后数形结合求解．
巩固迁移4　(2025·泰安模拟)已知直线l过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，与双曲线的左、右两支分别交于P，Q两点，F2为双曲线的右焦点，若()·＝0，其中∠PQF2∈，则的取值范围为________．
[，2)　[如图，∵()·＝0，
∴|QP|＝|，又|＝2a＝|PF1|，则有|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，设∠F1PF2＝θ，则有∠F1QF2＝π－2(π－θ)∈，可得θ∈，故cos θ∈，在△F1PF2中，由余弦定理可知，cos θ＝∈，7a2≤c2<9a2，则6a2≤b2<8a2，即∈[，2)．]
1．(2025·哈尔滨模拟)双曲线＝1与直线y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．0或1或2
C　[因为双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，所以，当m＝0时，直线l：y＝－x＋m与双曲线的一条渐近线重合，此时直线l与双曲线无交点；
当m≠0时，直线l与双曲线的一条渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点．
综上，直线l与双曲线的公共点的个数为0或1，故选C．]
2．已知双曲线E：＝1(m>0)的离心率为2，右焦点为F，动点P在双曲线右支上，点A(0，1)，则|PF|－|PA|的最大值为(　　)
A． B．－2
C．2 D．2－2
B　[因为双曲线的离心率为2，所以＝2，解得m＝1，则左焦点F1(－2，0)，
由双曲线的定义得|PF|－|PA|＝|PF1|－2a－|PA|＝|PF1|－|PA|－2．
因为||PF1|－|PA||≤|AF1|，即当F1，A，P三点共线时|PF|－|PA|最大，
所以|PF|－|PA|≤|AF1|－2
＝－2＝－2．
故选B．]
3．双曲线＝1的被点P(2，1)平分的弦所在的直线方程是(　　)
A．8x－9y＝7 B．8x＋9y＝25
C．4x＋9y＝6 D．不存在
D　[点P(2，1)为弦的中点，由双曲线的对称性知，直线的斜率存在，
设直线方程为y－1＝k(x－2)，
将y＝k(x－2)＋1代入双曲线方程得
(4－9k2)x2－9(2k－4k2)x－36k2＋36k－45＝0，(4－9k2≠0)．
Δ＝[－9(2k－4k2)]2－4(4－9k2)(－36k2＋36k－45)，x1＋x2＝＝4，
解得k＝，代入Δ得Δ<0，故不存在直线满足条件．]
4．直线y＝x＋1与双曲线＝1相交于A，B两点，则|AB|＝________．
4　[由得x2－4x－8＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴|AB|＝＝＝4．]
【教用·备选题】 1．(多选)已知直线l：y＝k(x＋2)，双曲线C：x2－y2＝1，则(　　) A．当k＝1时，l与C只有一个交点 B．当k＝－1时，l与C只有一个交点 C．当k＝时，l与C的左支有两个交点 D．当k＝2时，l与C的左支有两个交点 ABD　[由双曲线的方程可知C的渐近线的斜率为±1，直线l过(－2，0)， 所以当k＝±1时，直线l与C的渐近线平行，l与C的左支有一个交点， 当0＜k＝＜1时，直线l与C的左支和右支各有一个交点， 当k＝2＞1时，直线l与C的左支有两个交点． 故选ABD．] 2．(2025·浙江金华模拟)过点P(1，1)作直线l与双曲线x2－＝λ交于A，B两点．若P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是____________． (－∞，0)　[因为双曲线方程为x2－＝λ， 所以λ≠0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为P恰为线段AB的中点， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2． 将A，B两点的坐标代入双曲线方程， 得两式相减并化简可得＝2×＝2， 即直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2x－1． 联立得2x2－4x＋2λ＋1＝0． 因为直线l与双曲线有两个不同的交点， 所以Δ＝16－4×2×(2λ＋1)>0， 解得λ<且λ≠0， 所以λ的取值范围为(－∞，0)．] 3．(2024·定西市临洮县期末)已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过点M(，0)，N． (1)求双曲线C的方程； (2)已知点D(1，0)，直线l：x＝y＋3与双曲线C交于A，B两点，求直线DA与直线DB的斜率之积． [解]　(1)依题意知双曲线C经过点M(，0)，其方程可设为＝1， 因为双曲线C经过点N，代入解得b2＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1． (2)由(1)知双曲线C：－y2＝1，联立直线l与双曲线C的方程， 有则4y2＋6y＋7＝0，Δ>0，于是yA＋yB＝－，yAyB＝， 设点A(yA＋3，yA)，点B(yB＋3，yB)， 显然直线DA，DB的斜率存在， 则kDA·kDB＝· ＝ ＝＝－， 所以直线DA与直线DB斜率之积为－． 4．(2025·新余模拟)已知双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，其实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程； (2)过E(0，2)且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M，N两点，求·的值(O为坐标原点)． [解]　(1)因为双曲线C的实轴长和离心率均为2， 所以解得a2＝1，b2＝3， 则双曲线C的标准方程为x2－＝1；渐近线方程为y＝±x． (2)因为直线l的倾斜角为45°，且过点E(0，2)， 所以直线l的方程为y＝x＋2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立消去y并整理得2x2－4x－7＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2，x1x2＝－． 所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋2)·(x2＋2)＝2x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝1． 5．(2024·哈尔滨市道里区期末)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y＝0垂直，且右顶点P到该条渐近线的距离为． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l与双曲线C交于A、B两点，线段AB的中点为M(3，2)，求直线l的方程． [解]　(1)因为双曲线C的一条渐近线与直线x＋2y＝0垂直， 直线x＋2y＝0的斜率为－，且双曲线C的渐近线为y＝±x，则－·＝－1，可得＝2， 所以，双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即2x±y＝0， 因为右顶点(a，0)到该条渐近线的距离为，所以＝， 解得a＝1，所以b＝2，所以双曲线C的方程为x2－＝1． (2)当直线l的斜率不存在时，则A、B关于x轴对称，此时，线段AB的中点在x轴上，不符合题意； 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，设直线l的斜率为k， 则 两式相减得＝0，所以(x1＋x2)(x1－x2)－＝0， 化简得·＝4． 因为线段AB的中点为M(3，2)，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝4， 所以·k＝4，解得k＝6，又双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，直线l的斜率大于渐近线的斜率， 故过点M(3，2)的直线l与双曲线C有两个交点． 所以直线l的方程为6x－y－16＝0．
课后习题(五十七)　直线与双曲线的位置关系
1．(苏教版选择性必修第一册P124复习题T10改编)已知直线l的方程为y＝kx－1，双曲线C的方程为x2－y2＝1．若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－) B．[1，)
C．[－] D．(1，)
D　[联立整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的右支交于不同的两点，所以
解得12．(人教A版选择性必修第一册P128习题3.2T13改编)已知点A，B是双曲线C：＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为(　　)
A． B．
C． D．
D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵点A，B是双曲线C上的两点＝＝1，两式相减得＝，∵M(3，2)是线段AB的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
∴＝，∴kAB＝＝．经验证Δ>0，符合题意．故选D．]
3．(人教B版选择性必修第一册P178复习题B组T16改编)已知双曲线C：x2－＝1，过点A(0，1)作直线l交双曲线于P1，P2两点，若线段P1P2的中点在直线x＝上，则直线l的斜率为________．
－1　[由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立消去y并整理得(2－k2)x2－2kx－3＝0．显然2－k2≠0，设，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝＝1，解得k＝－1±，由Δ＝24－8k2>0，得－4．(人教B版选择性必修第一册P178复习题B组T19改编)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(5，)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程．
[解]　(1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为＝1(0将点P(5，)的坐标代入，得＝1，
解得a2＝50(舍去)或a2＝2，故所求双曲线的方程为＝1．
(2)依题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0．
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
所以
解得(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以|AB|＝·＝．
又原点O到直线l的距离d＝，
所以S△OAB＝d·|AB|＝＝＝2，
即＝1，
所以k4－k2－2＝0，得k＝±，满足(*)式．
故满足条件的直线l的方程为y＝±x＋2．
5．(2025·肇庆模拟)已知双曲线E：＝1，则过点(2，)与E有且只有一个公共点的直线共有(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
C　[分析条件可得，点P(2，)在双曲线的渐近线y＝x上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同的横坐标，如图，
所以过P(2，)且与双曲线E有且只有一个公共点的直线只有两条，
一条是切线x＝2，一条是过点P(2，)且与另一条渐近线平行的直线．
故选C．]
6．(2024·广东期末)已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x与双曲线的右支交于点P，则·＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
A　[双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，
由解得或
所以P，
则＝＝，
所以·＝＝－1．故选A．]
7．(2025·北京市东城区模拟)已知双曲线C：y2－＝1的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的同一支交于A，B两点，且|BF1|＝2|AF1|，则线段AB的长度为(　　)
A． B．9
C． D．6
C　[由双曲线C：y2－＝1得a＝1，b＝，c＝2，
设F1(0，2)，过F1的直线设为y＝kx＋2(k＞0)，
联立，可得(3k2－1)x2＋12kx＋9＝0，Δ＝36(k2＋1)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，①
由|BF1|＝2|AF1|，可得＝2，即有－x2＝2x1，②
由①②可得x1＝＝－，
解得k＝或k＝－(舍去)，x1＝－，
则|AB|＝·|x1－x2|＝·3|x1|＝＝．
故选C．]
8．(2024·南通月考)已知A，B为双曲线x2－y2＝1上不同的两点，下列点中可为线段AB的中点的是(　　)
A．(1，1) B．(2，3)
C．(，1) D．
B　[结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为0．
设AB的中点C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB，
因为A，B在双曲线上，所以
由点差法可得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
所以＝·kAB＝1，
所以kAB＝．
对于A，若C(1，1)，此时kAB＝1，所以lAB：y＝x，
联立方程组无解，
即lAB与双曲线没有交点，故A错误；
对于B，若C(2，3)，则此时kAB＝，
所以lAB：y＝x＋，
联立消去y得5x2－20x－34＝0，
解得x＝2±，即lAB与双曲线有两个交点，故B正确；
对于C，若C(，1)，则此时kAB＝，所以lAB：y＝x－1，
联立消去y解得x＝，
即lAB与双曲线只有一个交点，故C错误；
对于D，若C，则此时kAB＝－2，
∴lAB：y＝－2x－，
联立消去y得3x2＋6x＋＝0，
Δ＝36－4×3×＝－3<0，所以方程无解，
即lAB与双曲线没有交点，故D错误．
故选B．]
9．(2024·茂名市高州市一模)已知双曲线C：x2－＝1，直线l：y＝kx＋1分别与C的左、右支交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为，则直线l的方程为________．
y＝±x＋1　[设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由可得(3－k2)x2－2kx－4＝0，3－k2≠0，
由l与双曲线C有两个交点可得Δ＝4k2＋16(3－k2)＞0，解得0≤k2＜4，且k≠±，
故x1＋x2＝，x1x2＝＜0，
∴－＜k＜，
∴|MN|＝＝·＝，
又原点到直线l的距离d＝，
∴S△OMN＝|MN|·d＝＝，
整理得2k4－11k2＋14＝0，
解得k2＝2或k2＝(舍)，
∴k2＝2，k＝±，∴直线l的方程为y＝±x＋1．]
10．(2024·开封一模)已知双曲线x2－my2＝1(m＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，垂直于x轴的直线l经过F2且与双曲线交于A、B两点，若|AB|＝2，则cos ∠AF1B＝__________．
　[由双曲线x2－my2＝1(m＞0)，得x2－＝1．
则a＝1，b＝，由通径长可知，|BF2|＝＝＝1，则m＝1．
如图，c＝＝，则|BF1|＝＝3，得cos ∠BF1F2＝．
∴cos ∠AF1B＝2cos2∠BF1F2－1＝2×－1＝．]
11．(2025·南京模拟)已知双曲线C过点(3，)，且渐近线为y＝±x，则双曲线C的方程为____________；若动直线y＝k(x－2)与双曲线C的同一支有两个不同的交点，则实数k的取值范围为____________．
－y2＝1　　[根据题意可得，双曲线的渐近线方程为y＝±x，设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，
因为双曲线过点(3，)，所以－()2＝λ，
解得λ＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．
设直线y＝k(x－2)与双曲线C交于，y2)，由 (1－3k2)x2＋12k2x－3－12k2＝0，
则
得k2>或k2<－(舍去)，
所以k∈．]
12．(2025·汉中模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于点P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．
[解]　(1)设双曲线C的一个焦点F (c，0)，一条渐近线方程为bx－ay＝0．
∴焦点F到渐近线的距离为＝b＝．
∵实轴长是虚轴长的倍，所以a＝b＝2，
∴双曲线的方程为＝1．
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C恰有1个公共点，
则l的方程为x＝±2，∴|PQ|＝2，S△OPQ＝×2×2＝2．
当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m，且k≠±．
由得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－4＝0，
令Δ＝16m2k2＋4(1－2k2)(2m2＋4)＝0，可得4k2＝m2＋2．
由得x＝．
设l与y＝x的交点为P，则xP＝，同理xQ＝－，
∴|xP－xQ|＝，
∴|PQ|＝|xP－xQ|＝．
∵原点O到直线l的距离d＝，
∴S△OPQ＝·|PQ|·d＝．
∵4k2＝m2＋2，∴S△OPQ＝2，故△OPQ的面积为定值，且定值为2．
综上所述，△OPQ的面积为定值．证毕．
1/1第8课时　直线与双曲线的位置关系
[考试要求]　1．理解直线与双曲线的位置关系，掌握其判断方法．2．会解决简单的直线与双曲线相关的综合问题．
考点一　直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系的判断方法
(1)代数法：将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项的系数是否为零，否则容易漏解．
(2)数形结合法：判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率之间的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系．
[典例1]　(1)(2025·上海模拟)已知直线l：x＝ty＋2和双曲线C：y2－x2＝8，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　将直线方程代入双曲线方程，消元得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
巩固迁移1　(2025·合肥模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且双曲线C过点(－2，3)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋3与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点二　直线与双曲线相交的有关问题
　弦长问题
[典例2]　如图，过双曲线2x2－y2＝6的左焦点F1，作倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则|AB|＝________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　解答弦长问题，可联立直线与双曲线方程，消元转化为关于x(或y)的一元方程，解方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解，或利用弦长公式求解．
巩固迁移2　过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则下列不满足条件的直线l为(　　)
A．x＝ B．x＋2y－1＝0
C．x－y－＝0 D．x＋y－＝0
　“中点弦”问题
[典例3]　已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．x－y＋1＝0
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　解答“中点弦”问题，常常采用“点差法”求解，即设出弦的两端点坐标后，代入曲线方程并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就能将中点和直线斜率联系起来，借用中点公式可求得斜率，但一定要注意用点差法求直线方程后需验证直线与圆锥曲线是否相交．
巩固迁移3　(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
考点三　双曲线中的最值(范围)问题
[典例4]　(1)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
(2)设P是双曲线＝1上一点，M，N分别是两圆(x－5)2＋y2＝4和(x＋5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　)
A．6 B．9
C．12 D．14
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)利用“代数法”求范围，即利用题目条件，引入变量构建关系式，借助曲线中的不等关系·<0求解；本例(2)利用“几何法”求最值，结合图象可知，题目中待求量|PM|－|PN|有明显的几何特征，可考虑用双曲线的定义|PF2|－|PF1|＝6结合圆的几何性质等知识确定极端位置后数形结合求解．
巩固迁移4　(2025·泰安模拟)已知直线l过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，与双曲线的左、右两支分别交于P，Q两点，F2为双曲线的右焦点，若()·＝0，其中∠PQF2∈，则的取值范围为________．
1．(2025·哈尔滨模拟)双曲线＝1与直线y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．0或1或2
2．已知双曲线E：＝1(m>0)的离心率为2，右焦点为F，动点P在双曲线右支上，点A(0，1)，则|PF|－|PA|的最大值为(　　)
A． B．－2
C．2 D．2－2
3．双曲线＝1的被点P(2，1)平分的弦所在的直线方程是(　　)
A．8x－9y＝7 B．8x＋9y＝25
C．4x＋9y＝6 D．不存在
4．直线y＝x＋1与双曲线＝1相交于A，B两点，则|AB|＝________．
1/1

展开更多......

收起↑