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第9课时　抛物线
[考试要求]　1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．3．了解抛物线的简单应用．
考点一　抛物线的定义及应用
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离____的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的____，直线l叫做抛物线的____．
提醒：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
[典例1]　(1)(2021·北京卷)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________．
(2)设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若点B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线的距离有关的动点轨迹是否为抛物线．
(2)距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径．
提醒：一定要验证定点是否在定直线上．
巩固迁移1　(1)(2024·安康市汉滨区期末)动点P(x，y)到点F (3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
(2)(2024·赤峰期末)已知点A(2，5)，且F是抛物线C：x2＝4y的焦点，P为C上任意一点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
考点二　抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图象
顶点 ____________
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝ y＝－
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
[常用结论]
(1)通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦的长度等于2p，通径是最短的焦点弦．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
(3)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，也称为抛物线的焦点弦．
提醒：不同的抛物线方程中，焦半径公式、焦点弦公式不同．
[典例2]　(1)(多选)(2024·宜春市丰城市开学考试)已知抛物线C的焦点在直线2x－y＋4＝0上，则抛物线C的标准方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝16y D．x2＝－16y
(2)(2024·武汉调研)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
(3)(2024·上海卷)已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)中求抛物线标准方程的方法：先定位，再定形(求p)；本例(2)(3)中，由抛物线的方程可以确定抛物线的对称轴(一次项为x，则对称轴为x轴，一次项为y，则对称轴为y轴)，开口方向(一次项系数为正，则开口与对称轴正向一致，一次项系数为负，则开口与对称轴负向一致)，焦点位置，焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．
巩固迁移2　(1)(2025·北京市东城区模拟)2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输．星载天线展开后形成一把直径(口径)为4.2 m的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点F处．若“金色大伞”的深度为0.49 m，则“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为(　　)
A．2.25 m B．2.74 m
C．4.5 m D．4.99 m
(2)(2024·南京市江宁区三模)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组的解的组数，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．
(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点，直线与抛物线相交；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点，直线与抛物线相切；若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点，直线与抛物线相离．
(2)当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点但不是相切．
[常用结论]
与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设，y1)，B(x2，y2)．则有
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，其长度等于2p；
(4)焦半径长：|AF|＝(点A在x轴上方)，|BF|＝(点B在x轴下方)，
特别地＝；
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
[典例3]　(经典题)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系一般用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
巩固迁移3　(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
1．(2025·安化模拟)已知函数y＝log2(x－a)过定点P(5，0)，则抛物线y＝ax2的准线方程是(　　)
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝－ D．y＝－
2．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)已知抛物线y＝x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　)
A． B．
C．6 D．5
3．(2025·茂名模拟)已知直线2x＋y－2＝0与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B．5
C．3 D．4
4．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为________．
1/1第9课时　抛物线
[考试要求]　1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．3．了解抛物线的简单应用．
考点一　抛物线的定义及应用
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
提醒：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
[典例1]　(1)(2021·北京卷)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________．
(2)设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若点B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
(1)5　4　(2)4　[(1)由题意得点F (1，0)，设点M(x，±2)，则|FM|＝＝6，解得x＝5．
易得点N(5，0)，|MN|＝＝2，从而S△FMN＝(xN－xF)·|MN|＝×4×2＝4．
(2)如图，过点B作准线x＝－1的垂线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|．
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即B，P1，Q三点共线时，|PB|＋|PF|的最小值为4．]
【教用·备选题】
母题探究
1．若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
[解]　由题意知，抛物线的焦点为F (1，0)．
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1．
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d2＋|PF|的最小值为＝3，
所以d1＋d2的最小值为3－1．
2．若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
[解]　由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部，
∴|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，又F (1，0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值为2．
反思领悟　利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线的距离有关的动点轨迹是否为抛物线．
(2)距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径．
提醒：一定要验证定点是否在定直线上．
巩固迁移1　(1)(2024·安康市汉滨区期末)动点P(x，y)到点F (3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
(2)(2024·赤峰期末)已知点A(2，5)，且F是抛物线C：x2＝4y的焦点，P为C上任意一点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
(1)D　(2)D　[(1)∵动点P到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，
∴将直线x＝－2向左平移1个单位长度，得到直线x＝－3，
可得点P到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离．
因此点P的轨迹是以(3，0)为焦点、x＝－3为准线的抛物线，
设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，可得＝3，得2p＝12，
∴抛物线的方程为y2＝12x，即为点P的轨迹方程．
故选D．
(2)易知抛物线C的焦点F (0，1)，准线l：y＝－1，
过点P作PM⊥准线l于点M，过点A作AN⊥准线l于点N，
由抛物线的定义得|PF|＝|PM|，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|≥|AN|＝5－(－1)＝6，
则|PA|＋|PF|的最小值为6．
故选D．]
考点二　抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图象
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝ y＝－
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
[常用结论]
(1)通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦的长度等于2p，通径是最短的焦点弦．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
(3)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，也称为抛物线的焦点弦．
提醒：不同的抛物线方程中，焦半径公式、焦点弦公式不同．
[典例2]　(1)(多选)(2024·宜春市丰城市开学考试)已知抛物线C的焦点在直线2x－y＋4＝0上，则抛物线C的标准方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝16y D．x2＝－16y
(2)(2024·武汉调研)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
(3)(2024·上海卷)已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为________．
(1)BC　(2)B　(3)4　[(1)直线2x－y＋4＝0与x轴的交点为(－2，0)，
由题意可知，此时抛物线C的方程为y2＝－8x，
直线2x－y＋4＝0与y轴的交点为(0，4)，
由题意可知，此时抛物线C的方程为x2＝16y．
故选BC．
(2)抛物线y2＝6x的焦点为F，
准线l：x＝－．
由题意设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则Q，
因为QF的倾斜角为120°，
所以kQF＝＝＝－，
即y0＝3，
所以x0＝＝＝，
所以|PF|＝x0＋＝＝6．
故选B．
(3)由y2＝4x知抛物线的准线方程为x＝－1，设点P(x0，y0)，由题意得x0＋1＝9，解得x0＝8，
代入抛物线方程y2＝4x，得＝32，解得y0＝±4，
则点P到x轴的距离为4．]
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A在C上，过A作C准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
C　[根据直线y＝－2x＋2得F(1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，A(4，4)，所以|AF|＝|AB|＝5.]
反思领悟　本例(1)中求抛物线标准方程的方法：先定位，再定形(求p)；本例(2)(3)中，由抛物线的方程可以确定抛物线的对称轴(一次项为x，则对称轴为x轴，一次项为y，则对称轴为y轴)，开口方向(一次项系数为正，则开口与对称轴正向一致，一次项系数为负，则开口与对称轴负向一致)，焦点位置，焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．
巩固迁移2　(1)(2025·北京市东城区模拟)2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输．星载天线展开后形成一把直径(口径)为4.2 m的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点F处．若“金色大伞”的深度为0.49 m，则“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为(　　)
A．2.25 m B．2.74 m
C．4.5 m D．4.99 m
(2)(2024·南京市江宁区三模)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝(　　)
A． B．
C． D．
(1)B　(2)A　[(1)建立如图所示的平面直角坐标系，依题意得A(0.49，2.1)，
设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
由点A在抛物线上，得2.12＝2p×0.49，解得p＝4.5，
所以抛物线的方程为y2＝9x，焦点F (2.25，0)，
故“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为|AF|＝＝＝2.74(m)．
故选B．
(2)由抛物线y2＝2x，可得2p＝2，p＝1，根据抛物线的对称性可设P在第一象限；
根据题意作图如图：
因为∠PQF＝30°，所以∠QFD＝30°，
可得|DQ|＝|DF|×tan 30°＝p×＝，
即yP＝，故xP＝＝，
故|PQ|＝xP＋＝＝．
故选A．]
【教用·备选题】
(2025·河北石家庄模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，点A(4，－1)，P为抛物线上的动点，直线l为抛物线的准线，点P到直线l的距离为d，|PA|＋d的最小值为5．
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线y＝kx＋1与抛物线相交于M，N两点，与y轴相交于Q点，当直线AM，AN的斜率存在时，设直线AM，AN，AQ的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得＝，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
[解]　(1)设抛物线C的焦点为F，根据抛物线的定义得d＝|PF|，|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝＝5，由于p>0，解得p＝4，
则拋物线C的方程为x2＝8y．
(2)假设存在实数λ，使＝，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入抛物线C的方程，
整理得x2－8kx－8＝0，Δ＝64k2＋32>0，
所以x1＋x2＝8k，x1·x2＝－8，
＝＝，
同理＝，
则＝
＝＝
＝－4，
由题意得点Q的坐标为(0，1)，所以＝＝－2，所以λ＝2 ．
考点三　直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组的解的组数，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．
(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点，直线与抛物线相交；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点，直线与抛物线相切；若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点，直线与抛物线相离．
(2)当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点但不是相切．
[常用结论]
与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设，y1)，B(x2，y2)．则有
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，其长度等于2p；
(4)焦半径长：|AF|＝(点A在x轴上方)，|BF|＝(点B在x轴下方)，
特别地＝；
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
[典例3]　(经典题)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|．
[解]　设直线l：y＝x＋t，A，B．
(1)由题意得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋＝4，
所以x1＋x2＝．
由 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，令Δ>0，得t<，
则x1＋x2＝－．
从而－＝，得t＝－<．
所以l的方程为y＝x－．
(2)由＝3，得y1＝－3y2．
由得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2．
从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．
代入C的方程得x1＝3，x2＝．
即A(3，3)，B，
故|AB|＝．
反思领悟　求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系一般用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
巩固迁移3　(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
AC　[由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0)．
对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，故A选项正确；
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1对于C，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径r＝|MN|＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确；
对于D，由两点间距离公式可得|OM|＝，|ON|＝，又|MN|＝，故D选项错误．综上，故选AC．]
【教用·备选题】
(多选)(2024·山东烟台统考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是(　　)
A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥
D．过点M(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线一共有2条
ABC　[取PQ的中点N，N在l上的射影为N1，Q在l上的射影为Q1，如图所示．
对于选项A，因为p＝2，所以|PQ|＝|PP1|＋|QQ1|＝x1＋x2＋2＝8，故A正确；
对于选项B，根据抛物线的性质|PP1|＝|PF|，
|QQ1|＝|QF|，
NN1为梯形QQ1P1P的中位线，故|NN1|＝(|PP1|＋|QQ1|)＝|PQ|，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；
对于选项C，因为F (1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，故C正确；
对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，联立可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，解得k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线C也只有一个公共点，故共有三条直线符合题意，故D错误．
故选ABC．]
1．(2025·安化模拟)已知函数y＝log2(x－a)过定点P(5，0)，则抛物线y＝ax2的准线方程是(　　)
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝－ D．y＝－
D　[由函数y＝log2(x－a)过定点P(5，0)，可得log2(5－a)＝0，
解得a＝4，则抛物线y＝4x2即x2＝的准线方程是y＝－．
故选D．]
2．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)已知抛物线y＝x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　)
A． B．
C．6 D．5
D　[由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为4＋1＝5．故选D．]
3．(2025·茂名模拟)已知直线2x＋y－2＝0与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B．5
C．3 D．4
B　[将2x＋y－2＝0与抛物线C：y2＝4x联立得x2－3x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝3，
显然抛物线焦点的坐标为(1，0)，将x＝1代入直线方程，即2＋y－2＝0，则y＝0，则直线过焦点，
则|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5．
故选B．]
链接·2025高考试题
(2025·全国一卷)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(　　)
A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB|
C．|AB|≥6 D．|AE|·|BE|≥18
ACD　[直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知|AD|＝|AF|，故A正确；
当AB⊥x轴时，令A，B，则E，|AB|＝6，|AE|＝3，此时|AE|≠|AB|，故B错误；
易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－6my－9＝0，Δ＞0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3，|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；
由C项可知，当m＝0，即AB⊥x轴时，|AE|＝|BE|＝3，|AE|·|BE|＝18.当m≠0时，直线EF：x＝－y＋，E，|EF|＝，S△AEB＝|AE|·|BE|sin ∠AEB＝|AB|·|EF|＝(6＋6m2)·＝＞9，所以|AE|·|BE|＞＞18.综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确．故选ACD.]
4．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为________．
x2＝3y　[联立消去y，得x2－2ax＋2a＝0，则Δ＝4a2－8a>0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝＝3，解得a＝3，满足Δ>0，因此所求抛物线的方程是x2＝3y．]
【教用·备选题】 1．(2024·凉山州期末)已知M为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，且M到抛物线的焦点F的距离为4，它到y轴的距离为3，则p＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 C　[设M(x0，y0)，则点M到y轴的距离为x0＝3， 由抛物线的定义得|MF|＝＋x0＝4，所以4＝＋3，解得p＝2． 故选C．] 2．(2024·深圳期末)P，Q分别是抛物线x2＝2y和x轴上的动点，M(2，－1)，则|PM|＋|PQ|的最小值为(　　) A．5 B． C． D．2 D　[抛物线x2＝2y的焦点为F，准线为y＝－， 过P点作准线的垂线，垂足为N，交x轴于Q点(图略)， 由抛物线的定义得|PF|＝|PN|， 则|PM|＋|PQ|＝|PM|＋|PF|－≥|MF|－， 又|MF|＝＝，所以|PM|＋|PQ|的最小值为2． 故选D．] 3．(2024·重庆市沙坪坝区月考)已知x轴上一定点A(a，0)(a＞0)和抛物线y2＝2px(p＞0)上的一动点M，若|AM|≥a恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A． B．(0，p] C． D．(0，2p] B　[设M(x0，y0)(x0≥0)，则＝2px0， 所以|AM|＝＝ ＝， 因为|AM|≥a恒成立，所以－(2a－2p)x0＋a2≥a2恒成立， 所以－(2a－2p)x0≥0恒成立， 当x0＝0时显然恒成立，当x0＞0时x0≥2a－2p恒成立， 所以2a－2p≤0，则a≤p， 又a＞0，所以0＜a≤p，即实数a的取值范围为(0，p]． 故选B．] 4．(多选)(2024·昆明市五华区月考)直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与抛物线C相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，下列说法正确的是(　　) A．x1x2＝1，y1y2＝－4 B．当直线l的斜率为1时，|AB|＝2 C．|AB|的最小值为6 D．以AB为直径的圆与C的准线相切 AD　[依题意可知直线l过抛物线C的焦点F (1，0)，显然直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为x＝my＋1，如图， 联立消去x化简得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16＞0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2， x1x2＝(my1＋1)(my2＋1) ＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1 ＝－4m2＋4m2＋1＝1， 所以|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝4m2＋4， 对于A，显然A正确；对于B，当直线l的斜率为1时，则m＝1，故|AB|＝4m2＋4＝8，故B错误； 对于C，当m＝0时，|AB|有最小值4，故C错误； 对于D，设线段AB的中点为M，则M(2m2＋1，2m)， 所以点M到准线x＝－1的距离为2m2＋2＝， 即以AB为直径的圆与C的准线相切，故D正确． 故选AD．] 5．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是C上位于第一象限的动点，点M为l与x轴的交点，则下列说法正确的是(　　) A．F到直线l的距离为2 B．以P为圆心，|PF|为半径的圆与l相切 C．直线MP斜率的最大值为2 D．若|FM|＝|FP|，则△FMP的面积为2 ABD　[A选项，易知F (1，0)，准线l：x＝－1，所以F到直线l的距离为2，A选项正确； B选项，由抛物线的定义，点P到准线的距离等于|PF|，所以以P为圆心，|PF|为半径的圆与l相切，B选项正确； C选项，当直线MP与抛物线相切时，直线MP的斜率取得最大值．设直线MP：x＝my－1， 与抛物线的方程y2＝4x联立可得y2－4my＋4＝0，令Δ＝16m2－16＝0得m＝±1， 所以直线MP斜率的最大值为1，C选项错误； D选项，|FM|＝|FP|＝2，设(y0>0)，则＋1＝2，解得y0＝2， 所以△FMP的面积为×2×y0＝2，D选项正确． 故选ABD．] 6．(2024·南通月考)已知O为坐标原点，直线y＝x－2与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，则△AOB的面积为________． 2　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋4＝0，Δ＝36－16>0， 所以x1＋x2＝6，x1x2＝4， 所以|AB|＝·＝·＝2， 因为点O到直线y＝x－2的距离d＝＝， 所以S△AOB＝×2＝2．] 7．(2025·红河州模拟)已知直线l：x－2y＋2＝0与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，如图，点P为抛物线C上的动点，且位于直线AB的下方，则△ABP面积的最大值为________． 　[设点P到直线l的距离为d，则S△PAB＝·|AB|·d，故当d取最大值时，△PAB的面积最大，即当抛物线在点P处的切线与直线l平行时，△PAB的面积最大， 设点P(x0，y0)，由x2＝4y得y＝x2，y′＝x， 所以切线的斜率k＝x0＝，解得x0＝1， 所以y0＝＝，所以P， 点P到直线l的距离d＝＝， 由消去y得x2－2x－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝－4， 所以|AB|＝·＝·＝5， 所以△PAB的面积的最大值为·|AB|·d＝×5×＝．] 8．(2024·眉山市东坡区期末)已知过点M(2，2)的直线l与抛物线C：x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，且当l的斜率为1时，M恰为AB的中点． (1)求p的值； (2)当l经过抛物线C的焦点时，求△OAB的面积． [解]　(1)当l的斜率为1时，可得直线l的方程为y＝x－2＋2＝x， 此时直线l恰好经过坐标原点，不妨设A(0，0)， 则B(4，4)为抛物线C上的点，所以42＝2p×4， 解得p＝2． (2)由(1)可知抛物线的焦点F (0，1)，抛物线的方程为x2＝4y， 当直线l经过F时，直线l的方程为y＝x＋1， 联立消去y并整理得x2－2x－4＝0， 不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2，x1x2＝－4， 则△OAB的面积S＝|OF|·|x1－x2|＝＝．
课后习题(五十八)　抛物线
1．(人教A版选择性必修第一册P138练习T3改编)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
C　[因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以＝18p．又点A到焦点的距离为12，所以＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6．故选C．]
2．(人教A版选择性必修第一册P145复习参考题3T6改编)已知等边三角形的一个顶点为抛物线C：y2＝4x的焦点F，其余两个顶点都在抛物线C上，则该等边三角形的边长为(　　)
A．4＋2 B．8＋4
C．4±2 D．8±4
D　[由题意知抛物线的焦点为F (1，0)，由对称性可知三角形的另外两点关于x轴对称，∴三角形过点(1，0)的其中一边所在直线的方程为y＝(x－1)，联立方程，得解得或∴由抛物线的定义得等边三角形的边长为8＋4或8－4．
故选D．]
3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P136练习T3改编)已知直线l：x＝ty＋2与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，若线段AB的中点是M(m，2)，则(　　)
A．t＝
B．m＝3
C．|AB|＝8
D．点(－2，2)在以AB为直径的圆内
AB　[对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－8ty－16＝0，Δ＝64t2＋64>0，
∴y1＋y2＝8t，又线段AB的中点为M(m，2)，
∴＝4t＝2，解得t＝，A正确；对于B，∵M(m，2)在直线l：x＝y＋2上，∴m＝1＋2＝3，B正确；对于C，∵直线l：x＝y＋2过点(2，0)，且点(2，0)为抛物线y2＝8x的焦点，∴|AB|＝x1＋x2＋4＝(y1＋y2)＋8＝10，C错误；对于D，以AB为直径的圆的圆心为M，半径为5，设P(－2，2)，连接MP，则|MP|＝＝5，∴点P(－2，2)在以AB为直径的圆上，D错误．故选AB．]
4．(人教B版选择性必修第一册P164例2改编)已知点P在抛物线x2＝－4y上，且A(0，－3)，则|PA|的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．3 D．2
B　[设点P的坐标为(x，y)，则x2＝－4y，且|PA|＝＝
＝＝，
又∵y≤0，∴当y＝－1时，|PA|min＝＝2．故选B．]
5．(2025·大连模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线方程为y＝－1，则p的值为(　　)
A． B．1
C．2 D．4
C　[因为x2＝2py(p＞0)的准线方程为y＝－，又准线方程为y＝－1，
所以＝1，解得p＝2．
故选C．]
6．(2024·盐城三模)设F为抛物线C：y＝ax2的焦点，若点P(1，2)在C上，则|PF|＝(　　)
A．3 B．
C． D．
D　[依题意，2＝a×12，解得a＝2，
所以C：x2＝的准线为y＝－，
所以|PF|＝2＋＝．
故选D．]
7．(2024·榆林四模)直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
D　[∵抛物线C：y2＝2px，∴抛物线的焦点F，
∵直线y＝x－1过焦点F，
∴0＝－1，解得p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立化简整理可得，x2－6x＋1＝0，
由根与系数的关系可得，x1＋x2＝6，由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．
故选D．]
8．(多选)(2024·唐山期末)已知抛物线C过点A(1，－4)，则(　　)
A．抛物线C的标准方程可能为y2＝16x
B．抛物线C的标准方程可能为x2＝－y
C．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条
ABD　[当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为y2＝2px，
因为抛物线C过点A(1，－4)，所以16＝2p，解得p＝8，
则抛物线C的方程为y2＝16x，故选项A正确；
当抛物线开口向下时，
设抛物线的方程为x2＝－2py，
因为抛物线C过点A(1，－4)，所以1＝8p，解得p＝，
则抛物线C的方程为x2＝－y，故选项B正确；
①当抛物线C的方程为y2＝16x时，
设过点A的直线方程为y＋4＝k(x－1)(k≠0)，
联立消去y并整理得k2x2－(2k2＋8k＋16)x＋k2＋8k＋16＝0，
此时Δ＝64(k＋2)2，易知当k＝－2时，Δ＝0，
此时直线方程为y＝－2x－2，
易知直线y＝－4与抛物线只有一个公共点，
则过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条；
②当抛物线C的方程为x2＝－y时，
设过点A的直线方程为y＋4＝k(x－1)，
联立消去y并整理得4x2＋kx－k－4＝0，
此时Δ＝(k＋8)2，易知当k＝－8时，Δ＝0，
此时直线方程为y＝－8x＋4，
易知直线x＝1与抛物线只有一个公共点，
则过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条，故选项C错误，选项D正确．
故选ABD．]
9．(2025·乌兰浩特市模拟)如图是某抛物线形拱桥，当水面在l处时，拱顶距水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽为________米．
2　[建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A(2，－2)代入x2＝my，
得m＝－2，∴x2＝－2y，代入B(x0，－3)得x0＝，故水面宽为2米．]
10．(2024·通化市梅河口市三模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为2的直线与抛物线C交于A，B两点(点A在x轴的上方)，则＝__________．
　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由F (1，0)可得直线AB的方程为y＝2x－2，
联立得x2－3x＋1＝0，
解得x1＝，x2＝，且有x1x2＝1．
由抛物线的定义，＝＝＝x1＝．]
11．(2025·贵港模拟)已知F为抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，且C上一点(m，3)到点F的距离为4．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝24，求l的方程．
[解]　(1)由抛物线的定义可得点(m，3)到C的准线的距离为4，
所以抛物线C的准线方程为y＝－1，此时＝1，
解得p＝2，则C的方程为x2＝4y．
(2)设直线l的方程为y＝2x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理得x2－8x－4b＝0，
因为直线l与C交于A，B两点，所以Δ＝64＋16b＞0，
解得b＞－4，由根与系数的关系得x1＋x2＝8，
所以|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝2(x1＋x2)＋2b＋2＝18＋2b＝24，
解得b＝3，此时满足b＞－4．
故l的方程为y＝2x＋3．
1/1

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